`x` is het aantal fietsen en de handelaar wil niet meer dan `50` fietsen. Deze eis geeft: `0 le x le 50` .
`y` is het aantal e-bikes en daarvoor geldt per definitie: `y ge 0` .
De handelaar heeft maximaal € 95000,00 om fietsen (€ 500,00 per stuk) en e-bikes (€ 900,00 per stuk) te kopen: `500x + 900y le 95000` .
Ieder rijwiel neem 0,5 m² in beslag en de handelaar heeft `60` m² opslagruimte: `0,5x + 0,5y le 60` .

Schrijf de grenslijnen (behalve de eerste) als `y_1 = 120 - x` en `y_2 = (950 - 5x)/9` met venster bijvoorbeeld `0 le x le 50` en `0 le y le 120` .

Kies bijvoorbeeld `W = 20000` en `W = 30000` , schrijf ook de bijbehorende niveaulijnen in de juiste vorm en voer ze in.

De hoogste niveaulijn die nog in het toegestane gebied valt, is de niveaulijn door het snijpunt van de grenslijnen `y = (950 - 5x)/9` en `y = 120 - x` . Dat snijpunt is `(32,5; 87,5)` maar een halve fiets of e-bike inkopen kan uiteraard niet.
Van de vier punten met gehele `x` en `y` om dit punt heen, vallen de twee punten `(32, 87)` en `(33,87)` binnen het toegestane gebied.
Punt `(33,87)` levert de meeste winst op.

Vul punt `(33, 87)` in de doelfunctie in `W = 200 * 33 + 300 * 87 = 32700,00` euro.

`x` is het aantal fietsen en `y` het aantal e-bikes per week.

• `0 le x le 120`

• `0 le y le 70`

• `x + y le 140`

• `x + 2y le 180`

Gebruik je GR met venster `0 le x le 120` en `0 le y le 100` .

Neem `y_1 le 140-x` , `y_2 le 90-0,5x` en `y_3 le 70` .

De winst op een fiets bedraagt € 150,00 en op een e-bike € 450,00. Dit geeft `W = 150x+450y` als doelfunctie. De niveaulijnen zijn:

• `20000 = 150x + 450y` en dit geeft: `y = 44 4/9 - 1/3 x`

• `30000 = 150 x + 450y` en dit geeft: `y = 66 2/3 - 1/3 x`

De winst is maximaal in het snijpunt van de lijnen `x + 2y = 180` en `y = 70` . Dan is `x = 40` . Het snijpunt is `(40, 70)` .

`W = 150*40 + 450*70 = 37500,00` euro.

Het is de vertaling van de twee rijen (ieder zonder de cel met winst) en de twee linkerkolommen in de tabel van het voorbeeld in ongelijkheden.

Herleid de grenslijnen tot `y_1 = 30000 - 2x` en `y_2 = 20000 - 1/3 x` en `y_3 = 20000` , voer ze in en kies een geschikt venster. Bij c vind je de figuur.

Neem bijvoorbeeld `W = 5000` en `W = 10000` :
`5000 = 0,8x + 0,5y` geeft als invoer de niveaulijn `y_4 = 10000 - 1,6x` .
`10000 = 0,8x + 0,5y` geeft als invoer `y_5 = 20000 - 1,6x` .

De hoogste niveaulijn in het toegestane gebied loopt door het snijpunt van de grenslijnen `y = 30000 - 2x` en `y = 20000 - 1/3 x` .
Dat snijpunt is `(6000, 18000)` .

Vul `(6000, 18000)` in de doelfunctie in `W = 0,80 * 6000 + 0,50 * 18000 = 13800,00` euro.

De randvoorwaarden `x le 12000` en `y le 20000` vervallen.
Het toegestane gebied loopt door tot `y = 30000 - 2x` de `x` -as snijdt.

Nee, want het punt waar de hoogste winstlijn door gaat, verandert niet.

De doelfunctie wordt: `W = 0,70x + 0,50y` .
De randvoorwaarden zijn:

• `0 le x le 12000`

• `0 le y le 20000`

• `0,3x + 0,2y le 6000` en dit geeft als grenslijn: `y = 30000 - 1,5x`

• `0,2x + 0,3y le 6000` en dit geeft als grenslijn: `y = 20000 - 2/3x`

Teken enkele niveaulijnen zoals `y = 20000 - 1,4x` voor `W = 10000` en `y = 25000 - 1,4x` voor `W = 12500` .
Het snijpunt van de grenslijnen blijkt ook nu het punt met de maximale winst. Dit snijpunt ligt ook precies op de grenslijn `x = 12000` en dit is het punt `(12000, 12000)` .
Van beide melanges `12000` pakken verkopen geeft de maximale winst.

