Asymptoten en limieten > Karakteristieken
12345Karakteristieken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Zie de figuur.

b

Dat komt doordat bij deze vensterinstellingen een klein deel van de grafiek is te zien en dat deel van de grafiek is vrijwel een rechte lijn.

c

Nu zie je dat de grafiek drie nulpunten heeft.

d

Door de vergelijking op te lossen. Als je dit algebraïsch doet, dan vind je drie waarden voor en daarom drie nulpunten.

e

Als je alle nulpunten hebt, dan weet je zo ongeveer welke -waarden van belang zijn. Je bekijkt dan in de tabel van de functie op de grafische rekenmachine welke -waarden bij die -waarden voorkomen.

Opgave 1
a

geeft en dus .

b

Venster bijvoorbeeld:

c

en .

d


e

Voer ook in: Y2=X
Gebruik de optie intersect.

De drie snijpunten van en zijn , en .
De oplossing van de ongelijkheid is: (denk aan de afrondingen).

Opgave 2
a

Je ziet geen grafiek. Deze is namelijk niet in beeld bij de standaardinstellingen van jouw GR.

b

geeft en dus .

Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

c

Eén nulpunt dat tegelijk ook een top is, namelijk .

d

Welk venster moet je instellen om de grafiek van goed in beeld te krijgen?

e


Opgave 3
a

Voer de berekening uit zonder naar het voorbeeld te kijken.

b

Venster bijvoorbeeld:

c

Gebruik de opties maximum en minimum.
Je vindt als toppen , en .

d


e

De drie snijpunten van en zijn , , en .
De oplossing van de ongelijkheid is: (denk aan de afrondingen).

Opgave 4
a

geeft direct .

b

Venster bijvoorbeeld:

c

Minimum
Maximum
Minimum

d

Opgave 5
a

De vergelijking kun je schrijven als . Deze vergelijking heeft geen reële oplossingen.

b

Venster bijvoorbeeld:

c

, en .

d

Voer in: Y2=1000X
Gebruik de optie intersect.

De twee snijpunten van en zijn en . De oplossing van de ongelijkheid is: (denk aan de afrondingen).

Opgave 6
a

geeft .
Dus .

b

invullen geeft .

c

Venster bijvoorbeeld:

d

De grafiek van kan door transformaties ontstaan uit die van . Er zijn dus geen uiterste waarden.

Opgave 7
a

Je krijgt dan de grafiek niet goed in beeld. Hij lijkt niet op een bergparabool.

b

Om te bepalen welke instelling voor geschikt is.

c

Venster bijvoorbeeld: .

Opgave 8
a

geeft , dus .

Voer in: Y1=80X-0.01X^4.
Venster bijvoorbeeld: .
Je vind met de GR dat het maximum ongeveer is.


b

geeft en dus .

.

Voer in: Y1=40-√(X+20).
Venster bijvoorbeeld: .


c

Er zijn geen nulpunten.

Voer in: Y1=0.2(X-5)^4+120
Venster bijvoorbeeld
Omdat de grafiek van door transformaties ontstaat uit de grafiek van kun je dit ook beredeneren met behulp van transformaties.


Opgave 9
a

geeft .

Voer de functies in de GR in en bekijk de tabel.
Venster bijvoorbeeld: .

b


c

geeft en dus .

GR: .

Opgave 10
a

als , dus als °C. Verder moet (vanwege de wortelvorm) .

Het snijpunt van met de -as is .

Voer in Y1=331*√(1+X/273) met venster .

b

Waarschijnlijk alleen het deel met temperaturen van (bijvoorbeeld) °C tot en met °C.

c

geeft , en geeft .

Dus de geluidssnelheid ligt tussen de en m/s bij temperaturen tussen de en de °C.

Opgave 11
a


Coördinaten zijn .

b

geeft , dus .

c

De grafiek van ontstaat uit die van door op deze laatste grafiek een translatie van ten opzichte van de -as toe te passen. Als je de tabel van bekijkt voor de waarden van waarbinnen de nulpunten van liggen, dan krijg je een goede indruk van het verloop van de functiewaarden van .
Venster bijvoorbeeld:

d

Maximum en minimum .

Opgave 12
a

Voer in: Y1=(X+1)(X^2-16)
Venster bijvoorbeeld:

Met behulp van de grafische rekenmachine vind je .

b

Voor punt geldt: .

Voor punt geldt: dus geeft of .

Dit geeft als enige goede antwoord omdat gegeven is dat de -coördinaat van positief is.

De richtingscoëfficiënt van is .

Dus .

naar: examen 2011 havo B, eerste tijdvak

Opgave 13Rechthoek onder halve cirkel
Rechthoek onder halve cirkel
a

De lengte van moet gelijk zijn aan die van , dus . Dit geeft ofwel en .

Conclusie: .

b

De oppervlakte van deze rechthoek is . Het maximum hiervan kun je op dit moment alleen vinden met behulp van de grafische rekenmachine.

Daartoe moet je eerst de grafiek van in beeld brengen. Ga na dat een geschikt venster is.

Het maximum van vind je als . Dat geeft .

Opgave 14Windturbines
Windturbines
a

Op is .
Op is .
Op is .
Op is .

b

Voer in: Y1=0.195X^3 en Y2=500
Bepaal het snijpunt.
Het kan ook algebraïsch: geeft .

Voor windsnelheden vanaf m/s tot m/s.

naar: examen 2001 havo B, tweede tijdvak

Opgave 15
a

b

Bijvoorbeeld .

c

Opgave 16

Top: . Nulpunten: en .

verder | terug