Asymptoten en limieten > Asymptoten
12345Asymptoten

Voorbeeld 2

Je ziet de grafiek van `f(x)= (4 x^2-16) / (x^2-100)` met de standaard vensterinstellingen van de grafische rekenmachine. Bepaal alle karakteristieken en het bereik van `f` .

> antwoord

Op grond van dit plaatje zou je verkeerde conclusies kunnen trekken. Bijvoorbeeld dat het maximum `f(0 )=0` is en dat de grafiek een soort afgeplatte bergparabool is. En dat is niet goed.

Kijk eerst of er nulpunten en asymptoten zijn:

  • `f(x)=0` levert op: `(4 x^2-16) / (x^2-100) =0` en dus: `4 x^2-16 =0` . Er zijn daarom precies twee nulpunten, namelijk `x=text(-)2` en `x=2` .

  • Je deelt door `x^2-100` en dus ontstaan er problemen als `x^2-100 =0` . Dit betekent dat `x=10` en `x=text(-)10` wellicht verticale asymptoten zijn. Door getallen in de buurt van `10` dan wel `text(-)10` in te vullen, merk je dat dit echt twee verticale asymptoten zijn.

  • Door grote of kleine (dus negatieve) getallen in te vullen naderen de functiewaarden de `4` . Dus `y=4` is de horizontale asymptoot.

Pas nu de vensterinstellingen aan en breng alle karakteristieken van de grafiek in beeld. Bij `x=0` blijkt een maximum te zitten: `f(0 )=0,16` . (Laat je rekenmachine een maximum zoeken tussen bijvoorbeeld de nulpunten.)

Het bereik van `f` lees je uit de grafiek af, rekening houdend met het maximum en de horizontale asymptoot: `text(B)_(f)=⟨←; 0,16] ∪ ⟨4 , →⟩` .

Opgave 4

Gegeven is de functie `f` met `f(x)= (x-10) / (x^2-25)` .

a

Welk nulpunt heeft de grafiek van `f` ?

b

Welke verticale asymptoten heeft de grafiek van `f` ?

c

Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van `f` ?

Je kunt de `x` -waarden van het venster instellen. De karakteristieken (de nulpunten, de asymptoten en de toppen) moeten zichtbaar worden.

d

Welke vensterinstellingen laten alle karakteristieken zien, dus ook de twee extremen?

e

Bepaal de extremen van deze functie op drie decimalen nauwkeurig.

f

Schrijf domein en bereik van deze functie op.

Opgave 5

Gegeven is `g(x)= (4 x) / (1 +x^2)` .

a

Waarom heeft deze functie geen verticale asymptoot?

b

Welk nulpunt heeft de grafiek van `g` ?

c

Onderzoek of `g(x)` een horizontale asymptoot heeft.

d

Geef het domein en het bereik van `g` .

verder | terug