Lineair programmeren > Stelsels
12345Stelsels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Aantal mensen met zaalplaats `z` , aantal balkonplaatsen `b` .

b

`z + b = 82` en `12,5z + 15b = 1080`

c

Zie de Uitleg 1.

Opgave 1
a

Dit geeft: `z = 82 - b` en `z = (1080 - 15b)/(12,5) = 86,4 - 1,2b`
Gebruik de grafische rekenmachine of stel de vergelijkingen gelijk: `82 - b = 86,4 - 1,2b` .
Dit geeft: `b = 22` en hieruit volgt `z = 82 - 22 = 60` .

b

Substitutie van `z = 82 - b` geeft:

`12,5(82 - b) + 15b`

`=`

`1080`

`1025 + 2,5b`

`=`

`1080`

`b`

`=`

`22`

Hieruit volgt: `z = 82 - 22 = 60` .

c

Vul `z = 60` in de vergelijking `z + b = 82` in.

Opgave 2
a

Schrijf bijvoorbeeld de onderste vergelijking als: `y = text(-)4x - 10` .
Vul dit in de bovenste vergelijking in: `3x - 7(text(-)4x - 10) = 30` .
Dit geeft: `3x + 28x + 70 = 30` en hieruit volgt: `x = text(-) 40/31` .
En `y = text(-)4*text(-)40/31 - 10 = 160/31 - 310/31 = text(-) 150/31` .

b

`{(6x + 4y = 12),(2x + 3y = text(-)16):}` wordt `{(6x + 4y = 12),(6x + 9y = text(-)48):}` .
Trek beide zijden van elkaar af: `text(-)5y = 60` .
Hieruit volgt: `y = text(-)12` .
Invullen: `2x +3*text(-)12 = text(-)16` zodat `x = 10` .

Opgave 3
a

Maak `y_1 le 80 - x` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 30` en `0 le y le 60` .

b

`z = 0` en `b = 0` geeft `0 + 0 le 80` en dit klopt.

c

Als je ervan uitgaat dat `z` en `b` gehele getallen zijn, voldoen alle roosterpunten in dit gebied.
Door tellen vind je `27` mogelijke oplossingen.

Opgave 4
a

`2x - 4y = 5` wordt `y = 0,5x - 1,25` .

Omdat `(0, 0)` maak je met de GR `y_1 ge 0,5x-1,25` met bijvoorbeeld `0 le x le 10` en `0 le y le 10` .

b

`s + 2t = 30` wordt `t = 15 - 0,5s` .

Omdat `(0, 0)` maak je met de GR `y_1 le 15 - 0,5x` met bijvoorbeeld `0 le x le 40` en `0 le y le 20` .

Opgave 5
a

Noem het aantal thuja’s `t` en het aantal jeneverbessen `j` .
Dan is `{(20t + 12j = 267),(text(-) 5t + 2j = 18):}`

b

Vermenigvuldig alle termen in de tweede formule met `6` :
`{(20t+12j=267),(text(-)30t+12j=108):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste vergelijking af.
Dit geeft: `50t = 159` en `t = 3,18` .
Hieruit volgt: `2j = 5*3,18 + 18` en `j=16,95` .
Een thuja kost € 3,18 en een jeneverbes € 16,95.

Opgave 6
a

`{(l * b = 200),(2l + 2b = 90):}`

b

Schrijf: `l = 200/b` en `l = 45 - b` .

Voer in: `y_1 = 200/x` en `y_2 = 45 - x` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 45` en `0 le y le 45` .

De optie intersect geeft de snijpunten van beide grafieken.
Dit geeft een lengte van `40` cm en een breedte van `5` cm.

Opgave 7

`4x + 3y = 48` geeft `y = 16 - 4/3 x` .

Het punt `(0, 0)` voldoet aan de ongelijkheid.

GR: `y_1 le 16 - 4/3 x` en `y_2 le 6` met venster `0 le x le 10` en `0 le y le 10` .

Opgave 8
a
  • `1,80a + 2,10s le 20`

  • `a ge 0`

  • `s ge 0`

  • `a + s ge 6`

  • `a + s le 10`

b

Herleid eerst de grenslijnen naar de vorm `s=...` en controleer of `(0, 0)` in het gebied ligt.

GR of GeoGebra: `y_1 le 20/(2,1) - (1,8)/(2,1)x` , `y_2 ge 6 - x` en `y_3 le 10 - x` .

Met GeoGebra ziet het gevraagde gebied er zo uit.

c

Je kunt alleen gehele waarden voor `a` en `s` gebruiken. Alle roosterpunten in het gekleurde gebied voldoen aan de ongelijkheden en zijn mogelijke oplossingen voor het probleem.

Er zijn `40` mogelijke oplossingen.

