Asymptoten en limieten > Karakteristieken
12345Karakteristieken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Zie de figuur.

b

Dat komt doordat bij deze vensterinstellingen een klein deel van de grafiek is te zien en dat deel van de grafiek is vrijwel een rechte lijn.

c

Nu zie je dat de grafiek drie nulpunten heeft.

d

Door de vergelijking `text(-)0,01 x^3+4 x=0` op te lossen. Als je dit algebraïsch doet, dan vind je drie waarden voor `x` en daarom drie nulpunten.

e

Als je alle nulpunten hebt, dan weet je zo ongeveer welke `x` -waarden van belang zijn. Je bekijkt dan in de tabel van de functie op de grafische rekenmachine welke `y` -waarden bij die `x` -waarden voorkomen.

Opgave 1
a

`text(-)0,01x^3+4x=0` geeft `x(x^2-400)=0` en dus `x=text(-)20 ∨ x=0 ∨ x=20` .

b

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40, 40]xx[text(-)40, 40]` .

c

`(11,55; 30,79 )` en `(text(-)11,55 ; text(-)30,79 )` .

d

`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=RR`

e

Voer ook in: Y2=X.
Gebruik de optie intersect.

De drie snijpunten van `y_1 =f(x)` en `y_2 =x` zijn `(text(-)17,321; text(-)17,321 )` , `(0, 0 )` en `(17,321; 17,321 )` .
De oplossing van de ongelijkheid is: `text(-)17,32 lt x ≤ 0 ∨ x gt 17,32` (denk aan de afrondingen).

Opgave 2
a

Je ziet geen grafiek. Deze is namelijk niet in beeld bij de standaardinstellingen van de GR.

b

`f(x)=0` geeft `1/2 (x-40)^4+100=0` en dus `(x-40)^4=text(-)200` .

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen, dus nee dat helpt niet.

c

Eén nulpunt dat tegelijk ook een top is, namelijk `(0, 0)` .

d

`[text(-)10, 10]xx[text(-)10, 10]` transleer je `40` ten opzichte van de `y` -as en `100` ten opzichte van de `x` -as: `[30, 50]xx[90, 110]` .

e

`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=[100, →⟩`

Opgave 3
a

Voer de berekening uit zonder naar het voorbeeld te kijken.

b

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40, 40 ]xx[text(-)2000 , 10000 ]` .

c

Gebruik de opties maximum en minimum.
Je vindt als toppen `(text(-)10, text(-)1000 )` , `(0, 0)` en `(10, text(-)1000 )` .

d

`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=[text(-)1000, →⟩`

e

De drie snijpunten van `y_1 =f(x)` en `y_2 =100 x` zijn `(text(-)10, text(-)1000 )` , `(text(-)6,18; text(-)618,03 )` , `(0, 0 )` en `(16,18; 1618,03)` .
De oplossing van de ongelijkheid is: `text(-)10 ≤ x lt text(-)6 ∨ 0 ≤ x ≤ 16` (denk aan de afrondingen).

Opgave 4
a

`100x(x-10)(x-20)^2 = 0` geeft direct `x=0 vv x=10 vv x=20` .

b

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)750000 , 250000 ]` .

c

Minimum `f(3,6 )~~text(-)619684` .
Maximum `f(13,9 )~~201716` .
Minimum `f(20 )=0` .

d

`text(B)_(f)=[text(-)619684 , →⟩`

Opgave 5
a

De vergelijking `0,1 x^4-20 x^2+12000 =0` kun je schrijven als `(x^2-100) ^2=text(-)110000` . Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

b

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40 , 40 ]xx[10000 , 20000 ]` .

c

`(text(-)10, 11000)` , `(0, 12000)` en `(10, 11000)` .

d

Voer in: Y2=1000X.
Gebruik de optie intersect.

De twee snijpunten van `y_1 =f(x)` en `y_2 =1000 x` zijn `(11,0; 11048,7)` en `(20, 20000)` . De oplossing van de ongelijkheid is: `11 < x≤20` (denk aan de afrondingen).

Opgave 6
a

`600 -0,01 (x-20)^3 = 0` geeft `(x-20)^3 = 60000` .
Dus `x=20+root3(60000)` .

b

`x=0` invullen geeft `(0 , 680 )` .

c

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 70 ]xx[text(-)200 , 800 ]` .

d

De grafiek van `g` kan door transformaties ontstaan uit die van `y=x^3` . Er zijn dus geen uiterste waarden.

Opgave 7
a

Je krijgt dan de grafiek niet goed in beeld. Hij lijkt niet op een bergparabool.

b

Om te bepalen welke instelling voor `x` geschikt is.

c

Venster bijvoorbeeld: `[0 , 200 ]xx[0 , 55 ]` .

Opgave 8
a

`80x-0,01x^4=0` geeft `x(8000-x^3)=0` , dus `x=0 vv x=20` .

Voer in: Y1=80X-0.01X^4.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)500 , 1000 ]` .
Je vindt met de GR dat het maximum ongeveer `756` is.

`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=⟨← , 756 ⟩`

b

`40-sqrt(x+20)=0` geeft `x+20=1600` en dus `x=1580` .

`g(0)=40-sqrt(20)~~36` .

Voer in: Y1=40-√(X+20).
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)25 , 10 ]xx[30 , 45 ]` .

