Lineair programmeren > Functies van meerdere variabelenVoorbeeld 2
Bepaal het maximum en het minimum van de functie `z = x * y` voor de punten `(x, y)` die voldoen aan de randvoorwaarden:
-
`x ge 1`
-
`y ge 0`
-
`x + y le 12`
-
`x - 4y le text(-)7`
Teken het toegestane gebied.
-
Maak een assenstelsel met `x ge 0` en `y ge 0` .
-
Teken daarin de lijnen `x = 1` , `x + y = 12` en `x - 4y = text(-)7` .
-
Arceer het gebied dat voldoet aan `x ge 1` , `x + y le 12` en `x - 4y le text(-)7` .
Teken vervolgens enkele niveaulijnen, bijvoorbeeld bij `z = 0` , `z = 5` en `z = 10` .
-
`z = 0` geeft `x * y = 0` en hieruit volgt: `x = 0` of `y = 0` .
Dit zijn de punten op beide assen. -
`z = 5` geeft `x * y = 5` en hieruit volgt: `y = 5/x` .
-
`z = 10` geeft `x * y = 10` en hieruit volgt: `y = 10/x` .
De niveaulijnen zijn hier geen rechte lijnen.
Uit de verkregen figuur blijkt dat
`z`
maximaal is als de grafiek van
`y = p/x`
de lijn
`x + y = 12`
raakt. Hiermee zijn
`p`
en het punt waarin
`z`
maximaal is te berekenen.
Uit de verkregen figuur blijkt dat
`z`
minimaal is in
`(1, 2)`
, het snijpunt van
`x = 1`
en
`y = 0,25x + 1,75`
.
`z`
is minimaal
`1 * 2 = 2`
.
Bekijk
Teken het toegestane gebied en enkele niveaulijnen met je grafische rekenmachine.
Voor de coördinaten van het punt waarin `z` maximaal wordt geldt: `x + y = 12` en `text(-)p/(x^2) = text(-)1` .
Licht dit toe en bereken de coördinaten van dit punt.
Bereken de maximale waarde van `z` .
Van een rechthoekig stuk grond mag de omtrek niet groter zijn dan `240` meter, zo veel hekwerk (met ingang) is er voor de omheining beschikbaar. Er moet een rechthoekig grasveld op komen, dat is omsloten door stroken met bloeiende planten en struiken. Die stroken zijn aan drie zijden `4` meter breed en aan de vierde zijde (tegenover het toegangshek) `12` meter breed. Hoe groot kan de oppervlakte van het grasveldje maximaal worden?
Over welke functie van twee variabelen gaat dit probleem?
Welke randvoorwaarden zijn er?
Teken het toegestane gebied.
Bereken de maximale waarde van de oppervlakte van het grasveldje.