Functies en grafieken > Bijzondere functies
123456Bijzondere functies

Uitleg

Twee auto’s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. Auto I gaat van `A` naar `B` met een constante snelheid van `90` kilometer per uur (km/h) en auto II van `B` naar `A` met een constante snelheid van `120` km/h. `A` en `B` liggen `50` kilometer van elkaar verwijderd. Beide auto’s zijn op hetzelfde moment gestart. Als je wilt berekenen op welk tijdstip ze elkaar tegenkomen, stel je (bijvoorbeeld) de afstand tot `A` voor door de variabele `a` . Neem voor de tijd in minuten de variabele `t` .

Omdat auto I met `1,5` km per minuut rijdt, geldt: `a_(text(I)) =1,5 t` .
Voor auto II geldt `a_(text(II)) (0 )=50` en dus: `a_(text(II)) (t)=50 -2 t` .

Bij beide formules is er een lineair verband tussen `a` en `t` : `a_(text(I))` en `a_(text(II))` zijn lineaire functies. Je ziet beide grafieken, het zijn rechte lijnen.

De auto’s komen elkaar tegen als `1,5 t=50 -2 t` .
Als je deze vergelijking oplost, vind je `t≈14,3` minuten.

Je kunt de onderlinge afstand van beide auto's weergeven door de verschilgrafiek van `a_(text(I))` en `a_(text(II))` . Je ziet de verschilgrafiek in de figuur getekend. De verschilgrafiek vertoont een knik op het moment dat `a_(text(I)) =a_(text(II))` , dus bij `t≈14,3` . Dat komt omdat een afstand altijd positief is.

  • als `t≤14,3` dan is het positieve verschil `a_(text(II)) -a_(text(I))`

  • als `t>14,3` dan is het positieve verschil `a_(text(I)) -a_(text(II))`

Bij de verschilgrafiek hoort een functie die eigenlijk twee voorschriften kent, een voor `t ≤ 14,3` en een voor `t gt 14,3` . Als een uitdrukking met variabelen positief moet zijn (omdat het een afstand voorstelt bijvoorbeeld) zet je die uitdrukking tussen zogenaamde absoluutstrepen. Hier bijvoorbeeld is die afstand `| a_(text(I)) -a_(text(II)) |` . Dit is de absolute waarde van het verschil van `a_(text(I))` en `a_(text(II))` , de waarde zonder het (min)teken.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg . Twee auto’s rijden met een constante snelheid over dezelfde weg. Auto I gaat van `A` naar `B` met een constante snelheid van `90` km/h en auto II van `B` naar `A` met een constante snelheid van `120` km/h.

a

In de uitleg wordt de afstand van beide auto’s tot `A` bekeken. Bekijk die afstand nu vanuit `B` . Schrijf de twee bijpassende formules op.

b

Onderzoek door berekening of beide auto’s elkaar nu op hetzelfde tijdstip tegenkomen.

c

In de uitleg vind je een passende verschilgrafiek met afstanden ten opzichte van `A` . Maak nu zelf een grafiek van hun onderlinge afstand met de afstanden ten opzichte van `B` .

d

Voor welke twee waarden van `t` bedraagt die onderlinge afstand `20` km?

Opgave 2

Twee fietsers fietsen recht op elkaar af en komen elkaar op `t=0` tegen. Beiden fietsen met een snelheid van `18`  km/h. Hun onderlinge afstand `a` in meter hangt af van de tijd `t` in seconden.

a

Welk voorschrift heeft `a` als functie van `t` ?

b

Bereken de tijdstippen waarop de onderlinge afstand `90` meter is.

verder | terug