`W = 0,70 * 12000 + 0,50 * 12000 = 144000,00` euro.

• `O(0, 0)`

• `A(12000, 0)`

• `B(12000, 6000)`

• `C(6000, 18000)`

• `D(0, 20000)`

`O(0, 0)` geeft: `W = 0,80*0 + 0,50*0 = 0`
`A(12000, 0)` geeft: `W = 0,80*12000 + 0,50*0 = 9600`
`B(12000, 6000)` geeft: `W = 0,80*12000 + 0,50*6000 = 12600`
`C(6000, 18000)` geeft: `W = 0,80*6000 + 0,50*18000 = 13800`
`D(0, 20000)` geeft: `W = 0,80*0 + 0,50*20000 = 10000`

Gebruik de GR met venster `5 le x le 32` en `0 le y le 30000` .

Voer in: `y_1 le 43 - 0,6x` en `y_2 le 26 - 1,2 x` .

Teken de niveaulijnen bij `W=10` en `W=20` .

De niveaulijnen worden `y_3 = 10-2x` en `y_4 = 20-2x` .

Bereken eerst de coördinaten van alle hoekpunten die het toegestane gebied vormen.

• lijn `y = 0` met lijn `12x + 10y = 260` , de coördinaat is: `A(21 2/3, 0)` .

• lijn `y = 0` en `x = 32` , de coördinaat is: `B(32, 0)` .

• lijn `x = 32` met lijn `3x + 5y = 215` , de coördinaat is: `C(32; 23,8)` .

• lijn `x = 5` met de lijn `3x + 5y = 215` , de coördinaat is: `D(5, 40)` .

• lijn `x = 5` en `12x + 10y = 260` , de coördinaat is: `E(0, 20)` .

Bereken de waarde van de doelfunctie `W` in deze hoekpunten.

• In `A(21 2/3; 0)` is `W = 2*21 2/3 + 0 = 43 1/3` .

• In `B(32, 0)` is `W = 2*32 + 0 = 64` .

• In `C(32; 23,8)` is `W = 2*32 + 23,8=87,8` .

• In `D(5, 40)` is `W = 2*5 + 40 = 50` .

• In `E(0, 20)` is `W = 2*0 + 20 = 20` .

`W` is minimaal in `E(0, 20)` , namelijk `W=20` .
`W` is maximaal in `C(32; 23,8)` , namelijk `W=87,8` .
`y` is niet geheel, zoek de roosterpunten in het toegestane gebied die er het dichtstbij liggen en bereken in die punten hoeveel `W` is.
De roosterpunten die hieraan voldoen zijn `(32, 23)` en `(31, 24)` .
In `(32, 23)` is `W = 2*32 + 23 = 87` en in `(31, 24)` is `W = 2*31 + 24 = 86` .
`W` is maximaal `87` .

• `0 le x le 50`

• `0 le y le 50`

• `80-x-y ge 0` ofwel `x+y le 80`

• `120-(50-x)-(50-y) ge 0` ofwel `x + y ge text(-)20`

De grenslijnen van het toegestane gebied zijn:

• `x = 0` en `x = 50`

• `y = 0` en `y = 50`

• `y = 80 - x`

• `y = text(-)20 - x`

De laatste grenslijn doet er voor het toegestane gebied niet toe (maak een schets van het toegestane gebied en de doelfunctie).
Vereenvoudig de doelfunctie tot: `K = 1060 - 2x + y` .
De hoekpunten zijn in ieder geval:

• `(0, 0)` met `K = 1060 -2*0 + 0 = 1060,00` euro

• `(50, 0)` met `K = 1060 - 2*50 + 0 = 960,00` euro

• `(0, 50)` met `K = 1060 - 2*0 + 50 = 1110,00` euro

De andere twee hoekpunten zijn:

• het snijpunt van `x = 50` en `y = 80 - x` en dat geeft `y = 80 - 50 = 30` en `K = 1060 - 2*50 + 30 = 990` ;

• het snijpunt van `y = 50` en `y = 80 - x` en dat geeft `50 = 80 - x` zodat `x = 30` , met `K = 1060 - 2*30 + 50 = 1050` .

