Werken met formules > VergelijkingenAntwoorden van de opgaven
Probeer voor jezelf een overzichtje te maken.
Noem je de lengte en de breedte van de bodem `x` , dan is `2 x^2 + 48 x = 512` . Dit geeft `x = 8` (het andere antwoord `x = text(-)32` vervalt).
|
`3 t - 400` |
`=` |
`700 - 2 t` |
|
|
`5 t` |
`=` |
`1100` |
|
|
`t` |
`=` |
` 220` |
|
`2300 - 0,15 p` |
`=` |
`1600 + 0,42 p` |
|
|
`text(-)0,15 p` |
`=` |
`0,42 p - 700` |
|
|
`text(-)0,57 p` |
`=` |
`text(-)700` |
|
|
`p` |
`~~` |
`1228,07` |
|
`(x-3)/4` |
`=` |
`1/5 (10-2x)` |
|
|
`1/4 x - 3/4` |
`=` |
`2-2/5x` |
|
|
`13/20x` |
`=` |
`11/4` |
|
|
`x` |
`~~` |
`4,23` |
|
`2 - 5(2x - 4)` |
`=` |
`text(-)7 + 8(2 + x)` |
|
|
`2 - 10x + 20` |
`=` |
`text(-)7 + 16 + 8x` |
|
|
`13` |
`=` |
`18x` |
|
|
`x` |
`~~` |
`0,72` |
`t stackrel{xx5} rarr ... stackrel{-20} rarr 100 `
Je vindt met terugrekenen:
`t=(100+20)/5` en dus `t=24` .
` t stackrel{xx 3} rarr ... stackrel{- 20} rarr ... stackrel{(...)^2} rarr 1600`
Je vindt met terugrekenen:
`t=(+-sqrt(1600)+20)/3` en dus `t=20 ∨ t=text(-) 6 2/3` .
`p stackrel{(...)^3} rarr ... stackrel{xx 3} rarr 81`
Je vindt met terugrekenen:
`p=root(3)(81/3)` en dus `p=3` .
`x stackrel{xx 2} rarr ... stackrel {-4} rarr ... stackrel {sqrt(...)} rarr ... stackrel{xx2} rarr 12`
Je vindt met terugrekenen:
`x=((12/2)^2+4)/2` en dus ` x=20` .
`x stackrel{xx0,5} rarr ... stackrel{-4} rarr ... stackrel{sqrt(...)} rarr ... stackrel{xx 3} rarr ... stackrel{-2} rarr text(-)3`
Je vindt met terugrekenen:
`x=(((text(-)3+2)/3)^2+4)/(0,5)` en dus `x=8 2/9` .
Controle: `3*sqrt(0,5* 8 2/9 - 4) - 2 = text(-)1 ne text(-)3` .
Deze vergelijking heeft geen oplossing, want de wortel uit een (reëel) getal kan niet negatief zijn. Door het kwadrateren is er een "oplossing" gegenereerd die niet voldoet.
|
`0,5x^2` |
`=` |
`4x` |
|
|
`0,5x^2-4x` |
`=` |
`0` |
|
|
`x^2-8x` |
`=` |
`0` |
|
|
`x(x-8)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`0∨x=8` |
|
`k^2+5k-6` |
`=` |
`0` |
|
|
`(k+6)(k-1)` |
`=` |
`0` |
|
|
`k+6` |
`=` |
`0 ∨ k-1 = 0` |
|
|
`k` |
`=` |
`text(-)6 ∨ k=1` |
Elke afzonderlijke factor is `0` .
|
`8p-p^2` |
`=` |
`0` |
|
|
`8p-p^2` |
`=` |
`0` |
|
|
`p(8-p)` |
`=` |
`0` |
|
|
`p` |
`=` |
`0 ∨ p=8` |
|
`x(x-2)` |
`=` |
`3x-6` |
|
|
`x^2-2x` |
`=` |
`3x-6` |
|
|
`x^2-5x+6` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x-2)(x-3)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`2 ∨ x=3` |
|
`x^2` |
`=` |
`x+12` |
|
|
`x^2-x-12` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x+3)(x-4)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`text(-)3 ∨ x = 4` |
|
`x^3` |
`=` |
`4x` |
|
|
`x^3-4x` |
`=` |
`0` |
|
|
`x(x^2-4)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`0 ∨ x^2 = 4` |
|
|
`x` |
`=` |
`0 ∨ x =text(-)sqrt(4) vv x=sqrt(4)` |
|
|
`x` |
`=` |
`0 ∨ x = text(-)2 ∨ x = 2` |
Voer in: Y1=X^3 en Y2=4 - x.