Opgave 9
a

Herleid de bovenste vergelijking naar `y = 6 - x` en substitueer dit in de onderste.
Hieruit volgt: `2x-3(6-x)=0` en `x = 3,6` en `y = 2,4` .

b

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met `3` en de onderste met `2` .
Dit geeft: `{(6x + 9y = 18),(6x - 8y = 16):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste af. Dit geeft: `17y = 2` en `y = 2/17` .

Invullen in één van beide geeft `x = 48/17` .

c

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met `3` en de onderste met `2` .
Dit geeft: `{(6x + 12y = 21),(6x - 10y = 16):}`
Haal de tweede vergelijking van de eerste af. Dit geeft: `22y = 5` en `y = 5/22` en `x = 67/22` .

d

Vul `x = 8 - 2y` in de tweede formule in. Dit geeft: `4(8 - 2y) - y = 12` en `y = 20/9` .

Dus `x = 32/9` en `y = 20/9` .

Opgave 10
a

Neem `a` het aantal pakjes van € 9,- en `b` het aantal van € 1,-.
Dan is `a + b = 1000` en `9a + b = 3000` .

b

`{( a + b = 1000 ),( 9a + b = 3000 ):}` wordt `{( 9a +9 b = 9000 ),( 9a + b = 3000 ):}`
Trek beide vergelijkingen van elkaar af.
Dit geeft: `8b = 6000` en `b = 750` .

Invullen in `a + b = 1000` geeft: `a = 250` .

Er zijn `250` pakjes van € 9,00.

Opgave 11
a

Grenslijnen: `x=0` , `x=9` , `y=0` , `y=text(-)0,5x+5` en `y=2x` .

b

Grenslijnen `y = 2x` en `y = 5 - 0,5x` snijden elkaar als `2x = 5 - 0,5x` .

Dit geeft `x=2` en snijpunt `(2, 4)` .

De hoekpunten zijn `(0, 0)` , `(2, 4)` , `(9, 0)` en `(9; 0,5)` .

Opgave 12
a

De ongelijkheden die bij deze situatie horen, zijn: `a ge 15` , `b ge 15` en `a + b le 50` .
Daar horen de grenslijnen `a = 15` , `b = 15` en `a = 50 - b` bij (of `b = 50 - a` als je een `ba` -assenstelsel tekent).
De roosterpunten op de grenslijnen en binnen het toegestane gebied zijn alle mogelijke combinaties van `a` en `b` .

b

Hierbij hoort de vergelijking `4,50a + 5,25b = 183` .
Los dit probleem op met een stelsel vergelijkingen:
`{(a = 50 - b),(4,50a + 5,25b = 183):}`
De oplossing is het punt `(106, text(-)56)` .
Deze oplossing is niet geldig vanwege het negatieve aantal pakken `b` .
Gebruik de figuur en teken daar ook de grafiek van `4,50a + 5,25b = 183` in. De toegestane roosterpunten die precies op deze grafiek liggen, zijn de mogelijke oplossingen: `(1, 34)` , `(8, 28)` , `(22, 16)` , `(15, 22)` , `(29, 10)` en `(36, 4)` .

Er zijn meerdere mogelijkheden: `1` pak merk A en `34` pakken merk B, `8` pakken A en `28` pakken B, `22` pakken A en `16` pakken B, `15` pakken A en `22` pakken B, of `29` pakken A en `10` pakken B verkocht.

Opgave 13Klassiekers
Klassiekers
a

Noem het aantal zakken van de ezel `x` en het aantal zakken van het muildier `y` .
Dan is `y + 1 = 2(x - 1) ` en `y - 1 = x + 1` .
Schrijf één van beide vergelijkingen om naar de vorm `y =...` en substitueer dit in de andere vergelijking. Dit geeft oplossing `x = 5` en `y = 7` .
Anders gezegd: de ezel draagt vijf zakken en het muildier zeven.

b

Noem het aantal hanen `x` , het aantal hennen `y` en het aantal kuikens `z` .
Dan is: `x + y + z = 100` en `5x + 3y + 1/3 z = 100` .
`x` , `y` en `z` moeten gehele getallen zijn die tussen de `0` en de `100` liggen.
Verstandig proberen geeft `(x, y, z) = (4, 18, 78)` , `(x, y, z) = (8, 11, 81)` en `(x, y, z) = (12, 4, 84)` .

Anders gezegd, er zijn:

  • `4` hanen, `18` hennen en `78` kuikens, of

  • `8` hanen, `11` hennen en `81` kuikens, of

  • `12` hanen, `4` hennen en `84` kuikens.

Opgave 14
a

Oplossing: `v = 3` en `k = 1` .

b

Oplossing: `a = 3,6` en `b = text(-)0,2` .

Opgave 15
a

GR: `y_1 le 5` , `y_2 le 10 - x` en `y_3 le 6 - 0,5x` met venster `0 le x le 10` en `0 le y le 6` .

b

`(0, 0)` , `(10, 0)` , `(8, 2)` , `(2, 5)` en `(0, 5)` .

Opgave 16
a

`v + k = 300` en `6v + 2,5k = 1401`

b

`v = 186` .

verder | terug