Lineair programmeren

Lineair programmeren > Functies van meerdere variabelen

Overzicht

12345Functies van meerdere variabelen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Eigen antwoord.

$R = 3,50 * k + 5,00 * v$

Zie de Uitleg 1.

Opgave 1

Het maximaal aantal plaatsen is 300: $k + v le 300$
Per twee kinderen is er minimaal één volwassene: $k le 2v$
Het aantal verkochte kaartjes is positief of 0: $k ge 0$ en $v ge 0$

$k+v=300$ zodat $v=300-k$ .
Voer in: $y_1 = 300-x$ en $0 le x le 300$ en $0 le y le 300$ .

Laat de grafische rekenmachine het gebied onder de grafiek arceren.

$v$ zit op de verticale as, dus $2v ge k$ geeft $v ge 0,5k$ .
Voer in: $y_2 = 0,5x$ .

Het donker gekleurde gebied bestaat uit alle punten die aan alle vier de randvoorwaarden voldoen. Dit zijn de enige combinaties $(k, v)$ die je in deze situatie in de formule van $R$ mag invullen.

Het punt met de hoogste waarde van $R$ geeft de maximale waarde van $R$ die onder de randvoorwaarden is toegestaan.

Opgave 2

$1050 = 3,50k + 5,00v$ geeft $v = text(-)0,7k + 210$ .

Gebruik de figuur uit de vorige opgave en voer in: $y_3 = 210 - 0,7x$ .

Uit de applet blijkt dat $R$ blijft oplopen tot je uit het toegestane gebied komt. Omdat de niveaulijnen minder steil naar beneden lopen dan de lijn $k + v = 300$ die bij de grens van het gebied horen, wordt de hoogste waarde voor $R$ in $(0, 300)$ bereikt.

$3,50*0 + 5,00*300 = 1500,00$ euro

Opgave 3

$v le k$

Zie de figuur.

In punt $(150, 150)$ .

$R= 3,50*k + 5,00*v = 3,50*150 + 5,00*150 = 1275$ euro.

Opgave 4

$x+y le 8$ geeft: $y le 8 - x$ .

$y - 0,5x le 3$ geeft: $y le 3 + 0,5x$ .

De niveaulijnen bij $z = 0$ , $z = 5$ en $z = 10$ zijn:

$z = 0$ geeft $3x+y=0$ en hieruit volgt: $y = text(-)3x$ .
$z=5$ geeft $3x+y=2$ en hieruit volgt: $y=5-3x$ .
$z=10$ geeft $3x+y=10$ en hieruit volgt: $y=10-3x$ .

Opgave 5

$K = 1,80x + 2,10y$

Je koopt pakken sinaasappelsap en appelsap dus $x ge 0$ en $y ge 0$ . Je koopt er minstens $6$ en hoogstens $12$ dus $x + y ge 6$ en $x + y le 12$ . Je mag niet meer dan twee keer zo veel appelsap als sinaasappelsap dus $y le 2x$ .

Grenslijnen $y = 6 - x$ , $y = 12 - x$ en $y = 2x$ . Verder zijn $x ge 0$ en $y ge 0$ .

Bepaal enkele niveaulijnen met een waarschijnlijke waarde voor $K$ :

$K = 10$ geeft $1,80x + 2,10y = 10$ ofwel $y = 4,76 - 0,86x$
$K = 20$ geeft $1,80x + 2,10y = 20$ ofwel $y = 9,52 - 0,86x$

De niveaulijn door het snijpunt van grenslijnen $y = 12 - x$ en $y = 2x$ loopt geeft de maximale waarde van $K$ .
Het snijpunt berekenen geeft: $x = 4$ en $y = 2 * 4 = 8$ .
Invullen in de formule geeft een maximale $K = 1,80*4 + 2,1*8 = 24$ .

Opgave 6

Schrijf de formule $x + y = 12$ om tot $y= 12 - x$ en voer deze in op de grafische rekenmachine.
Schrijf de formule $x - 4y = text(-)7$ om tot $y = 0,25x + 1,75$ en voer ook deze in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: $1 le x le 12$ en $0 le y le 12$ . Zet de arceringen aan.

De grafieken raken elkaar: de afgeleide van $y = text(-)x + 12$ is gelijk aan $text(-)1$ , zodat de afgeleide van $y = p/x$ ook gelijk moet zijn aan $text(-)1$ , ofwel: $y' = text(-)p/(x^2) = text(-)1$
Uit dit laatste volgt $x = sqrt(p)$ en $y = sqrt(p)$ (de negatieve waarden vervallen).
Invullen in $x + y = 12$ geeft $2 sqrt(p) = 12$ , zodat $p = 36$ .

