Werken met formules > StelselsAntwoorden van de opgaven
Omdat er `300` bezoekers zijn is `x + y = 300` . De totale inkomsten zijn `2,5 x + 4,5 y` en dat is samen `1110` euro, dus `2,5 x + 4,5 y = 1110` .
Je kunt nu dit probleem oplossen door beide vergelijkingen te herleiden naar de vorm `y=...` en dan het snijpunt van beide functies te berekenen.
`y = 246 2/3 - 5/9 x`
|
`x+y` |
`=` |
`300` |
|
|
`x+(text(-)(5)/(9)x + 246 2/3)` |
`=` |
`300` |
|
|
`x-(5)/(9)x + 246 2/3` |
`=` |
`300` |
|
|
`(4)/(9)x + 246 2/3` |
`=` |
`300` |
|
|
`(4)/(9)x` |
`=` |
`53 1/3` |
|
|
`x` |
`=` |
`120` |
Je hoeft dan niet met breuken te rekenen.
`y = text(-)2 x + 6`
`x - 3 ( text(-)2 x + 6 ) = text(-) 4`
`x = 2`
`x = 2` en `y = 2` .
|
`2 ( 3 y - 4 ) + y ` |
`=` |
` 6` |
|
|
`7y` |
`=` |
`14` |
|
|
`y` |
`=` |
`2` |
|
`x-3*2` |
`=` |
`text(-)4` |
|
|
`x` |
`=` |
`2` |
`{ (2,5 x + 2,5 y, =, 750), (2,5 x + 4,5 y, =, 1110):}`
Als je de bovenste vergelijking van de onderste aftrekt, krijg je:
`2,5x+4,5y-2,5x-2,5y=1110-750` en dus `2y=360` en `y=180` .
Uit de oorspronkelijke vergelijking `x+y=300` volgt dan: `x=120` .
`{ (4,5 x + 4,5 y, =, 1350), (2,5 x + 4,5 y, =, 1110):}`
Trek nu de onderste vergelijking van de bovenste af:
|
`4,5x+4,5y-(2,5x+4,5y)` |
`=` |
`1350-1110` |
|
|
`4,5x+4,5y-2,5x-4,5y` |
`=` |
`1350-1110` |
|
|
`2x` |
`=` |
`240` |
|
|
`x` |
`=` |
`120` |
Uit `x+y=300` volgt `y=180` .
`{ (5 x + 5 y, =, 1500), (text(-)5 x - 9 y, =, text(-)2220):}`
Tel de onderste vergelijking bij de bovenste op:
|
`5x+5y+(text(-)5x-9y)` |
`=` |
`1500+text(-)2220` |
|
|
`5x+5y-5x-9y` |
`=` |
`1500-2220` |
|
|
`text(-)4y` |
`=` |
`text(-)720` |
|
|
`y` |
`=` |
`180` |
Uit `x+y=300` volgt `y=180` .
De bovenste vergelijking met `3` vermenigvuldigen levert:
`{ (6 x + 3y, =, 18), (x - 3 y, =, text(-)4):}`
Beide zijden optellen:
|
`6x+3y+(x-3y)` |
`=` |
`18+text(-)4` |
|
|
`7x` |
`=` |
`14` |
|
|
`x` |
`=` |
`2` |
Invullen in een van beide vergelijkingen geeft `y = 2` .
De onderste vergelijking met `2` vermenigvuldigen levert:
`{ (5x - 4y, =, 8), (4x - 4y, =, 6):}`
Beide zijden aftrekken:
|
`5x-4y-(4x-4y)` |
`=` |
`8-6` |
|
|
`x` |
`=` |
`2` |
Invullen in een van beide vergelijkingen geeft `y = 0,5` .
Eerst beide vergelijkingen schrijven als `y = ...`
Voer in: Y1=-2X + 6 en Y2=1/3X + 4/3 .
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)10 le x le 10`
en
`text(-)10 le y le 10`
.
Je vindt
`x = 2`
en
`y = 2`
.
`x~~8,83` en `y~~text(-)24` .
`x~~20,29` en `y~~5,27` .
Omdat de vergelijking `l * b = 120` een product van `l` en `b` bevat.
Eerst de vergelijkingen herschrijven: `l = 120/b` en `l = 23 - b` .
Voer in: Y1=120/X en Y2=23-X
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 25`
en
`0 le y le 25`
Dan snijpunt bepalen met intersect.
Dat lukt niet.
Dat hangt af van de manier waarop je dit aanpakt. Je komt waarschijnlijk op een uitdrukking zonder `x` en `y` die niet waar kan zijn.
Het zijn vergelijkingen van twee evenwijdige lijnen, deze hebben per definitie geen snijpunten.
Als je bijvoorbeeld de balansmethode gebruikt om het stelsel op te lossen kom je op een uitdrukking zonder `x` en `y` die niet waar kan zijn. Het stelsel heeft dus geen oplossingen.
Bovenste vergelijking met `2` vermenigvuldigen levert het stelsel:
`{(2 x + 2 y, = , 12),(2x-3y, =, 0):}`
Onderste van de bovenste aftrekken:
`5y=12` en `y=12/5=2 2/5` .
Met `x+y=6` kom je op `x=3 3/5` .
Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met `3` , en de onderste met `2` :
`{(6 x + 12 y, = , 21),(6 x + 10 y, =, 16):}`
Onderste van de bovenste aftrekken:
`2y=5` en `y=2,5` .
Invullen in `2x+4y=7` levert `x=text(-)1,5` .
Je kunt de bovenste vergelijking direct in de onderste substitueren: `x + x^2 = 6` .