In `(50, 0)` zijn de kosten minimaal.

Transportschema:

	New York	Londen
Koeweit	`140000`	`60000`
Galveston	`100000`	`50000`
Caracas	`60000`	`40000`

Bereken vervolgens de transportkosten:
`0,38*140000 + 0,10*100000 + 0,18*60000 + 0,35*60000 + 0,22*50000 + 0,25*40000 =` `116000` dollar.

Transportschema:

	New York	Londen
Koeweit	`x`	`200000-x`	`200000`
Galveston	`y`	`150000-y`	`150000`
Caracas	`300000-x-y`	`x+y-200000`	`100000`
	`300000`	`150000`

Het aantal barrels van Caracas naar Londen is: `100000 - (300000 - x - y) = x + y - 200000`
De randvoorwaarden zijn:

• `x le 200000` en dat geeft grenslijn `x = 200000`

• `y le 150000` en dat geeft grenslijn `y = 150000`

• `300000 - x - y le 100000` en hieruit volgt `y ge 200000-x` en dat geeft grenslijn `y=200000-x`

Dit geeft een toegestaan gebied met drie hoekpunten:
`(200000, 0)` en `(200000, 150000)` en het snijpunt van `y = 150000` en `y=200000-x` , dat is `(50000, 150000)` .
De doelfunctie is:
`K = 0,38x + 0,10y + 0,18(300000 - x - y) + 0,35(200000 - x) +` `0,22(150000 - y) + 0,25(x + y - 200000)` ofwel:
`K = 107000 + 0,1x - 0,05y`
De punten invullen in de doelfunctie geeft de bijbehorende kosten: `127000` , `119500` en `104500` dollar.
Het punt `(50000, 150000)` levert de minimale transportkosten van `104500` dollar. Het bijbehorende transportschema is:

	New York	Londen
Koeweit	`50000`	`150000`
Galveston	`150000`	`0`
Caracas	`100000`	`0`

De grenslijnen van `G` zijn:

• `x = 0`

• `y = 0` en `y = 60`

• `y = 80 - 0,5x`

• `y = 400 - 4x`

Dit geeft een toegestaan gebied met vijf hoekpunten:

• de oorsprong `(0, 0)`

• snijpunt `y=0` en `y = 400 - 4x` ofwel `(100, 0)`

• snijpunt `x=0` en `y=60` ofwel `(0, 60)`

• snijpunt `y=60` en `y = 80-0,5x` ofwel `(40, 60)`

• snijpunt `y = 80-0,5x` en `y = 400-4x` ofwel `(91 3/7, 34 2/7)`

`W = x + y` is minimaal in `(0, 0)` met `W = 0` .
Daar waar zowel `x` heel groot als `y` heel groot is, zal `W` maximaal zijn.
`(40, 60)` geeft `W = 100` , net als `(100,0)` .
`( 91 3/7; 34 2/7 )` geeft `W = 125 5/7` en dat is het maximum.

Noem het aantal kinderfietsen `x` en het aantal e-bikes `y` .
De randvoorwaarden zijn:

• `0 le x le 40` en `y ge 0`

• kapitaal: `250x + 1000y le 48000` (dit geeft niveaulijn `y = 48 - 0,25x` )

• opslagruimte: `0,5x + y le 50` (dit geeft niveaulijn `y = 50 - 0,5x` )

De handelaar wil maximale winst `W` behalen, dus de doelfunctie is: `W = 200x + 450y` .
`W = 9000` geeft niveaulijn `y = 20 - 4/9x` en `W = 18000` geeft niveaulijn `y = 40 - 4/9x` .
Het toegestane gebied:

Bekijk het toegestane gebied. De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen `250x + 1000y = 48000` en `0,5x + y = 50` . Dat snijpunt is `(8, 46)` . De handelaar moet `8` kinderfietsen en `46` e-bikes bestellen. De winst is dan € 22300,00.

Alleen hoekpunten die onder het hoekpunt liggen waarin `W` maximaal is, veranderen dan. In plaats van hoekpunt `(40, 0)` en `(40, 30)` is er nu alleen hoekpunt `(100, 0)` , maar dat zal het maximum zelf niet veranderen.

