Lineair programmeren > Beslissingsproblemen
12345Beslissingsproblemen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de Uitleg .

Opgave 1
a

is het aantal fietsen en de handelaar wil niet meer dan 50 fietsen. Deze eis geeft:
is het aantal e-bikes en daarvoor geldt per definitie:
De handelaar heeft maximaal €  om fietsen (€ 500,00 per stuk) en e-bikes (€ 900,00 per stuk) te kopen:
Ieder rijwiel neem 0,5 m2 in beslag en de handelaar heeft 60 m2 opslagruimte:

b

Schrijf de grenslijnen (behalve de eerste) als en met venster bijvoorbeeld en .

Kies bijvoorbeeld en , schrijf ook de bijbehorende niveaulijnen in de juiste vorm en voer ze in.

c

De hoogste niveaulijn die nog in het toegestane gebied valt, is de niveaulijn door het snijpunt van de grenslijnen en . Dat snijpunt is maar een halve fiets of e-bike inkopen kan uiteraard niet.
Van de vier punten met gehele en om dit punt heen, vallen de twee punten en binnen het toegestane gebied.
Punt levert de meeste winst op.

e

Vul punt in de doelfunctie in euro.

Opgave 2
a

is het aantal fietsen en het aantal e-bikes per week.

b
c

Gebruik je GR met venster en .

Neem , en .

d

De winst op een fiets bedraagt € 150,00 en op een e-bike € 450,00. Dit geeft als doelfunctie. De niveaulijnen zijn:

  • en dit geeft:

  • en dit geeft:

e

De winst is maximaal in het snijpunt van de lijnen en . Dan is . Het snijpunt is .

f

euro.

Opgave 3
a

Het is de vertaling van de twee rijen (ieder zonder de cel met winst) en de twee linkerkolommen in de tabel van het voorbeeld in ongelijkheden.

b

Herleid de grenslijnen tot en en , voer ze in en kies een geschikt venster. Bij c vind je de figuur.

c

Neem bijvoorbeeld en :
geeft als invoer de niveaulijn .
geeft als invoer .

d

De hoogste niveaulijn in het toegestane gebied loopt door het snijpunt van de grenslijnen en .
Dat snijpunt is .

e

Vul in de doelfunctie in euro.

Opgave 4
a

De randvoorwaarden en vervallen.
Het toegestane gebied loopt door tot de -as snijdt.

b

Nee, want het punt waar de hoogste winstlijn door gaat, verandert niet.

Opgave 5
a

De doelfunctie wordt:
De randvoorwaarden zijn:

  • en dit geeft als grenslijn:

  • en dit geeft als grenslijn:

Teken enkele niveaulijnen zoals voor en voor .
Het snijpunt van de grenslijnen blijkt ook nu het punt met de maximale winst. Dit snijpunt ligt ook precies op de grenslijn en dit is het punt .
Van beide melanges pakken verkopen geeft de maximale winst.

b

euro.

Opgave 6
a
b

geeft:
geeft:
geeft:
geeft:
geeft:

Opgave 7
a

Gebruik de GR met venster en .

Voer in: en .

Teken de niveaulijnen bij en .

De niveaulijnen worden en .

b

Bereken eerst de coördinaten van alle hoekpunten die het toegestane gebied vormen.

  • lijn met lijn , de coördinaat is:

  • lijn en , de coördinaat is:

  • lijn met lijn , de coördinaat is:

  • lijn met de lijn , de coördinaat is:

  • lijn en , de coördinaat is:

Bereken de waarde van de doelfunctie in deze hoekpunten.

  • In is .

  • In is .

  • In is .

  • In is .

  • In is .

is minimaal in , namelijk .
is maximaal in , namelijk .
is niet geheel, zoek de roosterpunten in het toegestane gebied die er het dichtstbij liggen en bereken in die punten hoeveel is.
De roosterpunten die hieraan voldoen zijn en .
In is en in is .
is maximaal .

Opgave 8
a
  • ofwel

  • ofwel

b

De grenslijnen van het toegestane gebied zijn:

  • en

  • en

De laatste grenslijn doet er voor het toegestane gebied niet toe (maak een schets van het toegestane gebied en de doelfunctie).
Vereenvoudig de doelfunctie tot:
De hoekpunten zijn in ieder geval:

  • met euro

  • met euro

  • met euro

De andere twee hoekpunten zijn:

  • het snijpunt van en en dat geeft en

  • het snijpunt van en en dat geeft zodat , met

In zijn de kosten minimaal.

