Zie de figuur.
Dat komt doordat bij deze vensterinstellingen een klein deel van de grafiek is te zien en dat deel van de grafiek is vrijwel een rechte lijn.
Nu zie je dat de grafiek drie nulpunten heeft.
Door de vergelijking `text(-)0,01 x^3+4 x=0` op te lossen. Als je dit algebraïsch doet, dan vind je drie waarden voor `x` en daarom drie nulpunten.
Als je alle nulpunten hebt, dan weet je zo ongeveer welke `x` -waarden van belang zijn. Je bekijkt dan in de tabel van de functie op de grafische rekenmachine welke `y` -waarden bij die `x` -waarden voorkomen.
`text(-)0,01x^3+4x=0` geeft `x(x^2-400)=0` en dus `x=text(-)20 ∨ x=0 ∨ x=20` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40, 40]xx[text(-)40, 40]` .
`(11,55; 30,79 )` en `(text(-)11,55 ; text(-)30,79 )` .
`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=RR`
Voer ook in: Y2=X.
Gebruik de optie intersect.
De drie snijpunten van
`y_1 =f(x)`
en
`y_2 =x`
zijn
`(text(-)17,321; text(-)17,321 )`
,
`(0, 0 )`
en
`(17,321; 17,321 )`
.
De oplossing van de ongelijkheid is:
`text(-)17,32 lt x ≤ 0 ∨ x gt 17,32`
(denk aan de afrondingen).
Je ziet geen grafiek. Deze is namelijk niet in beeld bij de standaardinstellingen van de GR.
`f(x)=0` geeft `1/2 (x-40)^4+100=0` en dus `(x-40)^4=text(-)200` .
Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen, dus nee dat helpt niet.
Eén nulpunt dat tegelijk ook een top is, namelijk `(0, 0)` .
`[text(-)10, 10]xx[text(-)10, 10]` transleer je `40` ten opzichte van de `y` -as en `100` ten opzichte van de `x` -as: `[30, 50]xx[90, 110]` .
`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=[100, →⟩`
Voer de berekening uit zonder naar het voorbeeld te kijken.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40, 40 ]xx[text(-)2000 , 10000 ]` .
Gebruik de opties maximum en minimum.
Je vindt als toppen
`(text(-)10, text(-)1000 )`
,
`(0, 0)`
en
`(10, text(-)1000 )`
.
`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=[text(-)1000, →⟩`
De drie snijpunten van
`y_1 =f(x)`
en
`y_2 =100 x`
zijn
`(text(-)10, text(-)1000 )`
,
`(text(-)6,18; text(-)618,03 )`
,
`(0, 0 )`
en
`(16,18; 1618,03)`
.
De oplossing van de ongelijkheid is:
`text(-)10 ≤ x lt text(-)6 ∨ 0 ≤ x ≤ 16`
(denk aan de afrondingen).
`100x(x-10)(x-20)^2 = 0` geeft direct `x=0 vv x=10 vv x=20` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)750000 , 250000 ]` .
Minimum
`f(3,6 )~~text(-)619684`
.
Maximum
`f(13,9 )~~201716`
.
Minimum
`f(20 )=0`
.
`text(B)_(f)=[text(-)619684 , →⟩`
De vergelijking `0,1 x^4-20 x^2+12000 =0` kun je schrijven als `(x^2-100) ^2=text(-)110000` . Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)40 , 40 ]xx[10000 , 20000 ]` .
`(text(-)10, 11000)` , `(0, 12000)` en `(10, 11000)` .
Voer in: Y2=1000X.
Gebruik de optie intersect.
De twee snijpunten van `y_1 =f(x)` en `y_2 =1000 x` zijn `(11,0; 11048,7)` en `(20, 20000)` . De oplossing van de ongelijkheid is: `11 < x≤20` (denk aan de afrondingen).
`600 -0,01 (x-20)^3 = 0`
geeft
`(x-20)^3 = 60000`
.
Dus
`x=20+root3(60000)`
.
`x=0` invullen geeft `(0 , 680 )` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 70 ]xx[text(-)200 , 800 ]` .
De grafiek van `g` kan door transformaties ontstaan uit die van `y=x^3` . Er zijn dus geen uiterste waarden.
Je krijgt dan de grafiek niet goed in beeld. Hij lijkt niet op een bergparabool.
Om te bepalen welke instelling voor `x` geschikt is.
Venster bijvoorbeeld: `[0 , 200 ]xx[0 , 55 ]` .
`80x-0,01x^4=0` geeft `x(8000-x^3)=0` , dus `x=0 vv x=20` .
Voer in: Y1=80X-0.01X^4.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10 , 30 ]xx[text(-)500 , 1000 ]`
.
Je vindt met de GR dat het maximum ongeveer
`756`
is.
`text(D)_(f)=RR`
`text(B)_(f)=⟨← , 756 ⟩`
`40-sqrt(x+20)=0` geeft `x+20=1600` en dus `x=1580` .
`g(0)=40-sqrt(20)~~36` .
Voer in: Y1=40-√(X+20).
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)25 , 10 ]xx[30 , 45 ]`
.