`x` is een kilogram aardappelen en `y` een kilogram bonen.
De randvoorwaarden als ongelijkheden zijn:

• `0,025x + 0,050y ge 1,3` , want 100 pakken moeten minimaal `0,013 * 100 = 1,3` kg eiwit bevatten.

• `0,4x + 0,2y ge 10` , want 100 pakken moeten minimaal `0,1 * 100 = 10` kg zetmeel bevatten.

• `0,04x + 0,04y ge 1,8` , want 100 pakken moeten minimaal `0,018 * 100 = 1,8` kg vet bevatten.

De doelfunctie is de kostenfunctie: `K = 0,15x + 0,2y` .

Het toegestane gebied bevat vier hoekpunten waaronder het snijpunt tussen de grenslijn van het eiwit en de grenslijn van vet: `(38, 7)` . Dit punt geeft de laagste kosten, namelijk € 7,10 per `100` pakken met daarin in totaal `38` kg aardappelen en `7` kg bonen.

Dezelfde randvoorwaarden gelden en ook hetzelfde toegestane gebied, maar de doelfunctie is nu het gewicht van de totale hoeveelheid eiwit, zetmeel en vet in 100 pakken:
`G = (0,025x + 0,05y) + (0,4x + 0,2y) + (0,04x + 0,04y)`
De twee hoekpunten die niet op een as liggen, geven beide het laagste totaalgewicht van `45` kg aan aardappelen en bonen.
Het hoekpunt met `5` kg aardappelen en `40` kg bonen geeft het minimale gewicht van `13,925` kg voor `100` pakken kippenvoer.

De verhoudingen sinaasappel en perzik:

	Sizik `= x`	Pernaas `= y`
sinaasappelsap	18	15
perziksap	4	1
	22	16

Voor sinaasappelsap geldt de randvoorwaarde: `4/22 x + 1/16 y le 1000` , ofwel
`2/11 x + 1/16y le 1000` met grenslijn `y = 16000 - 2 10/11 x` .
Voor perziksap geldt de randvoorwaarde: `18/22 x + 15/16 y le 6600` , ofwel
`9/11 x + 15/16 y le 6600` met grenslijn `y = 7040 - 48/55 x` .
Verdere randvoorwaarden zijn: `x ge 0` en `y ge 0` .
Dit geeft een toegestaan gebied met vier hoekpunten.
De doelfunctie is de winstfunctie `W = 1000/2200 x + 500/1600 y` , ofwel `W = 5/11 x + 5/16 y` .
Met niveaulijnen of de randenwandelmethode is duidelijk dat het snijpunt tussen de twee eerder genoemde grenslijnen de maximale winst oplevert. Dan geldt:
`16000 - 2 10/11 x = 7040 - 48/55 x`
Hieruit volgt: `x = 4400` L Sizik en `y = 3200` L Pernaas en dat levert maximale winst `W = 5/11 * 4400 + 5/16 * 3200 = 3000,00` euro op.

`4400` liter Sizik bestaat voor `18/22` ste deel uit sinaasappel, ofwel uit `3600` liter sinaasappelsap.
`3200` liter Pernaas bestaat uit `15/16` de deel uit sinaasappelsap, ofwel uit `3000` liter sinaasappelsap.
Samen is dat `6600` liter sinaasappelsap en dat is precies wat de fabrikant had ingekocht.
Zo blijkt ook dat er respectievelijk `800` en `200` liter perziksap is gebruikt en dat is samen precies de ingekochte `1000` liter perziksap.
De fabrikant houdt niets over.

Noem `x` het aantal dat vanuit de fabriek in Nederland naar A gaat en `y` het aantal dat vanuit de fabriek in Nederland naar B gaat.

	naar A	naar B	naar C
fabriek NL	`x`	`y`	`5000-x-y`	`5000`
fabriek CN	`3000-x`	`4500-y`	`7000-(3000-x)-(4500-y)=` `x+y-500`	`7000`
	`3000`	`4500`	`4500`

Deze tabel gecombineerd met de kostentabel geeft de transportkostenformule:

`T = 3x + 2y + 4(5000-x-y) + 5(3000-x) +3(4500-y) +` ` 4(x+y-500) = 46500 - 2x - y`

