Lineair programmeren > Functies van meerdere variabelen
12345Functies van meerdere variabelen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Eigen antwoord.

b

c

Zie de Uitleg 1.

Opgave 1
a

Het maximaal aantal plaatsen is 300:
Per twee kinderen is er minimaal één volwassene:
Het aantal verkochte kaartjes is positief of 0: en

b

zodat .
Voer in: en en .

c

Laat de grafische rekenmachine het gebied onder de grafiek arceren.

d

zit op de verticale as, dus geeft .
Voer in: .

e

Het donker gekleurde gebied bestaat uit alle punten die aan alle vier de randvoorwaarden voldoen. Dit zijn de enige combinaties die je in deze situatie in de formule van mag invullen.

f

Het punt met de hoogste waarde van geeft de maximale waarde van die onder de randvoorwaarden is toegestaan.

Opgave 2
a

geeft .

b

Gebruik de figuur uit de vorige opgave en voer in: .

c

Uit de applet blijkt dat blijft oplopen tot je uit het toegestane gebied komt. Omdat de niveaulijnen minder steil naar beneden lopen dan de lijn die bij de grens van het gebied horen, wordt de hoogste waarde voor in bereikt.

d

euro

Opgave 3
a

b

Zie figuur.

c

In punt .

d

euro.

Opgave 4
a

geeft: .

geeft: .

b

De niveaulijnen bij , en zijn:

  • geeft en hieruit volgt: .

  • geeft en hieruit volgt: .

  • geeft en hieruit volgt: .

Opgave 5
a

b

Je koopt pakken sinaasappelsap en appelsap dus en . Je koopt er minstens en hoogsten dus en . Je mag niet meer dan twee keer zo veel appelsap als sinaasappelsap dus .

c

Gresnlijnen , en . Verder zijn en .

d

Bepaal enkele niveaulijnen met een waarschijnlijke waarde voor :

  • geeft ofwel

  • geeft ofwel

De niveaulijn door het snijpunt van grenslijnen en loopt geeft de maximale waarde van .
Het snijpunt berekenen geeft: en .
Invullen in de formule geeft een maximale .

Opgave 6
a

Schrijf de formule om tot en voer deze in op de grafische rekenmachine.
Schrijf de formule om tot en voer ook deze in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: en . Zet de arceringen aan.

b

De grafieken raken elkaar: de afgeleide van is gelijk aan , zodat de afgeleide van ook gelijk moet zijn aan , ofwel:
Uit dit laatste volgt en (de negatieve waarden vervallen).
Invullen in geeft , zodat .

Het gevraagde punt is .

c

Opgave 7
a

, waarin en de lengte en breedte van het grasveldje zijn en de oppervlakte is.

b

De lengte van het stuk grond is: .
De breedte van het stuk grond is: .
De omtrek van het stuk grond is en die omtrek is maximaal meter.
Dus: .
Verder zijn en .

c

Schrijf de grenslijnformule om tot en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Venster bijvoorbeeld: en .

d

en grenslijn moeten elkaar raken.
De afgeleide van de grenslijn is:
De afgeleide van de niveaulijn is:
Er geldt dat en daarmee geldt dat .
Invullen in geeft en hieruit volgt en .
Het raakpunt is .
Invullen in geeft een maximale m2.

Opgave 8
a

Kan met de GR: venster en .
Schrijf randvoorwaarde om tot grenslijnformule en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer ook de formule in.

b

Kies bijvoorbeeld:

  • en dan geldt en hieruit volgt: .

  • en dan geldt en hieruit volgt: .

  • en dan geldt .

Je kunt deze drie formules op de grafische rekenmachine invoeren en tekenen.

c

Het minimum van is in het punt .
Het maximum van is in het punt .

Opgave 9
a

Venster bijvoorbeeld: en .
Schrijf randvoorwaarde om tot grenslijnformule en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Schrijf randvoorwaarde om tot grenslijnformule en voer deze formule in op de grafische rekenmachine.
Voer in: .

b

Kies enkele geschikte waarden voor :

  • en dan geldt en hieruit volgt: .

  • en dan geldt en hieruit volgt: .

  • en dan geldt en hieruit volgt: .

Voer deze drie formules ook in op de grafische rekenmachine en laat ze tekenen.

c

De maximale waarde van is die waar de niveaulijn door het snijpunt van de -as en grenslijn loopt en dat is bij en daar hoort bij.
De maximale is dan .
De minimale waarde van hoort bij de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn en grenslijn loopt. Daar hoort bij.
De minimale is daarmee .

Opgave 10
a

waarin de hoeveelheid A in duizenden kilogram en de hoeveelheid B in duizenden kilogram is.

b
c

Schrijf randvoorwaarde om tot en voer in op de GR.
Schrijf randvoorwaarde om tot en voer in op de GR.
Venster bijvoorbeeld en .

d

Teken enkele niveaulijnen, bijvoorbeeld:

  • ofwel

  • ofwel

  • ofwel

Hoe hoger de niveaulijn, hoe hoger de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van grenslijn en de verticale as () loopt, de maximale winst bij deze randvoorwaarden geeft. Dit winst is dus in .
De maximale winst euro.

Opgave 11
a

waarin het aantal keer m2 aardappelen en het aantal keer m2 bieten is.

b

, , en .

c

De niveaulijnen zijn minder steil dan de enige echte grenslijn van het toegestane gebied; dat is grenslijn .
Hoe hoger de niveaulijn, hoe groter de winst. Dit betekent dat de niveaulijn die door het snijpunt van de verticale as () en grenslijn loopt, de maximale winst geeft; dat is in punt .
De maximale winst euro.

Opgave 12
a

De grenslijnen zijn:

Een venster waarbij en geeft een achthoekig toegestaan gebied.
Kies voor de niveaulijnen bijvoorbeeld en en . Dit geeft drie cirkels:

  • geeft en hieruit volgt: en

  • geeft en hieruit volgt: en

  • geeft en hieruit volgt: en

b

De minimale -waarde moet wel zijn, namelijk als .

De maximale -waarde zit onder andere in de punten en (en nog zes van die punten).
Deze punten geven respectievelijk een -waarde van en .
De maximale -waarde is .

Opgave 13Wijnhandelaar
Wijnhandelaar

De randvoorwaarden zijn:

  • en dus de -as en de -as zijn grenslijnen

  • met als grenslijn

  • met als grenslijn

  • met als grenslijn

Toegestane gebied:

Bedenk dat de wijnhandelaar alleen gehele kisten kan verkopen. In de grafiek zijn dat alle roosterpunten die op grenslijn binnen het toegestane gebied liggen.
Vanwege de symmetrie van een cirkel, zal de isowinstlijn met de hoogste winst (en kleinste straal) de grenslijn precies in het midden tussen die twee punten raken.
Dat punt is en daarbij hoort .
De hoogste winst wordt behaald als en als met als maximale winst € 3900,00.

bron: examen vwo wiskunde A in 1993, eerste tijdvak

Opgave 14
a

Zie figuur.

b

is maximaal en minimaal .

verder | terug