Het maximaal aantal plaatsen is 300: `k + v le 300` .
Per twee kinderen is er minimaal één volwassene: `k le 2v` .
Het aantal verkochte kaartjes is positief of 0: `k ge 0` en `v ge 0` .

`k + v = 300` zodat `v = 300 - k` .
Voer in: `y_1 = 300-x` en `0 le x le 300` en `0 le y le 300` .

Laat de grafische rekenmachine het gebied onder de grafiek arceren.

`v` zit op de verticale as, dus `2v ge k` geeft `v ge 0,5k` .
Voer in: `y_2 = 0,5x` .

Het donker gekleurde gebied bestaat uit alle punten die aan alle vier de randvoorwaarden voldoen. Dit zijn de enige combinaties `(k, v)` die je in deze situatie in de formule van `R` mag invullen.

Het punt met de hoogste waarde van `R` geeft de maximale waarde van `R` die onder de randvoorwaarden is toegestaan.

`1050 = 3,50k + 5,00v` geeft `v = text(-)0,7k + 210` .

Gebruik de figuur uit de vorige opgave en voer in: `y_3 = 210 - 0,7x` .

Uit de applet blijkt dat `R` blijft oplopen tot je uit het toegestane gebied komt. Omdat de niveaulijnen minder steil naar beneden lopen dan de lijn `k + v = 300` die bij de grens van het gebied horen, wordt de hoogste waarde voor `R` in `(0, 300)` bereikt.

`3,50*0 + 5,00*300 = 1500,00` euro

`v le k`

Zie de figuur.

In punt `(150, 150)` .

`R = 3,50*k + 5,00*v = 3,50*150 + 5,00*150 = 1275` euro.

`x + y le 8` geeft: `y le 8 - x` .

`y - 0,5x le 3` geeft: `y le 3 + 0,5x` .

De niveaulijnen bij `z = 0` , `z = 5` en `z = 10` zijn:

• `z = 0` geeft `3x+y=0` en hieruit volgt: `y = text(-)3x` .

• `z=5` geeft `3x+y=2` en hieruit volgt: `y=5-3x` .

• `z=10` geeft `3x+y=10` en hieruit volgt: `y=10-3x` .

`K = 1,80x + 2,10y`

Je koopt pakken sinaasappelsap en appelsap dus `x ge 0` en `y ge 0` . Je koopt er minstens `6` en hoogstens `12` dus `x + y ge 6` en `x + y le 12` . Je mag niet meer dan twee keer zo veel appelsap als sinaasappelsap dus `y le 2x` .

Grenslijnen `y = 6 - x` , `y = 12 - x` en `y = 2x` . Verder zijn `x ge 0` en `y ge 0` .

Bepaal enkele niveaulijnen met een waarschijnlijke waarde voor `K` :

• `K = 10` geeft `1,80x + 2,10y = 10` ofwel `y = 4,76 - 0,86x`

• `K = 20` geeft `1,80x + 2,10y = 20` ofwel `y = 9,52 - 0,86x`

De niveaulijn door het snijpunt van grenslijnen `y = 12 - x` en `y = 2x` loopt geeft de maximale waarde van `K` .
Het snijpunt berekenen geeft: `x = 4` en `y = 2 * 4 = 8` .
Invullen in de formule geeft een maximale `K = 1,80*4 + 2,1*8 = 24` .

Schrijf de formule `x + y = 12` om tot `y = 12 - x` en voer deze in op de grafische rekenmachine.
Schrijf de formule `x - 4y = text(-)7` om tot `y = 0,25x + 1,75` en voer ook deze in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: `1 le x le 12` en `0 le y le 12` . Zet de arceringen aan.

De grafieken raken elkaar: de afgeleide van `y = text(-)x + 12` is gelijk aan `text(-)1` , zodat de afgeleide van `y = p/x` ook gelijk moet zijn aan `text(-)1` , ofwel: `y' = text(-)p/(x^2) = text(-)1` .
Uit dit laatste volgt `x = sqrt(p)` en `y = sqrt(p)` (de negatieve waarden vervallen).
Invullen in `x + y = 12` geeft `2 sqrt(p) = 12` , zodat `p = 36` .

Het gevraagde punt is `(6, 6)` .

`z = 6*6 = 36`

`A = x * y` , waarin `x` en `y` de lengte en breedte van het grasveldje zijn en `A` de oppervlakte is.

De lengte van het stuk grond is: `4 + y + 12 = y + 16` .
De breedte van het stuk grond is: `4 + x + 4 = x + 8` .
De omtrek van het stuk grond is `2(x + 8) + 2(y + 16)` en die omtrek is maximaal `240` meter.
Dus: `2(x + 8) + 2(y + 16) le 240` .
Verder zijn `x ge 0` en `y ge 0` .

Schrijf de grenslijnformule `2(x + 8) + 2(y + 16) = 240` om tot `y = 96 - x` en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 100` en `0 le y le 100` .

`y = p/x` en grenslijn `y = 96 - x` moeten elkaar raken.
De helling van de grenslijn is: `text(-)1` .
De afgeleide van de niveaulijn is: `y'= text(-)p/(x^2)` .
Er geldt dat `x = sqrt(p)` en daarmee geldt dat `y = p/sqrt(p) = sqrt(p)` .
Invullen in `y = 96 - x` geeft `sqrt(p) = 96 - sqrt(p)` en hieruit volgt `2*sqrt(p) = 96` en `sqrt(p) = 48` .
Het raakpunt is `(48, 48)` .
Invullen in `z = x*y` geeft een maximale `z = 48*48 = 2304` m².