Het gevraagde punt is $(6, 6)$ .

$z=6*6=36$

Opgave 7

$A = x * y$ , waarin $x$ en $y$ de lengte en breedte van het grasveldje zijn en $A$ de oppervlakte is.

De lengte van het stuk grond is: $4 + y + 12 = y + 16$ .
De breedte van het stuk grond is: $4 + x + 4 = x + 8$ .
De omtrek van het stuk grond is $2(x + 8) + 2(y + 16)$ en die omtrek is maximaal $240$ meter.
Dus: $2(x + 8) + 2(y + 16) le 240$ .
Verder zijn $x ge 0$ en $y ge 0$ .

Schrijf de grenslijnformule $2(x + 8) + 2(y + 16) = 240$ om tot $y = 96 - x$ en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: $0 le x le 100$ en $0 le y le 100$ .

$y = p/x$ en grenslijn $y = 96 - x$ moeten elkaar raken.
De afgeleide van de grenslijn is: $text(-)1$
De afgeleide van de niveaulijn is: $y'= text(-)p/(x^2)$
Er geldt dat $x = sqrt(p)$ en daarmee geldt dat $y = p/sqrt(p) = sqrt(p)$ .
Invullen in $y = 96 - x$ geeft $sqrt(p) = 96 - sqrt(p)$ en hieruit volgt $2*sqrt(p) = 96$ en $sqrt(p) = 48$ .
Het raakpunt is $(48, 48)$ .
Invullen in $z = x*y$ geeft een maximale $z = 48*48 = 2304$ m².

Opgave 8

Kan met de GR: venster $0 le x le 10$ en $0 le y le 10$ .
Schrijf randvoorwaarde $x + 5y le 30$ om tot grenslijnformule $y = 6 - 0,2x$ en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer ook de formule $y = 5$ in.

Kies bijvoorbeeld:

$z = 10$ en dan geldt $10 = x + y + 6$ en hieruit volgt: $y = 4 - x$ .
$z = 15$ en dan geldt $15 = x + y + 6$ en hieruit volgt: $y = 9 - x$ .
$z = 20$ en dan geldt $y = 14 - x$ .

Je kunt deze drie formules op de grafische rekenmachine invoeren en tekenen.

Het minimum van $z$ is $6$ in het punt $(0, 0)$ .
Het maximum van $z$ is $20$ in het punt $(10, 4)$ .

Opgave 9

Venster bijvoorbeeld: $0 le x le 12$ en $0 le y le 12$ .
Schrijf randvoorwaarde $x + y le 10$ om tot grenslijnformule $y = 10 - x$ en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Schrijf randvoorwaarde $x + 4y ge 12$ om tot grenslijnformule $y = 3 - 0,25x$ en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer in: $y = 8$ .

Kies enkele geschikte waarden voor $z$ :

$z = 0$ en dan geldt $0 = 20-2x-y$ en hieruit volgt: $y = 20 - 2x$ .
$z = 10$ en dan geldt $10 = 20 - 2x - y$ en hieruit volgt: $y = 10 - 2x$ .
$z = 15$ en dan geldt $15 = 20 - 2x - y$ en hieruit volgt: $y = 5 - 2x$ .

Voer deze drie formules ook in op de grafische rekenmachine en laat ze tekenen.

De maximale waarde van $z$ is die waar de niveaulijn door het snijpunt van de $y$ -as en grenslijn $y = 3 - 0,25x$ loopt en dat is bij $x = 0$ en daar hoort $y = 3 -0,25*0 = 3$ bij.
De maximale $z$ is dan $z = 20 - 2x - y = 20 - 2*0 - 3 = 17$ .
De minimale waarde van $z$ hoort bij de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn $y = 10 - x$ en grenslijn $x = 6$ loopt. Daar hoort $y = 10 - 6 = 4$ bij.
De minimale $z$ is daarmee $z = 20 - 2*6 - 4 = 4$ .

Opgave 10

$W = 400a + 500b$ waarin $a$ de hoeveelheid A in duizenden kilogram en $b$ de hoeveelheid B in duizenden kilogram is.

