Lineair programmeren

Lineair programmeren > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Gebruik de GR met venster $30 le x le 100$ en $0 le y le 60$ .
Voer in de ongelijkheden: $y_1 le 40$ , $y_2 le 60 - 0,5x$ en $y_3 le 240 - 3x$ .

$150 = 3x + 4y - 10$ geeft: $y = 60 - 0,75x$
$200 = 3x +4y - 10$ geeft: $y = 77,5 - 0,75x$

Het maximum zit in het snijpunt $(72, 24)$ .
Het maximum is $W=302$ .

Opgave 2

Een reep kost € 0,20 aan biscuit, € 0,10 aan karamel en € 0,30 aan chocolade, dat is € 0,60 aan grondstoffen. Daar komt nog € 0,75 aan verwerkingskosten bij. Een reep kost in totaal € 1,35 per stuk.
Ze worden voor € 1,50 per stuk verkocht. De winst is € 0,15 per stuk, dus de totale winst per week is naar verwachting $W=60000*0,15=9000,00$ euro.

De totale winst is het aantal repen vermenigvuldigd met de winst per reep.
$x+y+z=50$ en hieruit volgt: $z=50-x-y$
De winst per reep is:
$p=1,50-(0,75+0,015x+0,01y+0,01(50-x-y))=0,25-0,005x$
De totale winst is $W=q*p$ , zodat:

$W$	$=$	$(20000+4000x-2000y)(0,25-0,005x)$
	$=$	$200(100+20x-10y)(0,25-0,005x)$
	$=$	$(100+20x-10y)(50-x)$

$5 le y le 50$ , want er is niet minder dan $5$ gram biscuit, maar minder dan $50$ gram.
$14 le x le 50$ , want er is ten minste $14$ gram chocolade, maar niet meer dan $50$ gram.
$x+y ge 37$ , want er is niet meer dan $13$ gram karamel.

Venster: $14 le x le 50$ en $0 le y le 60$ .
Teken hierin de ongelijkheden: $y ge 37 - x$ , $y ge 5$ en $y le 50$ .

De niveaulijnen van $W=(100+20x-10y)(50-x)$ zijn:

$W=5000=(100+20x-10y)(50-x)$ geeft: $y = text(-)500/ (50-x) + 10 +2x$
$W=10000 =(100+20x-10y)(50-x)$ geeft: $y = text(-)1000 / (50-x) +10 + 2x$

Opgave 3

Kies als variabelen $x$ voor het aantal dagen dat fabriek I moet werken aan deze auto's en $y$ voor het aantal dagen dat fabriek II moet werken.
De randvoorwaarden zijn:

$x ge 0$
$y ge 0$
$10x + 20y ge 800$
$30x + 20y ge 1600$
$50x + 20y ge 2000$

De doelfunctie is: $K = 20000(x + y)$

Gebruik de GR met venster $0 le x le 100$ en $0 le y le 100$ .
Voer in de ongelijkheden: $y_1 le 40 - 0,5x$ , $y_2 le 90 - 1,5x$ en $y_3 le 100 - 2,5x$ .

De minimale kosten zitten in het snijpunt $M$ van de lijnen $10x+20y=800$ en $30x+20y=1600$ . Dat snijpunt is $(40, 20)$ .

De kosten zijn minimaal $K=20000(40+20)=1200000$ euro.
Daartoe moet fabriek I $40$ dagen draaien en fabriek II $20$ .

Opgave 4

De totale uitleen is $106436 + 115915 + 48479 = 270830$ euro.
Jeugdboeken: $106436/270830 * 105000 = 41265$ euro.
Romans: $115915/270830 * 105000 = 44940$ euro
Studieboeken: $48479/270830 * 105000 = 18795$ euro.

Dit is een lineair programmeerprobleem.
Stel de bedragen voor de afdelingen jeugdboeken, romans en studieboeken achtereenvolgens $j$ , $r$ en $105 000 - j - r$ . Zo blijft het een probleem met twee variabelen. Hanteer de volgende voorwaarden:

Minstens 1200 jeugdboeken geeft: $j ge 18000$
Minstens 1200 romans geeft: $r ge 28800$
Minstens 400 studieboeken geeft: $105000 - j - r ge 12000$ , of $j + r le 93000$

Voor jeugdboeken krijg je niet meer dan voor romans: $j le r$
Voor jeugdboeken krijg je niet meer dan drie keer het bedrag van de afdeling studieboeken: $j le 3(105000 - j - r)$ , of $4j + 3r le 315000$
De doelfunctie is het aantal boeken $A = 1/15 j + 1/24 r + 1/30 (105000 - j - r)$ maximaliseren.

Het toegestane gebied bestaat uit vier hoekpunten met in een $jr$ -stelsel twee hoekpunten op de grenslijn $r = 28800$ en twee op de grenslijn $j = 18000$ (en één ervan ligt op beide lijnen) en een hoekpunt dat rechtsboven deze twee grenslijnen ligt. In dat laatste punt zal het maximum zitten. Check niveaulijnen of check $A$ in alle vier de punten.

Dit hoekpunt ligt op grenslijnen $r = 105000 - 4/3 j$ en op $r = j$ en dat is als geldt $j = r = 45000$ .
Het maximum aantal boeken is dan $A = 5375$ .