Dit geeft `x=2 vv x=text(-)3` .
Ofwel `x=2` en `y=4` , ofwel `x=text(-)3` en `y=9` .
Schrijf de vergelijkingen eerst als functies van `y` , zodat je ze kunt invoeren in de GR:
`{(y, = , 84 / x),(y, =, 29 - 2x):}`
Voer in: Y1=84/X en Y2=29-2X.
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)10 le x le 20`
en
`text(-)30 le y le 30`
.
Laat de rekenmachine de snijpunten bepalen.
Dat levert op: `x=4` en `y=21` of `x = 10,5` en `y = 8` .
Schrijf de onderste vergelijking als
`y=2x+5`
en substitueer dit in de bovenste:
`x^2 + (2x+5)^2 = 50`
geeft
`x^2+4x-5=0`
en dus
`x=1 vv x=text(-)5`
.
Oplossing:
`x=text(-)5`
en
`y=text(-)5`
of
`x=1`
en
`y=7`
.
`l * b = 300` en `2 l + 2 b = 80` .
Herleid de tweede vergelijking naar `b=40-l` en substitueer in de eerste `l(40-l)=300` .
De rechthoek is `10` bij `30` centimeter.
Noem de hoeveelheid kg kaas `k` en de hoeveelheid kilogram boter `b` .
Iedere kg kaas gebruikt `9,8` kg melk en iedere kg boter `22,5` kg melk. In totaal is er `1000` kg melk beschikbaar, dus:
`9,8k+22,5b=1000`
Tevens wordt er twee keer zo veel boter als kaas gemaakt: `b=2k` .
Het op te lossen stelsel is dus:
`{( {:9,8:} k + {:22,5:} b, =, 1000),( b, = , 2 k):}`
De onderste vergelijking substitueren in de bovenste levert:
`54,8k=1000`
`k~~18,25`
Dus `b=36,5` .
Noem de prijs van een thuja `t` en de prijs van een jeneverbes `j` . Als er `20` thuja's en `12` jeneverbessen gekocht zijn voor € 267,00 valt dat om te schrijven naar `20 t + 12 j = 267` .
Twee jeneverbessen plus € 18,00 worden omgeruild voor vijf thuja's: `2 j + 18 = 5 t` , oftewel `text(-)5t+2j=text(-)18` . Je stelsel is dus:
`{( 20 t + 12 j, =, 267),( text(-)5 t + 2 j, = , text(-)18):}`
Vermenigvuldig de onderste vergelijking met `4` en tel bij de bovenste vergelijking op:
`20j=195` geeft `j=9,75` .
Invullen in een van de vergelijkingen levert `t=7,5` .
De tweede vergelijking van de eerste vergelijking aftrekken:
`x+4y=text(-)20`
.
De tweede vergelijking twee keer van de derde vergelijking aftrekken:
`7x+3y=55`
.
Je hebt nu het stelsel:
`{(x+4y=text(-)20),(7x+3y=55):}`
De eerste vergelijking met `3` vermenigvuldigen en de tweede vergelijking met `4` vermenigvuldigen geeft:
`{(3x+12y=text(-)60),(28x+12y=220):}`
De tweede vergelijking van de eerste vergelijking aftrekken geeft `text(-)25x=text(-)280` , dus `x=11,2` .
Invullen leidt tot `y=text(-)7,8` .
De gevonden `x` en `y` invullen geeft: `z=text(-)6,2` .
Noem het aantal bestelde borden `b` , het aantal bestelde kommen `k` en het aantal bestelde sets bestek `s` .
Je vindt dan: `{( 1,5 b + 1,2 k + 6 s, =, 1560 ),( 0,4 b + 0,4 k + 2 s, = , 500 ),( b - 2k , = , 0 ):}`
`{( {:1,5:} b + {:1,2:} k + 6 s, =, 1560 ),( {:0,4:} b + {:0,4:} k + 2 s, = , 500 ),( b - 2k , = , 0 ):}`
Vermenigvuldig de onderste vergelijking met `0,4` , en trek die van de middelste af. Deel de onderste vergelijking daarna weer door `0,4` , zodat je de oorspronkelijke onderste vergelijking terugkrijgt:
`{( {:1,5:} b + {:1,2:} k + 6 s, =, 1560 ),( {:1,2:} k + 2 s, = , 500 ),(b - 2k , = , 0 ):}`
Vermenigvuldig de onderste vergelijking nu met `1,5` , en trek die van de bovenste af, waarna je de onderste vergelijking weer terugschrijft naar het origineel:
`{( {:4,2:} k + 6 s, =, 1560 ),( {:1,2:} k + 2 s, = , 500 ),( b - 2k , = , 0 ):}`
Los nu de bovenste twee vergelijkingen op door de onderste daarvan (de middelste van de drie) te vermenigvuldigen met `3` , en die van de bovenste af te trekken:
`{( {:0,6:} k , =, 60 ),( {:3,6:} k + 6 s, = , 1500 ),( b - 2k , = , 0 ):}`
Uit de bovenste vergelijking volgt:
`k=100`
Uit `3,6k+6s=1500` en `b-2k=0` kun je dan opmaken dat `b=200` en `s=190` .
Omdat iedere set borden `5` borden bevat, zijn er `200/5=40` sets borden besteld. Voor hetzelfde geld zijn er `25` sets kommen besteld.
`a=3,6` en `b=text(-)0,2` .
`x ~~3,08` en `y ~~1,15` .
`p~~2,01` en `q~~198,99` of `p~~397,99` en `q~~1,01` .
`x=6` en `y=text(-)9` .
Er zaten `22` mensen op het balkon.