Venster: standaard.
Je ziet dat er één snijpunt is. Daarna tabel bekijken tussen `x = 1,0` en `x = 1,5` en verder verfijnen, inklemmen dus.
`x ≈ 1,379`
Voer in: Y1=600/X en Y2=18 + 0.04X.
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)500 ≤ x ≤ 50`
en
`text(-)50 ≤ y ≤ 50`
.
Je ziet dat er twee snijpunten zijn. Bekijk de tabel.
`a ~~ 31,174 vv a ~~ text(-)481,174`
Voer in: Y1=X^3+2X en Y2=16
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)5 \leq x\leq 5`
en
`text(-)25\leq y\leq 25`
.
`x~~2,26` (een tabel met stapgrootte `0,001` ).
Voer in: Y1=X+√X en Y2=10
Venster bijvoorbeeld:
`0 \leq x\leq 15`
en
`0\leq y\leq 25`
.
`x~~7,30` (een tabel met stapgrootte `0,001` ).
Voer in: Y1=X+10/X en Y=10
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)5\leq x\leq 15`
en
`text(-)25\leq y\leq 25`
.
`l~~1,13 vv l~~8,87` (twee keer een tabel maken met stapgrootte `0,001` ).
Voer in: Y1=300/(X+4) en Y2=20
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)20 \leq x\leq 20`
en
`text(-)50\leq y\leq 50`
.
`p=11` (een tabel met stapgrootte `1` ).
Algebraïsch:
|
`1/(x+3)+1/x` |
`=` |
`1/2` |
|
|
`x/(x(x+3))+(x+3)/(x(x+3))` |
`=` |
`1/2` |
|
|
`(2x+3)/(x(x+3))` |
`=` |
`1/2` |
|
|
`2(2x+3)` |
`=` |
`x(x+3)` |
|
|
`4x+6` |
`=` |
`x^2+3x` |
|
|
`x^2-x-6` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x-3)(x+2)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`3 vv x=text(-)2` |
Op de GR:
Voer in: Y1=1/(X+3)+1/X en Y2=1/2.
Venster: standaard.
Lees de snijpunten af.
Algebraïsch:
|
`20/(p^2+5)` |
`=` |
`2` |
|
|
`20` |
`=` |
`2(p^2+5)` |
|
|
`10` |
`=` |
`p^2+5` |
|
|
`p^2` |
`=` |
`5` |
|
|
`p` |
`=` |
`sqrt( 5 ) vv p=text(-)sqrt(5)` |
Op de GR:
Voer in: Y1=20/(X^2+5) en Y2=2.
Venster: standaard.
Algebraïsch:
|
`10/(2x)+1` |
`=` |
`x/(x+1)` |
|
|
`10/(2x)+(2x)/(2x)` |
`=` |
`x/(x+1)` |
|
|
`(10+2x)/(2x)` |
`=` |
`x/(x+1)` |
|
|
`(10+2x)(x+1)` |
`=` |
`2x*x` |
|
|
`10x+10+2x^2+2x` |
`=` |
`2x^2` |
|
|
`12x+10` |
`=` |
`0` |
|
|
`12x` |
`=` |
`text(-)10` |
|
|
`x` |
`=` |
`text(-)5/6` |
Op de GR:
Voer in: Y1=10/(2X)+1 en Y2=X/(X+1).
Venster: standaard.
