Asymptoten en limieten > AsymptotenVoorbeeld 2
Je ziet de grafiek van `f(x) = (4 x^2 - 16)/(x^2 - 100)` met de standaard vensterinstellingen van de grafische rekenmachine. Bepaal alle karakteristieken en het bereik van `f` .
Op grond van dit plaatje zou je verkeerde conclusies kunnen trekken. Bijvoorbeeld dat het maximum `f(0 )=0` is en dat de grafiek een soort afgeplatte bergparabool is. En dat is niet goed.
Kijk eerst of er nulpunten en asymptoten zijn:
-
`f(x)=0` levert op: `(4 x^2-16) / (x^2-100) =0` en dus: `4 x^2-16 =0` . Er zijn daarom precies twee nulpunten, namelijk `x=text(-)2` en `x=2` .
-
Je deelt door `x^2-100` en dus ontstaan er problemen als `x^2-100 =0` . Dit betekent dat `x=10` en `x=text(-)10` wellicht verticale asymptoten zijn. Door getallen in de buurt van `10` dan wel `text(-)10` in te vullen, merk je dat dit echt twee verticale asymptoten zijn.
-
Door grote of kleine (dus negatieve) getallen in te vullen naderen de functiewaarden de `4` . Dus `y=4` is de horizontale asymptoot.
Pas nu de vensterinstellingen aan en breng alle karakteristieken van de grafiek in beeld. Bij `x=0` blijkt een maximum te zitten: `f(0 )=0,16` . (Laat je rekenmachine een maximum zoeken tussen bijvoorbeeld de nulpunten.)
Het bereik van `f` lees je uit de grafiek af, rekening houdend met het maximum en de horizontale asymptoot: `text(B)_(f)=⟨←; 0,16] ∪ ⟨4 , →⟩` .
Gegeven is de functie `f` met `f(x)= (x-10)/(x^2-25)` .
Welk nulpunt heeft de grafiek van `f` ?
Welke verticale asymptoten heeft de grafiek van `f` ?
Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van `f` ?
Je kunt de `x` -waarden van het venster instellen. De karakteristieken (de nulpunten, de asymptoten en de toppen) moeten zichtbaar worden.
Welke vensterinstellingen laten alle karakteristieken zien, dus ook de twee extremen?
Bepaal de extremen van deze functie op drie decimalen nauwkeurig.
Schrijf domein en bereik van deze functie op.
Gegeven is `g(x) = (4 x)/(1 +x^2)` .
Waarom heeft deze functie geen verticale asymptoot?
Welk nulpunt heeft de grafiek van `g` ?
Onderzoek of `g(x)` een horizontale asymptoot heeft.
Geef het domein en het bereik van `g` .