Aantal mensen met zaalplaats `z` , aantal balkonplaatsen `b` .
`z + b = 82` en `12,5z + 15b = 1080`
Zie de
Dit geeft:
`z = 82 - b`
en
`z = (1080 - 15b)/(12,5) = 86,4 - 1,2b`
Gebruik de grafische rekenmachine of stel de vergelijkingen gelijk:
`82 - b = 86,4 - 1,2b`
.
Dit geeft:
`b = 22`
en hieruit volgt
`z = 82 - 22 = 60`
.
Substitutie van `z = 82 - b` geeft:
`12,5(82 - b) + 15b` |
`=` |
`1080` |
|
`1025 + 2,5b` |
`=` |
`1080` |
|
`b` |
`=` |
`22` |
Hieruit volgt: `z = 82 - 22 = 60` .
Vul `z = 60` in de vergelijking `z + b = 82` in.
Schrijf bijvoorbeeld de onderste vergelijking als:
`y = text(-)4x - 10`
.
Vul dit in de bovenste vergelijking in:
`3x - 7(text(-)4x - 10) = 30`
.
Dit geeft:
`3x + 28x + 70 = 30`
en hieruit volgt:
`x = text(-) 40/31`
.
En
`y = text(-)4*text(-)40/31 - 10 = 160/31 - 310/31 = text(-) 150/31`
.
`{(6x + 4y = 12),(2x + 3y = text(-)16):}`
wordt
`{(6x + 4y = 12),(6x + 9y = text(-)48):}`
.
Trek beide zijden van elkaar af:
`text(-)5y = 60`
.
Hieruit volgt:
`y = text(-)12`
.
Invullen:
`2x +3*text(-)12 = text(-)16`
zodat
`x = 10`
.
Maak `y_1 le 80 - x` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 30` en `0 le y le 60` .
`z = 0` en `b = 0` geeft `0 + 0 le 80` en dit klopt.
Als je ervan uitgaat dat
`z`
en
`b`
gehele getallen zijn, voldoen alle roosterpunten in dit gebied.
Door tellen vind je
`27`
mogelijke oplossingen.
`2x - 4y = 5` wordt `y = 0,5x - 1,25` .
Omdat `(0, 0)` maak je met de GR `y_1 ge 0,5x-1,25` met bijvoorbeeld `0 le x le 10` en `0 le y le 10` .
`s + 2t = 30` wordt `t = 15 - 0,5s` .
Omdat `(0, 0)` maak je met de GR `y_1 le 15 - 0,5x` met bijvoorbeeld `0 le x le 40` en `0 le y le 20` .
Noem het aantal thuja’s
`t`
en het aantal jeneverbessen
`j`
.
Dan is
`{(20t + 12j = 267),(text(-) 5t + 2j = 18):}`
Vermenigvuldig alle termen in de tweede formule met
`6`
:
`{(20t+12j=267),(text(-)30t+12j=108):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste vergelijking af.
Dit geeft:
`50t = 159`
en
`t = 3,18`
.
Hieruit volgt:
`2j = 5*3,18 + 18`
en
`j=16,95`
.
Een thuja kost € 3,18 en een jeneverbes € 16,95.
`{(l * b = 200),(2l + 2b = 90):}`
Schrijf: `l = 200/b` en `l = 45 - b` .
Voer in:
`y_1 = 200/x`
en
`y_2 = 45 - x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 45`
en
`0 le y le 45`
.
De optie intersect geeft de snijpunten van beide grafieken.
Dit geeft een lengte van
`40`
cm en een breedte van
`5`
cm.
`4x + 3y = 48` geeft `y = 16 - 4/3 x` .
Het punt `(0, 0)` voldoet aan de ongelijkheid.
GR: `y_1 le 16 - 4/3 x` en `y_2 le 6` met venster `0 le x le 10` en `0 le y le 10` .
`1,80a + 2,10s le 20`
`a ge 0`
`s ge 0`
`a + s ge 6`
`a + s le 10`
Herleid eerst de grenslijnen naar de vorm `s=...` en controleer of `(0, 0)` in het gebied ligt.
GR of GeoGebra: `y_1 le 20/(2,1) - (1,8)/(2,1)x` , `y_2 ge 6 - x` en `y_3 le 10 - x` .
Met GeoGebra ziet het gevraagde gebied er zo uit.
Je kunt alleen gehele waarden voor `a` en `s` gebruiken. Alle roosterpunten in het gekleurde gebied voldoen aan de ongelijkheden en zijn mogelijke oplossingen voor het probleem.
Er zijn `40` mogelijke oplossingen.
Herleid de bovenste vergelijking naar
`y = 6 - x`
en substitueer dit in de onderste.
Hieruit volgt:
`2x-3(6-x)=0`
en
`x = 3,6`
en
`y = 2,4`
.
Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met
`3`
en de onderste met
`2`
.