Opgave 9
a

Transportschema:

New York Londen
Koeweit
Galveston
Caracas

Bereken vervolgens de transportkosten:
dollar.

b

Transportschema:

New York Londen
Koeweit
Galveston
Caracas

Het aantal barrels van Caracas naar Londen is:
De randvoorwaarden zijn:

  • en dat geeft grenslijn

  • en dat geeft grenslijn

  • en hieruit volgt en dat geeft grenslijn

Dit geeft een toegestaan gebied met drie hoekpunten:
en en het snijpunt van en , dat is .
De doelfunctie is:
ofwel:

De punten invullen in de doelfunctie geeft de bijbehorende kosten: , en dollar.
Het punt levert de minimale transportkosten van dollar. Het bijbehorende transportschema is:

New York Londen
Koeweit
Galveston
Caracas

naar: examen vwo wiskunde A in 1983, eerste tijdvak

Opgave 10
a

De grenslijnen van zijn:

  • en

Dit geeft een toegestaan gebied met vijf hoekpunten:

  • de oorsprong

  • snijpunt en ofwel

  • snijpunt en ofwel

  • snijpunt en ofwel

  • snijpunt en ofwel

b

is minimaal in met .
Daar waar zowel heel groot als heel groot is, zal maximaal zijn.
geeft , net als .
geeft en dat is het maximum.

Opgave 11
a

Noem het aantal kinderfietsen en het aantal e-bikes .
De randvoorwaarden zijn:

  • en

  • kapitaal: (dit geeft niveaulijn )

  • opslagruimte: (dit geeft niveaulijn )

De handelaar wil maximale winst behalen, dus de doelfunctie is: .
geeft niveaulijn en geeft niveaulijn .
Het toegestane gebied:

b

Bekijk het toegestane gebied. De maximale winst wordt bereikt in het snijpunt van de lijnen en . Dat snijpunt is . De handelaar moet kinderfietsen en e-bikes bestellen. De winst is dan € 22300,00.

c

Alleen hoekpunten die onder het hoekpunt liggen waarin maximaal is, veranderen dan. In plaats van hoekpunt en is er nu alleen hoekpunt , maar dat zal het maximum zelf niet veranderen.

Opgave 12
a

is een kilogram aardappelen en een kilogram bonen.
De randvoorwaarden als ongelijkheden zijn:

  • , want 100 pakken moeten minimaal kg eiwit bevatten.

  • , want 100 pakken moeten minimaal kg zetmeel bevatten.

  • , want 100 pakken moeten minimaal kg vet bevatten.

De doelfunctie is de kostenfunctie:

Het toegestane gebied bevat vier hoekpunten waaronder het snijpunt tussen de grenslijn van het eiwit en de grenslijn van vet: . Dit punt geeft de laagste kosten, namelijk € 7,10 per pakken met daarin in totaal kg aardappelen en kg bonen.

b

Dezelfde randvoorwaarden gelden en ook hetzelfde toegestane gebied, maar de doelfunctie is nu het gewicht van de totale hoeveelheid eiwit, zetmeel en vet in 100 pakken:

De twee hoekpunten die niet op een as liggen, geven beide het laagste totaalgewicht van kg aan aardappelen en bonen.
Het hoekpunt met kg aardappelen en kg bonen geeft het minimale gewicht van kg voor pakken kippenvoer.

Opgave 13
a

De verhoudingen sinaasappel en perzik:

Sizik Pernaas
sinaasappelsap 18 15
perziksap 4 1
22 16

Voor sinaasappelsap geldt de randvoorwaarde: , ofwel
met grenslijn .
Voor perziksap geldt de randvoorwaarde: , ofwel
met grenslijn .
Verdere randvoorwaarden zijn: en
Dit geeft een toegestaan gebied met vier hoekpunten.
De doelfunctie is de winstfunctie , ofwel .
Met niveaulijnen of de randenwandelmethode is duidelijk dat het snijpunt tussen de twee eerder genoemde grenslijnen de maximale winst oplevert. Dan geldt:

Hieruit volgt: L Sizik en L Pernaas en dat levert maximale winst euro op.

b

liter Sizik bestaat voor ste deel uit sinaasappel, ofwel uit liter sinaasappelsap.
liter Pernaas bestaat uit de deel uit sinaasappelsap, ofwel uit liter sinaasappelsap.
Samen is dat liter sinaasappelsap en dat is precies wat de fabrikant had ingekocht.
Zo blijkt ook dat er respectievelijk en liter perziksap is gebruikt en dat is samen precies de ingekochte liter perziksap.
De fabrikant houdt niets over.

