Asymptoten en limieten > Asymptoten
12345Asymptoten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`P=0,06 +250/a`

b

€ 0,06

c

Theoretisch worden ze dan oneindig groot, maar `a=0` betekent hier dat de school alleen de volledige kosten van de machine moet betalen. Dus € 250,00. Let er op dat je `a=0` niet mag invullen in de formule (want je deelt dan door `0` ). En bijvoorbeeld `a=0,1` mag ook niet, omdat het om een aantal gaat.

Opgave 1
a

`K(10000)=0,095`
Dat is `9,5` eurocent per kopie.

b

`7,5` eurocent per kopie.

c

`K=0,075`

d

`K(1)=200,08` euro.

Opgave 2
a

Voer in: Y1=4/X+2.

b

`x=0` ; bij X=0 staat ERROR of iets dergelijks.

c

Vul voor `x` grote getallen in, je ziet dan dat de functiewaarden in de buurt van `2` komen.

d

Vul voor `x` negatieve getallen in zoals in het voorbeeld, je ziet dan dat de functiewaarden in de buurt van `2` komen.

e

`y=2`

f

`text(D)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 ,→⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 ,→⟩`

Opgave 3
a

Voer in Y1=4/(X+2).
Verticale asymptoot: `x=text(-)2` .

b

Functiewaarden in de buurt van `0` .

c

Functiewaarden in de buurt van `0` (heel klein betekent hier: heel ver negatief).

d

`y=0`

e

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)2 ⟩∪⟨text(-)2 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩`

Opgave 4
a

`f(x)=0` betekent `x-10=0` en dus `x=10` .

b

Delen door `0` kan niet. `x^2-25 =0` als `x=text(-)5 ∨x=5` .
Door getallen vlak in de buurt van deze twee waarden in te vullen, ontdek je dat de functiewaarden heel erg groot of heel erg klein (erg negatief) worden.
De lijnen `x=text(-)5` en `x=5` zijn de verticale asymptoten.

c

Neem je grote of kleine waarden, dan zie je dat de functiewaarden steeds dichter bij `0` uitkomen. De lijn `y=0` is de horizontale asymptoot. Controleer dit door het in te voeren in de GR en de tabel te raadplegen.

Je kunt het ook zo zien: als je grote waarden voor `x` invult, dan wordt `x^2-25` sneller groter dan `x-10` . Dan moet gelden voor de uitdrukking `(x-10)/(x^2-25)` dat dit dicht bij `0` moet liggen voor grote `x` -waarden.

d

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 25]xx[text(-)4 , 4]`

e

Minimum `f(1,340 )~~0,373` en maximum `f(18,660 )~~0,027` .

f

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)5 ⟩∪⟨text(-)5 , 5 ⟩∪⟨5 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←;0,027 ⟩∪⟨0,373 ;→⟩` (denk om de afrondingen op drie decimalen)

Opgave 5
a

`1 +x^2>0` voor alle `x` .

b

`g(x)=0` wil zeggen `4x=0` , dus gewoon `x=0` .

c

Na grote positieve en erg negatieve waarden voor `x` in te vullen zie je dat `y=0` de horizontale asymptoot is.

d

`text(D)_(g)=RR`
`text(B)_(g)=[text(-)2 , 2 ]`

Opgave 6
a

Verticale asymptoot: `x=0` en horizontale asymptoot: `y=4` .

`text(D)_(f) = ⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩`

`text(B)_(f) = ⟨←, 4 ⟩∪⟨4 , →⟩`

b

Verticale asymptoot: `x=0` en horizontale asymptoot: `y=text(-)1` .

`text(D)_(g) = ⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩`

`text(B)_(g) = ⟨←, text(-)1 ⟩∪⟨text(-)1 , →⟩`

c

Verticale asymptoot: `x=text(-)2` en `x=2` en horizontale asymptoot: `y=0` .