Algebraïsch:
|
`(5 x) / (x^2 + 2 x) - 6/x` |
`=` |
`1 / (x + 2)` |
|
|
`(5 x) / (x^2 + 2 x)` |
`=` |
`1 / (x + 2) + 6/x` |
|
|
`(5 x) / (x^2 + 2 x)` |
`=` |
`x / (x(x + 2)) + (6(x + 2))/(x(x + 2))` |
|
|
`(5 x) / (x^2 + 2 x)` |
`=` |
`(7x + 12)/(x^2 + 2x)` |
|
|
`5x` |
`=` |
`7x + 12` |
|
|
`x` |
`=` |
`text(-)6` |
Op de GR:
Voer in: Y1=5X/(X^2+2X) - 6/X en Y2=1/(X+2).
Venster: standaard.
`2x - 3(x+4) = 5x - 18` geeft `6x=6` en dus `x = 1` .
`sqrt( x + 4 ) = 20` geeft `x+4 = 20^2` en `x = 396` .
`( 2 x - 5 ) ^3 = 125` geeft `2x-5=5` en `x = 5` .
`sqrt( a^2 + 4 ) - 20 = 0` geeft `a^2+4 = 400` en `a = sqrt( 396 ) vv a=text(-)sqrt( 396 )` .
`2 x^2 - 2 = 12 x + 30` geeft `x^2 - 6x -16=0` en `x = text(-)2 ∨ x = 8` .
`(text(-)x + 2)(2x + 3) = (3 - 4x)(2x + 3)` geeft `text(-)x + 2 = 3 - 4x vv 2x + 3 = 0` , zodat `x=text(-)1,5 vv x=1/3` .
GR:
Voer in: Y1=√(X) en Y2=6-X
Zoek het snijpunt. Je vindt dan
`x=4`
.
Algebraisch:
|
`sqrt(x)` |
`=` |
`6-x` |
|
|
`x` |
`=` |
`(6-x)^2` |
|
|
`x` |
`=` |
`36-12x+x^2` |
|
|
`x^2-13x+36` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x-4)(x-9)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`4` |
De oplossing `x=9` vervalt.
Voer in: Y1=X^4 en Y2=2+X
Zoek de twee snijpunten, deze vind je bij `x=text(-)1` en `x~~1,35` .
`p = 0` geeft `q = text(-)216 2/3` .
`q = 0` geeft `p = 325` .
`q = 0` geeft `W = 0` .
`W = 0` geeft `q = 0 ∨ q = 200` .
`l = 0` geeft `k = sqrt( 96 ) vv k=text(-)sqrt( 96 )` .
`k = 0` geeft `l = 8 ∨ l = text(-)12` .
`d = 0` geeft `a = 1` .
`a = 0` geeft `d = sqrt( 3000 ) vv d=text(-)sqrt(3000)` .
`x = 0` geeft `y = sqrt( 18 ) vv y=text(-)sqrt(18)` .
`y = 0` geeft `x = ± sqrt( 8 ) vv x=text(-)sqrt(8)` .
`x=0` geeft `y=sqrt(sqrt(3)) vv y=text(-)sqrt(sqrt(3))` of `y=root[4](3) vv y=text(-)root[4](3)` .
`y = 0` geeft `x = sqrt( 3 ) vv x=text(-)sqrt(3)` .
|
`12/(x+10)` |
`=` |
`400` |
|
|
`x+10` |
`=` |
`12/400` |
|
|
`x` |
`=` |
`12/400 - 10 ~~ text(-)9,97` |
|
`2/(x+2)+x/3` |
`=` |
`text(-)7/3` |
|
|
`6/(3x+6)+(x^2+2x)/(3x+6)` |
`=` |
`text(-)7/3` |
|
|
`18+3x^2+6x` |
`=` |
`text(-)21x-42` |
|
|
`60+3x^2+27x` |
`=` |
`0` |
|
|
`x^2+9x+20` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x+5)(x+4)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`text(-)5 vv x=text(-)4` |
|
`(2a)/(a-1)-(3)/(a)` |
`=` |
`2` |
|
|
`(2a^2)/(a(a-1))-(3a-3)/(a(a-1))` |
`=` |
`2` |
|
|
`2a^2-3a+3` |
`=` |
`2a^2-2a` |
|
|
`a` |
`=` |
`3` |
|
`(2x^2-4x+2)/(x^4+1)` |
`=` |
`0` |
|
|
`2x^2-4x+2` |
`=` |
`0` |
|
|
`x^2-2x+1` |
`=` |
`0` |
|
|
`(x-1)(x-1)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`1` |
|
`(x+1)/(x^2+1)` |
`=` |
`(x+2)/(2x+2)` |
|
|
`(x+1)(2x+2)` |
`=` |
`(x^2+1)(x+2)` |
|
|
`2x^2+2x+2x+2` |
`=` |
`x^3+x+2x^2+x` |
|
|
`3x` |
`=` |
`x^3` |
|
|
`x^3-3x` |
`=` |
`0` |
|
|
`x(x^2-3)` |
`=` |
`0` |
|
|
`x` |
`=` |
`0 vv x=sqrt(3) vv x=text(-)sqrt(3)` |
`(2)/(sqrt(5x^2-3)) = 1/x`
geeft
`2x = sqrt(5x^2-3)`
en
`x^2=3`
.