`text(D)_(f)=[text(-)20, →⟩`
`text(B)_(f)=langle←, 40 ]`
Er zijn geen nulpunten.
Voer in: Y1=0.2(X-5)^4+120
Venster bijvoorbeeld
`[text(-)10 , 15]xx[0 , 1000]`
.
Omdat de grafiek van
`h`
door transformaties ontstaat uit de grafiek van
`y=x^4`
kun je dit ook beredeneren met behulp van transformaties.
`text(D)_(h)=RR`
`text(B)_(h)=[120, rarr rangle`
`(x^2-100)(x^2-500)=0` geeft `x=+-10 vv x=+-sqrt(500)` .
Voer de functies in de GR in en bekijk de tabel.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)40 , 40 ]xx[text(-)100000 , 200000 ]`
.
`text(B)_(f)=[text(-)40000, →⟩`
`text(B)_(g)=[0, →⟩`
`f(x)=g(x)` geeft `x^4-600 x^2+50000 = x^4` en dus `x^2 = 500/6` .
GR: `text(-)sqrt(250/3) ≤ x ≤ sqrt(250/3)` .
`v(T)=0` als `1 +T/273=0` , dus als `T=text(-)273` °C. Verder moet (vanwege de wortelvorm) `T≥text(-)273` .
Het snijpunt van `v(T)` met de `v` -as is `(0 , 331 )` .
Voer in Y1=331*√(1+X/273) met venster `[text(-)300 , 50 ]xx[0 , 400 ]` .
Waarschijnlijk alleen het deel met temperaturen van (bijvoorbeeld) `text(-)50` °C tot en met `50` °C.
`v(T)=320` geeft `T=text(-)17,84` , en `v(T)=340` geeft `T=15,05` .
Dus de geluidssnelheid ligt tussen de `320` en `340` m/s bij temperaturen tussen de `text(-)17,8` en de `15,0` °C.
`f(0)=text(-)0^2+27*0+44=44`
De coördinaten zijn
`(0, 44)`
.
`text(-)x^3+27 x = 0` geeft `x(x^2-27)=0` , dus `x=text(-)sqrt(27) vv x=0 vv x=sqrt(27)` .
De grafiek van
`f`
ontstaat uit die van
`g`
door op deze laatste grafiek een translatie van
`44`
ten opzichte van de
`x`
-as toe te passen. Als je de tabel van
`f`
bekijkt voor de waarden van
`x`
waarbinnen de nulpunten van
`g`
liggen, dan krijg je een goede indruk van het verloop van de functiewaarden van
`f`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10 , 10 ]xx[text(-)20 , 120 ]`
.
Maximum `f(3 )=98` en minimum `f(text(-)3 )=text(-)10` .
Voer in: Y1=(X+1)(X^2-16).
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10, 10] xx [text(-)50, 25]`
.
Met behulp van de grafische rekenmachine vind je `(2, text(-)36)` .
Voor punt `P` geldt: `f(0)=text(-)16` .
Voor punt `Q` geldt: `f(x)=0` dus `(x+1)(x^2-16)=0` geeft `x+1=0` of `x^2-16=0` .
Dit geeft als enige goede antwoord `x=4` omdat gegeven is dat de `x` -coördinaat van `Q` positief is.
De richtingscoëfficiënt van `k` is `(0-text(-)16)/(4-0)=4` .
Dus `k: y=4x-16` .
(naar: examen havo wiskunde B in 2011, eerste tijdvak)
De lengte van `AB` moet gelijk zijn aan die van `BC` , dus `2 p=sqrt(400 -p^2)` . Dit geeft `4p^2 = 400- p^2` ofwel `5p^2=400` en `p = +-sqrt(80)` .
Conclusie: `C = (sqrt(80 ), sqrt(320 ))` .
De oppervlakte van deze rechthoek is `O=2p*sqrt(400 -p^2)` . Het maximum hiervan kun je op dit moment alleen vinden met behulp van de grafische rekenmachine.
Daartoe moet je eerst de grafiek van `O(p)` in beeld brengen. Ga na dat `[0 , 20 ]xx[0 , 400 ]` een geschikt venster is.
Het maximum van `O` vind je als `p~~14,142` . Dat geeft `C(14,14 ; 14,14 )` .
Op
`[0 , 4 rangle`
is
`P=0`
.
Op
`[4 , 15 rangle`
is
`P=0,195 v^3`
.
Op
`[15 , 25 rangle`
is
`P=P(15)=658,125~~658`
.
Op
`[25 , 30 ]`
is
`P=0`
.
Voer in: Y1=0.195X^3 en Y2=500.
Bepaal het snijpunt.
Het kan ook algebraïsch:
`0,195v^3 = 500`
geeft
`v=root3((500)/(0,195))~~13,69`
.
Voor windsnelheden vanaf `13,69` m/s tot `25` m/s.
(naar: examen havo wiskunde B in 2001, tweede tijdvak)
`x=text(-)20 vv x=10`
Bijvoorbeeld `[text(-)30 , 20 ]xx[text(-)20000 , 20000 ]` .
`text(-)9,4 < x < 8,0`
Top: `(text(-)20 , 128 )` . Nulpunten: `x=text(-)24` en `x=text(-)16` .