`text(D)_(h)=⟨←, text(-)2 ⟩∪⟨text(-)2 , 2 ⟩∪⟨2 , →⟩`

`text(B)_(h)=RR`

d

Horizontale asymptoot: `y=1` ; er is geen verticale asymptoot.

`text(D)_(k)=RR`
`text(B)_(k)=[0 , 1:)`

Opgave 7
a

`x=0` en `y=5` .

b

Translatie van `text(-)5` ten opzichte van de `x` -as.

Opgave 8
a

`(10x)/(x-20)^2 = 0` geeft `10x=0` en dus `x=0` .

b

Verticale asymptoot: `x=20`
Horizontale asymptoot: `y=0`

c

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)200, 200]xx[text(-)1, 1]`

d

`f(x)` heeft een top `(text(-)20; text(-)0,125)` . Het minimum is `text(-)0,125` . Alle andere functiewaarden van `f` liggen daarboven.

`text(B)_(f)=[text(-)0,125; →⟩`

Opgave 9
a

`x^2/(x^4+10) = 0` geeft `x^2=0` en dus `x=0` .

b

Horizontale asymptoot: `y=0`
Er is geen verticale asymptoot.

c

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 10 ]xx[text(-)0,1; 0,2 ]`

d

Het bereik ligt tussen het nulpunt en de toppen die je aan weerszijden daarvan ziet op de GR. Met de optie maximum vind je de top op `y=0,16` .

`text(B)_(f)=[0 ; 0,16 ]`

Opgave 10
a

`TK(120)=1540`
De kosten per stuk zijn: `1540/120~~12,83` euro

b

Noem de gemiddelde kosten `GK` . De gemiddelde kosten van een artikel zijn de totale kosten gedeeld door het totale aantal artikelen, ofwel `GK=(TK)/q` . Het hellingsgetal van de lijn door `(0, 0)` en `(q, TK)` is `(TK-0)/(q-0)=(TK)/q` .

c

`GK = (100+0,1q^2)/q = 100/q + 0,1 q`

d

Verticale asymptoot: `q=0`
`text(D)_(GK)=⟨0, →⟩`
`text(B)_(GK)=[6,32 ;→⟩`

Opgave 11Lichaamstemperatuur
Lichaamstemperatuur
a

Ongeveer vier keer zo groot

b

`15+(7,2)/(0,0785-0,0034T) = 5*60` geeft `(7,2)/(0,0785-0,0034T)=285` en dus `0,0785-0,0034T = (7,2)/285` , zodat `T~~16` .
De watertemperatuur is ongeveer `16` °C

c

Er is een verticale asymptoot als `0,0785-0,0034T=0` , dus bij `T~~23` .

Als de watertemperatuur `23` °C is kan een persoon niet onderkoeld raken.

naar: examen 2011, havo B, eerste tijdvak

Opgave 12Toonhoogte
Toonhoogte
a

Is er een omgekeerd evenredig verband tussen `W` en `f` ?

b

De waarden van `W` zijn dalen naarmate `f` toeneemt.
`W(15)=22` en `W(30000)=0,011` .

`text(B)_(W)=[0,011; 22 ]`

c

Vleermuizen kunnen hoogfrequente geluiden horen, soms wel geluiden met een frequentie van `120000` Hz. Is dit een hoog of juist laag geluid?

d

De golflengte is `W(120000)=0,00275` meter.

e

`W(20)=16,5` . Dus het gaat om een bas (lage toon) met een golflengte langer dan `16,5` meter.

f

`W` nadert tot `0` m.

Opgave 13
a

`f(100 )~~2,0606` en `f(text(-)100 )~~1,9406` .

b

`x=text(-)2`

c

Voer in: Y1=(4+2X)/(X-1). Venster: Standaard.

d

`x=1` en `y=2` .

e

`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩∪⟨2 , →⟩` .

Opgave 14
a

`10,9` °C

b

`〈2 , →〉`

c

Verticale asymptoot: `T=2` en horizontale asymptoot: `K=0` .

d

`⟨0 , →⟩`

verder | terug