Oplossing:
`x=sqrt(3) vv x=text(-)sqrt(3)`
.
`h = 381 - 4,9 t^2`
`381-4,9t^2=0` geeft `t ≈ 8,8` s.
De formule voor de snelheid is `v=9,8t` . Vul nu voor `t` de bij b gevonden waarde `t=sqrt(381/(4,9))~~8,8` in.
Je vindt dan `v=9,8*8,8~~86,4` m/s.
`86,4` m/s komt overeen met `311040` meter per `3600` s of wel `311,1 ` km/h.
Noem de lengte van het land zonder boswal
`x`
.
De oppervlakte van het land zonder boswal is
`x^2`
.
De lengte van het land met boswal is
`x-4`
en de breedte
`x-8`
.
De oppervlakte van het land nadat een stuk is afgestaan voor de boswal is volgens
de boer de helft van zijn oorspronkelijke land:
`0,5x^2`
.
Je krijgt de vergelijking `(x-4)(x-8)=0,5x^2` .
Voer in: Y1=(X-4)(X-8) en Y2=0.5X^2.
Venster bijvoorbeeld:
`0 \leq x\leq 50`
en
`0\leq y\leq 800`
.
Je vindt `x~~20,94` (een tabel met stapgrootte `0,001` ). ( `x~~3,06` kan niet).
De oppervlakte van het oorspronkelijk stuk land is ongeveer `20,94^2~~438,5` m2.
De boer houdt ongeveer `219` m2 over.
`V` staat voor de hoeveelheid kaarsvet en moet je zien als een inhoud. De inhoud van een cilinder kan worden berekend met de formule `I=pi r^2h` .
Bereken eerst de inhoud `K` van de hele kaars. De hoogte is gelijk aan `20` cm. De straal is `1,5` mm (voor de eerste onderdompeling is het alleen nog maar de lont) en wordt bij elke onderdompeling `0,5` mm groter. Dus de lengte `r` van de straal is afhankelijk van het aantal onderdompelingen volgens de formule `r=1,5+0,5a` . Toegepast op de formule van de inhoud geeft dit `K=pi*(1,5+0,5a)^2*200` , oftewel `K=200pi(1,5+0,5a)^2` . Maar de inhoud van de lont zelf moet er afgehaald worden. Deze lont heeft een diameter van `3` mm en dus een straal van `1,5` mm. Dit toegepast op de formule voor de inhoud geeft dit voor de inhoud `L` van de lont: `L=pi*(1,5)^2*200=450pi` .
De hoeveelheid kaarsvet `V` kan dan worden berekend door `V=K-L` ofwel `V=200pi(1,5+0,5a)^2-450pi` .
Voer in: Y1=200π(1.5+0.5a)^2 - 450π.
Venster bijvoorbeeld:
`0 ≤ x ≤ 1000`
en
`0 ≤ y ≤ 160000000`
.
`200\ pi (1,5+0,5a)^2-450\ pi = 106000` geeft `a ~~ 23` .
Na `23` onderdompelingen.
`t = 9 1/6`
`p = text(-)1 ∨ p = 5`
`x = sqrt( 140 ) vv x=text(-)sqrt(140)`
`x=4`
`x=text(-)1 vv x=3`
`x~~text(-)2,33 vv x~~ 1,88`