Asymptoten en limieten > Asymptoten
12345Asymptoten

Theorie

Bij functies komen regelmatig asymptoten voor. Dat zijn lijnen waar de grafiek steeds dichter in de buurt komt naarmate je verder van de oorsprong van het assenstelsel komt. Vooral een verticale asymptoot kun je vaak goed in het functievoorschrift herkennen: een invoerwaarde waarbij je door `0` moet delen, veroorzaakt vaak een asymptoot. Een horizontale asymptoot ontstaat als de functiewaarden een vast getal naderen naarmate de invoerwaarden heel groot of heel klein (erg negatief) worden.

De functie `f` met voorschrift `f(x)=1/x` (zie de grafiek) is de basisfunctie van een functie met asymptoten. Je ziet er hier de grafiek van. Deze grafiek heeft:

  • als horizontale asymptoot de lijn `y=0` , want voor grote en kleine (erg negatieve) waarden van `x` naderen de functiewaarden steeds dichter `0` ;

  • als verticale asymptoot de lijn `x=0` , want dit getal heeft geen functiewaarde (je kunt niet door `0` delen) en vlak in de buurt van `0` worden de functiewaarden heel groot of heel klein (erg negatief).

Het domein van `f` schrijf je als `text(D)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩` .
Het bereik is `text(B)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , →⟩` .
Het teken `∪` betekent dat het gaat om alle getallen van de twee intervallen samen.

Als je de grafiek van een functie `f` goed in beeld hebt, zijn alle karakteristieken zichtbaar (op het gewenste domein). Dat kunnen zijn:

  • de snijpunten met de assen;

  • de asymptoten;

  • de toppen, de punten met (lokale) maxima en minima.

Bij een gebroken functie van de vorm `y=a/x` is er een omgekeerd evenredig verband tussen `y` en `x` . Deze formule kun je ook schrijven als `xy=a` ; dit betekent dat het product van `x` en `y` altijd gelijk is aan `a` .

verder | terug