Voer in Y1=3/4*(v/10)^2 met venster bijvoorbeeld `[0, 140] xx [0, 160]` .

`text(D)_(f)=[0, 140 ]`
`text(B)_(f)=[0, 147 ]`

Door bij elke schakel van de gegeven functie het omgekeerde te doen en dit ook in de omgekeerde volgorde toe te passen.

Voer in Y2=10*√(4/3*R) met venster bijvoorbeeld `[0, 160] xx [0, 140]` .

De grafiek wordt het spiegelbeeld van die van `f` bij spiegeling in de lijn met punten waarvoor geldt `R=v` , omdat je beide assen omwisselt.

`text(D)_(f^ text(inv)) =[0 ,147 ]`
`text(B)_(f^ text(inv)) =[0 ,140 ]`

`h(4 )=sqrt(4 )+5 =2 +5 =7`

`h(x)=sqrt(x)+5`

`h^(text(inv)) (x)=(y-5)^2` ; het is gebruikelijk om dan toch `h^(text(inv)) (x)=(x-5)^2` te schrijven.

`k(4 )=sqrt(4 +5 )=sqrt(9 )=3`

`k(x)=sqrt(x+5 )`

`k^(text(inv)) (y)= y^2-5` ; het is gebruikelijk om dan toch `k^(text(inv)) (x)= x^2-5` te schrijven.

`x=text(-)3 ∨ x=3`

`f^(text(inv))(9)=sqrt(9)=3` . Als je bij functie `f` terugrekent heb je meestal twee uitkomsten (alleen bij `y=0` niet) en de inverse functie kan nooit meer dan één uitkomst hebben (omdat het een functie is).

Alleen het gedeelte waarvoor `x≥0` .

Bij elke waarde van `y` in het bereik van de functie moet precies één waarde van `x` horen, anders kun je niet eenduidig terugrekenen.

Als je eerst functie `f` toepast en daarna zijn inverse, krijg je de oorspronkelijke invoerwaarde weer terug.

Ja, `f` en `f^(text(inv))` zijn elkaars inverse.

Maak een rekenschema zoals in het voorbeeld. Je moet alleen de eerste en de derde schakel omwisselen. Je krijgt `g(x)= (sqrt(x)+9 ) ^2` .

Ook nu ziet het terugrekenschema eruit als in het voorbeeld met de eerste en de derde schakel verwisseld. Je krijgt `g^ text(inv) (x)= (sqrt(x)-9) ^2` .

Bedenk dat ook nu `[0, →〉` het domein van `a` is.

De terugrekenbewerking is delen door `1/2` ofwel vermenigvuldigen met `2` .

De inverse functie is (bijvoorbeeld) `f^ (text(inv)) (x)=2 x` .

De waarde van `x` wordt omgekeerd. `3` wordt `1/3` en `1/3` wordt `3` , `2/3` wordt `3/2` , enzovoort.

De inverse functie is "opnieuw omkeren" , dus `f^ text(inv) (x)=1/x` .

Bij terugrekenen vanuit een kwadraat krijg je meestal twee uitkomsten. Bij een inverse functie mag dat niet. Je moet daarom het domein van de functie die de rekenstap kwadrateren voorstelt, ( `f(x)=x^2` ) beperken, bijvoorbeeld tot `[0, →〉` .

In beide gevallen vind je als uitkomst `6` .

`f(g(x))=3 (1/3x+1/3)-1 =x` en `g(f(x))=1/3(3 x-1 )+1/3=x` .

Ja, ze zijn elkaars inverse.

Nu moet je achtereenvolgens eerst met `3` vermenigvuldigen, dan door `10` delen en tenslotte `1` bij het resultaat optellen. Maak een rekenschema.

`p= ((c-1 )*10) /3`

`p/30*9 +1 = (9 p) /30+1 =1 + (3 p) /10`

Dan vervang je `c` door X en `p` door Y. Je krijgt de grafiek van de functie `c(p)` en zijn inverse in één figuur.

`w=1,21 *k`

`k=w/(1,21)≈0,826 *w`

Ongeveer `82,6` %.