Jeugdboeken krijgt € 45000.
Romans krijgt € 45000.
Studieboeken krijgt $105000 - 90000 =15000$ euro.

De laatste voorwaarde wordt nu $3j + r le 210000$ met grenslijn $r = 210000 - 3j$ in een $rj$ -assenstelsel. Het hoekpunt met het maximum verschuift iets naar linksonder en ligt bij $j = r = 42000$ en $s = 105000 - 2*42000 = 21000$ .

Jeugdboeken krijgt € 42000.
Romans krijgt € 42000.
Studieboeken krijgt € 21000.

De afdeling romans zal het minst blij zijn, want vergeleken met de twee vorige oplossingen met bedragen € 44940 en € 45000 krijgt deze afdeling het laagste bedrag.

(naar: examen vwo wiskunde A in 1991, eerste tijdvak)

Opgave 5Eigen onderzoek: supermarkt

Eigen onderzoek: supermarkt

Eigen antwoord.

Denk aan: beperkte totale hoeveelheid aantal eenheden A plus aantal eenheden B; beperkte hoeveelheid aantal eenheden A; geschatte tijd per eenheid dat een product A maximaal in het schap staat en verwachte tijd dat product B maximaal in een schap staat. En je kunt ook met prijzen werken...

En misschien kun je eens bij een supermarktketen navragen.

Opgave 6Stoelen sjouwen

Stoelen sjouwen

Dit is een transportprobleem. Het volgende schema geeft het aantal te verplaatsen stoelen weer.

	naar 1ste	naar 2de	naar 3de
aula	$x$	$y$	$140-x-y$
bieb	$90-x$	$60-y$	$x+y-80$

Omdat in elke cel van deze tabel een positief getal moet staan, zijn de voorwaarden:

$0 le x le 90$ , $0 le y le 60$ , $140 - x - y ge 0$ en $x + y - 80 ge 0$ .

De doelfunctie is de benodigde tijd in minuten:
$T = 2x + 4y + 6(140-x-y) + 2(90-x) + 3(60-y) + 5(x+y-80) = 800 - x$ .

Gebruik de GR met venster $[0, 90]xx[0, 100]$ .
Voer in $y_1 le 140-x$ , $y_2 ge 80 - x$ en $y_3 le 60$ . Niveaulijnen (verticaal) bijvoorbeeld $T=850$ en $T=860$ .

De minimale tijd zit in het punt $(20, 60)$ en is $T_(text(min)) = 270$ minuten.

Het transportschema wordt:

	naar 1ste	naar 2de	naar 3de
aula	$20$	$60$	$60$
bieb	$70$	$0$	$0$

Opgave 7Tapijtenfabriek

Tapijtenfabriek

$(2+4+1)*100 + (3+3+1)*150 + (5+7+2)*50 = 2450$ klossen.

De totale opbrengst is $100*4000+150*5000+50*7000=1500000$ euro. De inkoop was € 850000. De winst voor KTF is € 65000.

Er zijn $2*100+3*150+5*50=900$ klossen Ray nodig.

Er zijn $4*100+3*150+7*50=1200$ klossen Pol nodig.

Er zijn $1*100+1*150+2*50=350$ klossen Vin nodig.

Ray: $a/3 * 6 + b/3 * 12 + c/3 * 12 ge 900$ geeft: $2a + 4b + 4c ge 900$
Pol: $a/3 * 12 + b/3 * 12 + c/3 * 6 ge 1200$ geeft $4a + 4b + 2c ge 1200$
Vin: $a/3 * 2 + b/3 * 7 + c/3 * 4 ge 350$ geeft: $2a + 7b + 4c ge 1050$

Minimaliseer $P = 1500a + 2100b$ op het gebied gegeven door de randvoorwaarden.
De kosten zijn minimaal in het snijpunt $M$ van de lijnen $a+b=300$ en $a+2b=450$ . Vul $a=300-b$ in de tweede vergelijking in, dit geeft $b=150$ en dan is $a=150$ .
De minimale kosten zijn dan $P=1500*150+2100*150=540000$ euro.

Er zijn $900$ klossen van Ray, $1200$ klossen van Pol en $350$ klossen van Vin nodig.
Met $3$ ton van destillaat B kun je $12$ klossen Ray, $12$ klossen Pol en $7$ klossen Vin maken.
$900/12=75$ , $1200/12=100$ en $350/7=50$
Als er uitsluitend destillaat B gebruikt wordt, dan heeft Artif $300$ ton nodig.
De minimale inkoopkosten zijn € 540000.
Destillaat B kost dan $540000/300 = 1800,00$ euro per ton.

Voor € 540000 krijgt Artif bij Petrol: $150$ ton A en $150$ ton B.
Hiervan is te maken: $900$ klossen Ray, $1200$ klossen Pol, $450$ klossen Vin en er is een residu van $60000$ kg.
Er is dan over: $100$ klossen Vin en $60000$ kg residu.
Bij Destil krijgt Artif $300$ ton B.
Hiervan is te maken: $1200$ klossen Ray, $1200$ klossen Pol, $700$ klossen Vin en er is een restant van $20000$ kg.
Er is dan over: $300$ klossen Ray, $350$ klossen Vin en $20000$ kg residu.
De bestelling gaat naar Destil.

(naar: examen vwo wiskunde A in 1989, tweede tijdvak)

verder | terug