Kan met de GR: venster `0 le x le 10` en `0 le y le 10` .
Schrijf randvoorwaarde `x + 5y le 30` om tot grenslijnformule `y = 6 - 0,2x` en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer ook de formule `y = 5` in.

Kies bijvoorbeeld:

• `z = 10` en dan geldt `10 = x + y + 6` en hieruit volgt: `y = 4 - x` .

• `z = 15` en dan geldt `15 = x + y + 6` en hieruit volgt: `y = 9 - x` .

• `z = 20` en dan geldt `y = 14 - x` .

Je kunt deze drie formules op de grafische rekenmachine invoeren en tekenen.

Het minimum van `z` is `6` in het punt `(0, 0)` .
Het maximum van `z` is `20` in het punt `(10, 4)` .

Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 12` en `0 le y le 12` .
Schrijf randvoorwaarde `x + y le 10` om tot grenslijnformule `y = 10 - x` en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Schrijf randvoorwaarde `x + 4y ge 12` om tot grenslijnformule `y = 3 - 0,25x` en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer in: `y = 8` .

Kies enkele geschikte waarden voor `z` :

• `z = 0` en dan geldt `0 = 20-2x-y` en hieruit volgt: `y = 20 - 2x` .

• `z = 10` en dan geldt `10 = 20 - 2x - y` en hieruit volgt: `y = 10 - 2x` .

• `z = 15` en dan geldt `15 = 20 - 2x - y` en hieruit volgt: `y = 5 - 2x` .

Voer deze drie formules ook in op de grafische rekenmachine en laat ze tekenen.

De maximale waarde van `z` is die waar de niveaulijn door het snijpunt van de `y` -as en grenslijn `y = 3 - 0,25x` loopt en dat is bij `x = 0` en daar hoort `y = 3 -0,25*0 = 3` bij.
De maximale `z` -waarde is dan `z = 20 - 2x - y = 20 - 2*0 - 3 = 17` .
De minimale waarde van `z` hoort bij de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn `y = 10 - x` en grenslijn `x = 6` loopt. Daar hoort `y = 10 - 6 = 4` bij.
De minimale `z` -waarde is daarmee `z = 20 - 2*6 - 4 = 4` .

`W = 400a + 500b` waarin `a` de hoeveelheid A in duizenden kilogram en `b` de hoeveelheid B in duizenden kilogram is.

• `a ge 0`

• `b ge 0`

• `3a + 6b le 42`

• `3a + 24b le 30`

Schrijf randvoorwaarde `3a + 6b le 42` om tot `a le 14 - 2b` en voer `y_1 = 14-2x` in op de GR.
Schrijf randvoorwaarde `3a + 24b le 30` om tot `a le 10 - 8b` en voer `y_2 = 10 - 8x` in op de GR.
Venster bijvoorbeeld `0 le x le 15` en `0 le y le 15` .

Teken enkele niveaulijnen, bijvoorbeeld:

• `W = 100 = 400a + 500b` ofwel `a = 0,25 - 1,25b`

• `W = 1000 = 400a + 500b` ofwel `a = 2,5 - 1,25b`

• `W = 5000 = 400a + 500b` ofwel `a = 12,5 - 1,25b`

Hoe hoger de niveaulijn, hoe hoger de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn `a = 10 - 8b` en de verticale as ( `b = 0` ) loopt, de maximale winst bij deze randvoorwaarden geeft. Dit winst is dus in `(0, 10)` .
De maximale winst `W = 400*10 + 500*0 = 4000,00` euro.

`W = 100a + 90b` waarin `a` het aantal keer `100` m² aardappelen en `b` het aantal keer `100` m² bieten is.

`a ge 0` , `b ge 0` , `4,5a + 4,5b le 16` en `54a + 35b le 450` .

De niveaulijnen zijn minder steil dan de enige echte grenslijn van het toegestane gebied; dat is grenslijn `a = 5,33 - b` .
Hoe hoger de niveaulijn, hoe groter de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van de verticale as ( `b = 0` ) en grenslijn `a = 5,33 - b` loopt, de maximale winst geeft; dat is in punt `(5,33; 0)` .
De maximale winst `W = 100*5,33 + 90*0 = 533` euro.

De grenslijnen zijn:

• `y le 5`

• `y ge text(-)5`

• `y ge text(-)8 - x`

• `y le 8 - x`

• `y le x + 8`

• `y ge x - 8`

Een venster waarbij `x_min = text(-)5` en `x_max = 5` geeft een achthoekig toegestaan gebied.
Kies voor de niveaulijnen bijvoorbeeld `z = 25` en `z = 50` en `z = 100` . Dit geeft drie cirkels:

• `z = 25` geeft `25 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y = sqrt(25-x^2)` en `y = text(-)sqrt(25-x^2)`

• `z = 50` geeft `50 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y = sqrt(50-x^2)` en `y = text(-)sqrt(50-x^2)`

• `z = 100` geeft `100 = x^2 + y^2` en hieruit volgt: `y=sqrt(100-x^2)` en `y = text(-)sqrt(100-x^2)`

De minimale `z` -waarde moet wel `0` zijn, namelijk als `x = y = 0` .

De maximale `z` -waarde zit onder andere in de punten `(3, 5)` en `(5, 3)` (en nog zes van die punten).
Deze punten geven respectievelijk een `z` -waarde van `3^2 + 5^2 = 34` en `5^2 + 3^2 = 34` .
De maximale `z` -waarde is `34` .

Zie figuur.

`z` is maximaal `32` en minimaal `text(-)7` .