Opgave 14
a

Noem het aantal dat vanuit de fabriek in Nederland naar A gaat en het aantal dat vanuit de fabriek in Nederland naar B gaat.

naar A naar B naar C
fabriek NL
fabriek CN

Deze tabel gecombineerd met de kostentabel geeft de transportkostenformule:

b

De randvoorwaarden zijn:

  • , ofwel met grenslijn

  • , ofwel met grenslijn

Het toegestane gebied heeft zes hoekpunten. De randenwandelmethode levert veel werk op. Bekijk daarom een niveaulijn, bijvoorbeeld die bij , dan is de formule:
Teken deze niveaulijn eventueel en dan blijkt dat het snijpunt van grenslijn en de -as het hoekpunt met de laagste kosten is. De bijbehorende minimale kosten zijn dan euro.
Het bijbehorende transportschema:

naar A naar B naar C
fabriek NL 0 500 4500
fabriek CN 3000 4000 0
Opgave 15
a

Beslissingsvariabelen zijn het aantal aluminium rackets en het aantal kunststof rackets .
Randvoorwaarden:

  • en

Gebruik de GR met venster en .

Voer in: en .

Teken de niveaulijnen bij en .

De niveaulijnen worden en .

b

De handelaar wil maximale winst behalen, dus de winst is de doelvariabele met doelfunctie .
De maximale winst wordt bereikt in het punt . De maximale winst is dan € 2100,00 per dag.

c

Randvoorwaarde verandert dan:

  • machines kunnen kunststof rackets maken: één machine kan zes kunststof rackets maken; in totaal kunnen machines rackets maken.

  • machines kunnen aluminium rackets maken: één machine kan maximaal één aluminium racket maken; in totaal kunnen machines maximaal rackets maken.

Dit is te vangen in een nieuwe randvoorwaarde met grenslijn .
Het snijpunt met grenslijn wordt dan en de winst wordt euro. Dit is € 12,00 hoger.

d

De verhouding aluminium: kunststof rackets die één persoon per dag kan maken blijft . Dit betekent dat .
personen kunnen in totaal maximaal aluminum rackets maken, zodat en .
Die personen kunnen in totaal ook maximaal kunststof rackets maken, zodat en .
De oude randvoorwaarde wordt met grenslijn .
Het snijpunt met grenslijn wordt dan en de winst wordt euro. Dit is € 90,00 hoger.

Opgave 16Arbowet
Arbowet

Grenslijn voorwaarde B:
Er is ten minste m3 boven m nodig.
Er is 200 m2 vloeroppervlak, zodat er ten minste m hoogte boven m nodig is. Daar komt dan nog m bij, zodat met een vergelijkbare grenslijn.
Voorwaarde B is het strengst op het gedeelte tussen de twee snijpunten.

Grenslijn voorwaarde A:
De inhoud per persoon is m3 en daar geldt voor ofwel met vergelijkbare grenslijn.
Voor het linker snijpunt geldt en dat geeft .
Voor het rechter snijpunt geldt en dat geeft .
Voorwaarde B is de strengste voorwaarde in het geval er tot en met personen in deze werkplaats werken.

bron: examen wiskunde A in 2003, tweede tijdvak

Opgave 17
a

Zie figuur. GR met venster .

b

Je ziet dat het minimum zit bij het snijpunt van de lijnen en , dus in . Dit maximum is dus . Het maximum is .

Opgave 18
a

Neem het aantal type I en het aantal type II. Dan geldt: , , en .

b

Opbrengst: . De maximale opbrengst is € 198 000,-; er worden dan type I en type II computers gemaakt.

c

Zeven mensen kunnen computers verpakken. Bij de productie, beschreven in b zijn werknemers bezig. De constructeurs hebben tijd over. Als er meer inpakkers zouden zijn, zou de constructieafdeling meer computers maken.

verder | terug