Lineair programmeren

Opgave 8

Gegeven is de functie $z = 2x + 4y$ op het gebied met punten $(x, y)$ die voldoen aan de randvoorwaarden:

$0 le x le 7$
$y ge 0,5x + 1$
$y le 12 - 0,75x$
$y le 9$

a

Teken het toegestane gebied.

b

Teken de drie niveaulijnen die horen bij $z$ -waarden:

10: bij vergelijking $10 = 2x + 4y$
30: bij vergelijking $30 = 2x + 4y$
50: bij vergelijking $50 = 2x + 4y$

c

Plot het toegestane gebied en de niveaulijnen en schets daarin met de hand de niveaulijn die bij de maximale $z$ -waarde aan de randvoorwaarden voldoet.

d

Bepaal de maximale $z$ -waarde die aan de randvoorwaarden voldoet.

Opgave 9

Gegeven is de functie $z = x + y + 6$ op het gebied met punten $(x, y)$ die voldoen aan de randvoorwaarden:

$0 le x le 10$
$0 le y le 5$
$x + 5y le 30$

a

Teken het toegestane gebied.

b

Teken een drietal niveaulijnen van de gegeven functie.

c

Bepaal de maximale en de minimale waarde van $z$ op het gegeven gebied.

Opgave 10

Gegeven is de functie $z = 20 - 2x - y$ op het gebied met punten $(x, y)$ die voldoen aan de randvoorwaarden:

$0 le x le 6$
$0 le y le 8$
$x + y le 10$
$x + 4y ge 12$

a

Teken het toegestane gebied.

b

Teken een drietal niveaulijnen van de gegeven functie.

c

Bepaal de maximale en de minimale waarde van $z$ op het gegeven gebied.

Opgave 11

Een bedrijf beschikt over een machine waarmee twee varianten van een bepaald product kunnen worden gemaakt: variant A en variant B.
Voor $1000$ kg van variant A moet de machine 3 uur werken en is $3000$ kg grondstof nodig.
Voor $1000$ kg van variant B moet de machine 6 uur werken en is $24000$ kg grondstof nodig.
In totaal werkt de machine 42 uur per week en is er $30000$ kg grondstof beschikbaar.
De winst op variant A is € 400,00 per 1000 kg en die op variant B is € 500,00 per 1000 kg.
Het bedrijf streeft naar een maximale winst op dit product.

a

Over welke functie van twee variabelen gaat dit probleem?

b

Welke randvoorwaarden zijn er?

c

Teken het toegestane gebied.

d

Bereken de maximale winst per week.

Opgave 12

Een boer heeft 1600 m² grond om aardappelen en bieten op te verbouwen. Hij reserveert daarvoor € 450,00 en 24 werkdagen.
De benodigde arbeidstijd per 100 m² schat hij zowel voor de aardappelen als voor de bieten op 4,5 dagen.
De kosten per 100 m² schat hij op € 54,00 voor de aardappelen en € 36,00 voor de bieten.
De winst per 100 m² schat hij op € 100,00 voor de aardappelen en € 90,00 voor de bieten.
Bereken de maximale winst die de boer in één seizoen kan behalen.
Gebruik hierbij een afbeelding van het toegestane gebied en enkele niveaulijnen.

Opgave 13

Gegeven is de functie $z = x^2 + y^2$ voor alle punten $(x, y)$ die voldoen aan de randvoorwaarden:

$text(-)5 le x le 5$
$text(-)5 le y le 5$
$text(-)8 le x + y le 8$
$text(-)8 le x - y le 8$

a

Teken het toegestane gebied en enkele niveaulijnen van deze functie.

b

Welke waarden neemt de gegeven functie aan op het toegestane gebied?

Opgave 14

Een wijnhandelaar verkoopt steeds in december kisten met flessen wijn. Dit jaar heeft hij voor het vullen van de kisten tot zijn beschikking: 192 flessen Ammency, 110 flessen Bourgand en 70 flessen Cereul.
Hij heeft een winkel in Haarlem en een winkel in Alkmaar.
Voor de winkel in Haarlem is het verstandig de kisten te vullen met 3 flessen Ammency, 1 fles Bourgand en 1 fles Cereul. De kisten voor Alkmaar vult hij allemaal met 2 flessen Ammency, 2 flessen Bourgand en 1 fles Cereul.

Op grond van zijn ervaringen met de afzetmogelijkheden in beide steden gaat hij uit van de formule:
$W = 100x - x^2 + 80y - y^2$
Hierbij is $W$ de totale winst in euro bij verkoop van $x$ kisten in Haarlem en $y$ kisten in Alkmaar.
Bekijk het $xy$ -assenstelsel met daarin een aantal isowinstlijnen. De isowinstlijnen zijn cirkels met middelpunt $(50, 40)$ .

Bepaal het toegestane gebied; bereken voor welke prijzen de wijnhandelaar zijn kisten wijn in Haarlem en Alkmaar moet verkopen om een maximaal mogelijke winst te verkrijgen en bereken zijn maximaal mogelijke winst.

bron: examen 1993 – I

Verwerken