Dit geeft:
`{(6x + 9y = 18),(6x - 8y = 16):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste af. Dit geeft:
`17y = 2`
en
`y = 2/17`
.
Invullen in één van beide geeft `x = 48/17` .
Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met
`3`
en de onderste met
`2`
.
Dit geeft:
`{(6x + 12y = 21),(6x - 10y = 16):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste af. Dit geeft:
`22y = 5`
en
`y = 5/22`
en
`x = 67/22`
.
Vul `x = 8 - 2y` in de tweede formule in. Dit geeft: `4(8 - 2y) - y = 12` en `y = 20/9` .
Dus `x = 32/9` en `y = 20/9` .
Neem
`a`
het aantal pakjes van € 9,- en
`b`
het aantal van € 1,-.
Dan is
`a + b = 1000`
en
`9a + b = 3000`
.
`{( a + b = 1000 ),( 9a + b = 3000 ):}`
wordt
`{( 9a +9 b = 9000 ),( 9a + b = 3000 ):}`
Trek beide vergelijkingen van elkaar af.
Dit geeft:
`8b = 6000`
en
`b = 750`
.
Invullen in `a + b = 1000` geeft: `a = 250` .
Er zijn `250` pakjes van € 9,00.
Grenslijnen: `x=0` , `x=9` , `y=0` , `y=text(-)0,5x+5` en `y=2x` .
Grenslijnen `y = 2x` en `y = 5 - 0,5x` snijden elkaar als `2x = 5 - 0,5x` .
Dit geeft `x=2` en snijpunt `(2, 4)` .
De hoekpunten zijn `(0, 0)` , `(2, 4)` , `(9, 0)` en `(9; 0,5)` .
De ongelijkheden die bij deze situatie horen, zijn:
`a ge 15`
,
`b ge 15`
en
`a + b le 50`
.
Daar horen de grenslijnen
`a = 15`
,
`b = 15`
en
`a = 50 - b`
bij (of
`b = 50 - a`
als je een
`ba`
-assenstelsel tekent).
De roosterpunten op de grenslijnen en binnen het toegestane gebied zijn alle mogelijke
combinaties van
`a`
en
`b`
.
Hierbij hoort de vergelijking
`4,50a + 5,25b = 183`
.
Los dit probleem op met een stelsel vergelijkingen:
`{(a = 50 - b),(4,50a + 5,25b = 183):}`
De oplossing is het punt
`(106, text(-)56)`
.
Deze oplossing is niet geldig vanwege het negatieve aantal pakken
`b`
.
Gebruik de figuur en teken daar ook de grafiek van
`4,50a + 5,25b = 183`
in. De toegestane roosterpunten die precies op deze grafiek liggen, zijn de mogelijke
oplossingen:
`(1, 34)`
,
`(8, 28)`
,
`(22, 16)`
,
`(15, 22)`
,
`(29, 10)`
en
`(36, 4)`
.
Er zijn meerdere mogelijkheden: `1` pak merk A en `34` pakken merk B, `8` pakken A en `28` pakken B, `22` pakken A en `16` pakken B, `15` pakken A en `22` pakken B, of `29` pakken A en `10` pakken B verkocht.
Noem het aantal zakken van de ezel
`x`
en het aantal zakken van het muildier
`y`
.
Dan is
`y + 1 = 2(x - 1) `
en
`y - 1 = x + 1`
.
Schrijf één van beide vergelijkingen om naar de vorm
`y =...`
en substitueer dit in de andere vergelijking. Dit geeft oplossing
`x = 5`
en
`y = 7`
.
Anders gezegd: de ezel draagt vijf zakken en het muildier zeven.
Noem het aantal hanen
`x`
, het aantal hennen
`y`
en het aantal kuikens
`z`
.
Dan is:
`x + y + z = 100`
en
`5x + 3y + 1/3 z = 100`
.
`x`
,
`y`
en
`z`
moeten gehele getallen zijn die tussen de
`0`
en de
`100`
liggen.
Verstandig proberen geeft
`(x, y, z) = (4, 18, 78)`
,
`(x, y, z) = (8, 11, 81)`
en
`(x, y, z) = (12, 4, 84)`
.
Anders gezegd, er zijn:
`4` hanen, `18` hennen en `78` kuikens, of
`8` hanen, `11` hennen en `81` kuikens, of
`12` hanen, `4` hennen en `84` kuikens.
Oplossing: `v = 3` en `k = 1` .
Oplossing: `a = 3,6` en `b = text(-)0,2` .
GR: `y_1 le 5` , `y_2 le 10 - x` en `y_3 le 6 - 0,5x` met venster `0 le x le 10` en `0 le y le 6` .
`(0, 0)` , `(10, 0)` , `(8, 2)` , `(2, 5)` en `(0, 5)` .
`v + k = 300` en `6v + 2,5k = 1401`
`v = 186` .