`f(g(4 ))=4` , `g(h(4 ))=4` en `h(f(4 ))=1`

`f(g(x))=sqrt(x^2)=x` (met `x≥0` )

`g(h(x))= (1/2x) ^2=1/4x^2`

`h(f(x))=1/2sqrt(x)`

`k(x)=f(h(g(x)))=sqrt(1/2x^2)=sqrt(1/2)*x` omdat `x ge 0` .

`y=sqrt(1/2x^2)` geeft `y^2=1/2x^2 ` en `2y^2=x^2` , zodat `sqrt(2y^2)=x` .

Als je `x` en `y` verwisselt krijg je de inverse `k^text(inv)` , dus `k^text(inv) (x)=sqrt(2x^2)` .

`k^text(inv)(k(x))=k^text(inv)(sqrt(1/2x^2))=sqrt(2(sqrt(1/2x^2))^2)=sqrt(x^2)=x` omdat `x ge 0` .

Rekenschema: `x→x-4 →sqrt(x-4 )=y`

Terugrekenschema: `x=y^2+4 ←y^2←y`

Dus `f_1^(text(inv)) (x)=x^2+4` met domein `[0, →⟩` .

Rekenschema: `x→sqrt(x)→y=sqrt(x)-4`

Terugrekenschema: `x= ((y+4 )) ^2←y+4 ←y`

Dus `f_2^(text(inv)) (x)= (x+4)^2` met domein `[text(-)4, →⟩` .

Rekenschema: `x→x^2→1/2x^2→y=1/2x^2+5`

Terugrekenschema: `x=sqrt(2 y-10 ) ←2 y-10 ←y-5 ←y`

Dus is `f_3^(text(inv)) (x)=sqrt(2 x-10 )` met domein `[5, →⟩` .

Rekenschema: `x→x+5 → (x+5) ^2→y=1/2 (x+5 )^2`

Terugrekenschema: `x=sqrt(2 y)-5 ←sqrt(2 y)←2 y←y`

Dus `f_4^(text(inv)) (x)=sqrt(2 x)-5` met domein `[0, →⟩` .

Een rekenschema maken is niet goed mogelijk, de `x` moet twee keer worden ingevoerd. Terugrekenen gaat daarom niet (eenvoudig).

`f(x)=(3-x)/x=3/x-x/x=3/x-1`

`y = 3/x - 1` wordt `x=3/y-1` en dit geeft `x+1=3/y` en `y=3/(x+1)` .

Dus `f^text(inv) (x) = 3/(x+1)` .

Geen inverse, want er zijn `y` -waarden met meerdere bijbehorende `x` -waarden.

Op `text(D)_(h)=⟨←,4⟩` is `h(x)=text(-)(x-4)+2=text(-)x+6` .

`y = text(-)x + 6` wordt `x=text(-)y+6` met `y < 4` . Dus de inverse is `y=text(-)x+6` met `y < 4` .

De inverse `h^(text(inv)) (x)=text(-)x+6` heeft dezelfde vorm als `h(x)` op `x < 4` , alleen het domein is anders. Er geldt: `h^(text(inv)) (x) < 4` , ofwel `x>2` .

`v(t)=20-9,81 t=0` geeft `t≈2,04` seconden.

`t= (v-20) /(text(-)9,81)≈text(-)0,10 v+2,04`

`v=0` geeft `t≈2,04` seconden.

`t=2 pi sqrt(2/(9,81))~~2,84` seconden.

`t=2 pi sqrt(l/(9,81))` geeft `t/(2 pi)=sqrt(l/(9,81))` dus `(t/(2 pi))^2=l/(9,81)` , zodat `9,81*(t/(2 pi))^2=l` .

`l=9,81((3,2)/(2 pi))^2~~2,54` meter.

`f(g(4 ))=20` , `g(f(4 ))=64` en `h(f(4 ))=16` .

`f(g(x))=x^2+4`

`g(f(x))= (x+4 ) ^2`

`h(f(x))=2 (x+4 )=2 x+8`

`f(g(h(x))) = (2 x)^2 + 4 = 4 x^2 + 4`

Omdat alleen dan eenduidig terugrekenen mogelijk is, alleen dan hoort er bij een mogelijke waarde van `y` precies één waarde van `x` .

`k^(text(inv)) (x)=1/2sqrt(x-4 )` .

`t=sqrt( (h-100) /(text(-)4,9))`

`h=0` geeft `t≈4,5` seconden.

`g(t)=100-19,6t^2`