$a ge 0$
$b ge 0$
$3a + 6b le 42$
$3a + 24b le 30$

Schrijf randvoorwaarde $3a + 6b le 42$ om tot $a le 14 - 2b$ en voer $y_1 = 14-2x$ in op de GR.
Schrijf randvoorwaarde $3a + 24b le 30$ om tot $a le 10 - 8b$ en voer $y_2 = 10 - 8x$ in op de GR.
Venster bijvoorbeeld $0 le x le 15$ en $0 le y le 15$ .

Teken enkele niveaulijnen, bijvoorbeeld:

$W = 100 = 400a + 500b$ ofwel $a = 0,25 - 1,25b$
$W = 1000 = 400a + 500b$ ofwel $a = 2,5 - 1,25b$
$W = 5000 = 400a + 500b$ ofwel $a = 12,5 - 1,25b$

Hoe hoger de niveaulijn, hoe hoger de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn $a = 10 - 8b$ en de verticale as ( $b = 0$ ) loopt, de maximale winst bij deze randvoorwaarden geeft. Dit winst is dus in $(0, 10)$ .
De maximale winst $W = 400*10 + 500*0 = 4000,00$ euro.

Opgave 11

$W = 100a + 90b$ waarin $a$ het aantal keer $100$ m² aardappelen en $b$ het aantal keer $100$ m² bieten is.

$a ge 0$ , $b ge 0$ , $4,5a + 4,5b le 16$ en $54a + 35b le 450$ .

De niveaulijnen zijn minder steil dan de enige echte grenslijn van het toegestane gebied; dat is grenslijn $a = 5,33 - b$ .
Hoe hoger de niveaulijn, hoe groter de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van de verticale as ( $b = 0$ ) en grenslijn $a = 5,33 - b$ loopt, de maximale winst geeft; dat is in punt $(5,33; 0)$ .
De maximale winst $W = 100*5,33 + 90*0 = 533$ euro.

Opgave 12

De grenslijnen zijn:

$y le 5$
$y ge text(-)5$
$y ge text(-)8 - x$
$y le 8 - x$
$y le x + 8$
$y ge x - 8$

Een venster waarbij $x_min = text(-)5$ en $x_max = 5$ geeft een achthoekig toegestaan gebied.
Kies voor de niveaulijnen bijvoorbeeld $z = 25$ en $z = 50$ en $z = 100$ . Dit geeft drie cirkels:

$z = 25$ geeft $25 = x^2 + y^2$ en hieruit volgt: $y = sqrt(25-x^2)$ en $y = text(-)sqrt(25-x^2)$
$z = 50$ geeft $50 = x^2 + y^2$ en hieruit volgt: $y = sqrt(50-x^2)$ en $y = text(-)sqrt(50-x^2)$
$z = 100$ geeft $100 = x^2 + y^2$ en hieruit volgt: $y=sqrt(100-x^2)$ en $y = text(-)sqrt(100-x^2)$

De minimale $z$ -waarde moet wel $0$ zijn, namelijk als $x = y = 0$ .

De maximale $z$ -waarde zit onder andere in de punten $(3, 5)$ en $(5, 3)$ (en nog zes van die punten).
Deze punten geven respectievelijk een $z$ -waarde van $3^2 + 5^2 = 34$ en $5^2 + 3^2 = 34$ .
De maximale $z$ -waarde is $34$ .

Opgave 13Wijnhandelaar

Wijnhandelaar

De randvoorwaarden zijn:

$x ge 0$ en $y ge 0$ dus de $x$ -as en de $y$ -as zijn grenslijnen
$3x + 2y le 192$ met $y = 96 - 1,5x$ als grenslijn
$x + 2y le 110$ met $y = 55 - 0,5x$ als grenslijn
$x + y le 70$ met $y = 70 - x$ als grenslijn

Toegestane gebied:

Bedenk dat de wijnhandelaar alleen gehele kisten kan verkopen. In de grafiek zijn dat alle roosterpunten die op grenslijn $y = 70 - x$ binnen het toegestane gebied liggen.
Vanwege de symmetrie van een cirkel, zal de isowinstlijn met de hoogste winst (en kleinste straal) de grenslijn precies in het midden tussen die twee punten raken.
Dat punt is $(40, 30)$ en daarbij hoort $W = 100*40 - 40^2 + 80*30 - 30^2 = 3900$ .
De hoogste winst wordt behaald als $x = 40$ en als $y = 30$ met als maximale winst € 3900,00.

(bron: examen vwo wiskunde A in 1993, eerste tijdvak)

Opgave 14

Zie figuur.

$z$ is maximaal $32$ en minimaal $text(-)7$ .

verder | terug