`text(D)_(f)=[text(-)20, →⟩`
`text(B)_(f)=langle←, 40 ]`

c

Er zijn geen nulpunten.

Voer in: Y1=0.2(X-5)^4+120
Venster bijvoorbeeld `[text(-)10 , 15]xx[0 , 1000]` .
Omdat de grafiek van `h` door transformaties ontstaat uit de grafiek van `y=x^4` kun je dit ook beredeneren met behulp van transformaties.

`text(D)_(h)=RR`
`text(B)_(h)=[120, rarr rangle`

Opgave 9
a

`(x^2-100)(x^2-500)=0` geeft `x=+-10 vv x=+-sqrt(500)` .

Voer de functies in de GR in en bekijk de tabel.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40 , 40 ]xx[text(-)100000 , 200000 ]` .

b

`text(B)_(f)=[text(-)40000, →⟩`
`text(B)_(g)=[0, →⟩`

c

`f(x)=g(x)` geeft `x^4-600 x^2+50000 = x^4` en dus `x^2 = 500/6` .

GR: `text(-)sqrt(250/3) ≤ x ≤ sqrt(250/3)` .

Opgave 10
a

`v(T)=0` als `1 +T/273=0` , dus als `T=text(-)273` °C. Verder moet (vanwege de wortelvorm) `T≥text(-)273` .

Het snijpunt van `v(T)` met de `v` -as is `(0 , 331 )` .

Voer in Y1=331*√(1+X/273) met venster `[text(-)300 , 50 ]xx[0 , 400 ]` .

b

Waarschijnlijk alleen het deel met temperaturen van (bijvoorbeeld) `text(-)50` °C tot en met `50` °C.

c

`v(T)=320` geeft `T=text(-)17,84` , en `v(T)=340` geeft `T=15,05` .

Dus de geluidssnelheid ligt tussen de `320` en `340`  m/s bij temperaturen tussen de `text(-)17,8` en de `15,0`  °C.

Opgave 11
a

`f(0)=text(-)0^2+27*0+44=44`
De coördinaten zijn `(0, 44)` .

b

`text(-)x^3+27 x = 0` geeft `x(x^2-27)=0` , dus `x=text(-)sqrt(27) vv x=0 vv x=sqrt(27)` .

c

De grafiek van `f` ontstaat uit die van `g` door op deze laatste grafiek een translatie van `44` ten opzichte van de `x` -as toe te passen. Als je de tabel van `f` bekijkt voor de waarden van `x` waarbinnen de nulpunten van `g` liggen, dan krijg je een goede indruk van het verloop van de functiewaarden van `f` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 10 ]xx[text(-)20 , 120 ]` .

d

Maximum `f(3 )=98` en minimum `f(text(-)3 )=text(-)10` .

Opgave 12
a

Voer in: Y1=(X+1)(X^2-16).
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10, 10] xx [text(-)50, 25]` .

Met behulp van de grafische rekenmachine vind je `(2, text(-)36)` .

b

Voor punt `P` geldt: `f(0)=text(-)16` .

Voor punt `Q` geldt: `f(x)=0` dus `(x+1)(x^2-16)=0` geeft `x+1=0` of `x^2-16=0` .

Dit geeft als enige goede antwoord `x=4` omdat gegeven is dat de `x` -coördinaat van `Q` positief is.

De richtingscoëfficiënt van `k` is `(0-text(-)16)/(4-0)=4` .

Dus `k: y=4x-16` .

(naar: examen havo wiskunde B in 2011, eerste tijdvak)

Opgave 13Rechthoek onder halve cirkel
Rechthoek onder halve cirkel
a

De lengte van `AB` moet gelijk zijn aan die van `BC` , dus `2 p=sqrt(400 -p^2)` . Dit geeft `4p^2 = 400- p^2` ofwel `5p^2=400` en `p = +-sqrt(80)` .

Conclusie: `C = (sqrt(80 ), sqrt(320 ))` .

b

De oppervlakte van deze rechthoek is `O=2p*sqrt(400 -p^2)` . Het maximum hiervan kun je op dit moment alleen vinden met behulp van de grafische rekenmachine.

Daartoe moet je eerst de grafiek van `O(p)` in beeld brengen. Ga na dat `[0 , 20 ]xx[0 , 400 ]` een geschikt venster is.

Het maximum van `O` vind je als `p~~14,142` . Dat geeft `C(14,14 ; 14,14 )` .

Opgave 14Windturbines
Windturbines
a

Op `[0 , 4 rangle` is `P=0` .
Op `[4 , 15 rangle` is `P=0,195 v^3` .
Op `[15 , 25 rangle` is `P=P(15)=658,125~~658` .
Op `[25 , 30 ]` is `P=0` .

b

Voer in: Y1=0.195X^3 en Y2=500.
Bepaal het snijpunt.
Het kan ook algebraïsch: `0,195v^3 = 500` geeft `v=root3((500)/(0,195))~~13,69` .

Voor windsnelheden vanaf `13,69` m/s tot `25` m/s.

(naar: examen havo wiskunde B in 2001, tweede tijdvak)

Opgave 15
a

`x=text(-)20 vv x=10`

b

Bijvoorbeeld `[text(-)30 , 20 ]xx[text(-)20000 , 20000 ]` .

c

`text(-)9,4 < x < 8,0`

Opgave 16

Top: `(text(-)20 , 128 )` . Nulpunten: `x=text(-)24` en `x=text(-)16` .

verder | terug