De randvoorwaarden zijn:

• `0 le x le 3000`

• `0 le y le 4500`

• `5000 - x - y ge 0` , ofwel `x + y le 5000` met grenslijn `y = 5000 - x`

• `x + y - 500 ge 0` , ofwel `x + y ge 500` met grenslijn `y = 500 - x`

Het toegestane gebied heeft zes hoekpunten. De randenwandelmethode levert veel werk op. Bekijk daarom een niveaulijn, bijvoorbeeld die bij `T = 35000` , dan is de formule: `y = 11500 - 2x` .
Teken deze niveaulijn eventueel en dan blijkt dat het snijpunt van grenslijn `y = 500 - x` en de `y` -as het hoekpunt met de laagste kosten is. De bijbehorende minimale kosten zijn dan `T= 46500 - 2*0 - 500 = 46000,00` euro.
Het bijbehorende transportschema:

	naar A	naar B	naar C
fabriek NL	0	500	4500
fabriek CN	3000	4000	0

Beslissingsvariabelen zijn het aantal aluminium rackets `x` en het aantal kunststof rackets `y` .
Randvoorwaarden:

• `x ge 0` en `y ge 0`

• `5x + y le 150`

• `5x + 2y le 200`

Gebruik de GR met venster `0 le x le 50` en `0 le y le 80` .

Voer in: `y_1 le 150 - 5x` en `y_2 le 100 - 2,5x` .

Teken de niveaulijnen bij `W = 500` en `W = 1500` .

De niveaulijnen worden `y_3 = 25-2,75x` en `y_4 = 75-2,75x` .

De handelaar wil maximale winst behalen, dus de winst `W` is de doelvariabele met doelfunctie `W = 55x + 20y` .
De maximale winst wordt bereikt in het punt `(20, 50)` . De maximale winst is dan € 2100,00 per dag.

Randvoorwaarde `5x + y le 150` verandert dan:

• `25` machines kunnen `150` kunststof rackets maken: één machine kan zes kunststof rackets maken; in totaal kunnen `25 + 1` machines `156` rackets maken.

• `25` machines kunnen `30` aluminium rackets maken: één machine kan maximaal één aluminium racket maken; in totaal kunnen `25 + 1` machines maximaal `31` rackets maken.

Dit is te vangen in een nieuwe randvoorwaarde `5x + y le 156` met grenslijn `y = 156 - 5x` .
Het snijpunt met grenslijn `y = 100 - 2,5x` wordt dan `(22,4; 44)` en de winst wordt `W = 55*22,4 + 20*44 = 2112,00` euro. Dit is € 12,00 hoger.

De verhouding aluminium : kunststof rackets die één persoon per dag kan maken blijft `2 : 5` . Dit betekent dat `5x = 2y` .
`20+1` personen kunnen in totaal maximaal `2*21=42` aluminium rackets maken, zodat `x le 42` en `5x le 210` .
Die `20+1` personen kunnen in totaal ook maximaal `5*21 = 105` kunststof rackets maken, zodat `y le 105` en `2y le 210` .
De oude randvoorwaarde wordt `5x + 2y le 210` met grenslijn `y = 105 - 2,5x` .
Het snijpunt met grenslijn `y = 150 - 5x` wordt dan `(18, 60)` en de winst wordt `W = 55*18 + 20*60 = 2190,00` euro. Dit is € 90,00 hoger.

Zie figuur. GR met venster `[0, 100]xx[0, 80]` .

Je ziet dat het minimum zit bij het snijpunt van de lijnen `2x + 3y = 240` en `5x + 2y = 500` , dus in `(1020/11, 200/11)` . Dit maximum is dus `W = 2000 - 1220/11` . Het maximum is `W(0, 0) = 2000` .

Neem `x` het aantal type I en `y` het aantal type II. Dan geldt: `0 le x le 50` , `0 le y le 50` , `x + y le 70` en `x + 1,5y le 110` .

Opbrengst: `R = 2400x + 3000y` . De maximale opbrengst is € 198 000,-; er worden dan `20` type I en `50` type II computers gemaakt.

Zeven mensen kunnen `70` computers verpakken. Bij de productie, beschreven in b zijn `95` werknemers bezig. De constructeurs hebben tijd over. Als er meer inpakkers zouden zijn, zou de constructieafdeling meer computers maken.