Asymptoten en limieten > Limieten
12345Limieten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f(x)` benadert dan het getal `0` , maar dit wordt nooit echt bereikt.

b

`f(x)` benadert dan het getal `0` , maar dit wordt nooit echt bereikt.

c

De functiewaarden worden steeds groter naarmate `x` dichter bij `0` komt. Je zou kunnen zeggen dat `f(x)` oneindig groot wordt als `x` het getal `0` van de positieve kant benadert.

d

De functiewaarden worden steeds kleiner (negatief) naarmate `x` dichter bij `0` komt. Je zou kunnen zeggen dat `f(x)` oneindig klein (negatief) wordt als `x` het getal `0` van de negatieve kant benadert.

Opgave 1
a

Voer in: Y1=1/X
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]`

Er zijn geen nulpunten en geen toppen. Er zijn twee asymptoten, de lijn `y=0` is de horizontale asymptoot en de lijn `x=0` is de verticale asymptoot.

b

`lim_(x→∞)f(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=0` .

c

`lim_(x↓0) f(x)=∞` en `lim_(x↑0) f(x)=∞` .

d

Voor functie `g` geldt: `lim_(x→∞)g(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)g(x)=0` en `lim_(x↓0) g(x)=∞` en `lim_(x↑0) g(x)=text(-) ∞` .

Voor functie `h` geldt: `lim_(x→∞)h(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)h(x)=0` en `lim_(x↓0) h(x)=∞` en `lim_(x↑0) h(x)=∞` .

Het patroon is dat deze limieten gelden voor alle functies van de vorm `f(x)=1/x^n` met `n=1, 2, 3, 4,...` . Alleen bij de laatste limiet heb je bij even `n` geen minteken en bij oneven `n` wel.

Opgave 2
a

Voer in: Y1=2-1/(X-1)^2
Venster: standaard

b

Verticale asymptoot `x=1`
Limieten: `lim_(x↓1) f(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↑1) f(x)=text(-) ∞`

c

Horizontale asymptoot: `y=2`
Limieten: `lim_(x→∞)f(x)=2` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=2`

d

`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩`

Opgave 3
a

Verticale asymptoot: `x=text(-)1` .
Limieten: `lim_(x↓text(-)1) f(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↑text(-)1) f(x)=∞` .

b

Horizontale asymptoot: `y=4`
Limieten: `lim_(x→∞)f(x)=4` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=4`

c

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)1 ⟩∪⟨text(-)1 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 4 ⟩∪⟨4 , →⟩`

Opgave 4
a

`x=1/2`

b

Ga na dat `lim_(x↓0,5) f(x)=text(-)∞` en `lim_(x↑0,5) f(x)=∞` .

c

`(3x)/(1-2x)=0` geeft `3x=0` , dus `x=0` .

d

Breng de grafiek in beeld met de GR (standaardvenster kan).
De grafiek heeft een horizontale asymptoot: `y=text(-)1,5`

e

`lim_(x→∞) (3 x) / (1 -2 x) =lim_(x→∞)3/ (1/x-2) =3/(0-2)=3/ (text(-)2) =text(-)1,5`

f

Dit gaat op dezelfde manier als bij d. Ook `text(-)1,5` .

Opgave 5
a

`text(-)1/2`

b

`3/5`

c

`lim_(x↓2) (5 x) / (3 x-6) =∞`

d

`1/3`

Opgave 6
a

Verticale asymptoten: `x=10` en `x=text(-)10`
Horizontale asymptoot: `y=0`

b

`lim_(x→∞) (4 x) / (x^2-100) =lim_(x→∞) (4/x) / (1 -100/x^2) =0/(1-0)=0`

Opgave 7
a

`x=0` ; controleer dit door de bijbehorende linker- en rechter limiet te bepalen met behulp van een tabel.

b

`(2 x^2-1) /x = 2 x-1/x` .
Nu is `lim_(x→∞)1/x = 0` , dus als `x rarr oo` dan geldt `f(x) ~~ 2x` . De functie nadert de lijn `y = 2x` .
Hetzelfde geldt voor `x→text(-)∞` .

Opgave 8
a

`x=text(-)3` ; controleer dit door de bijbehorende linker- en rechter limiet te bepalen met behulp van een tabel.

b

Nu kun je het functievoorschrift maar lastig splitsen in twee breuken en teller en noemer delen door `x` of zelfs `x^2` levert ook niet veel bruikbaars op. Maak dus een tabel met `x` -waarden als `1000` , `10000` , enzovoort. Je ziet dan dat ook de functiewaarden blijven oplopen als `x→∞` . En iets vergelijkbaars gebeurt met de limiet voor `x→text(-)∞` .

c

`f(x)= (x^2-10) / (x+3) = (x^2-9) / (x+3) -1/ (x+3) = ((x-3 )(x+3 )) / (x+3) -1/ (x+3) =x-3 -1/ (x+3)`

d

`lim_(x rarr oo) 1/(x+3)=0` , dus de scheve asymptoot heeft de vergelijking `y=x-3` .

Opgave 9
a

`lim_(x→text(-)∞) (x-2) / (3 x+4) =lim_(x→text(-)∞) (1-2/x)/(3+4/x)=(1+0)/(3-0)=1/3`

b

Je kunt `x=2` direct invullen.
`lim_(x↑2) (x-3) / (2 x+4) =text(-)1/8`

c

`lim_(x→∞) (x^3-3 x) / (x^3+9 x) =lim_(x→∞) (1-3/(x^2))/(1+9/(x^2))=(1-0)/(1+0)=1`

Opgave 10
a

Verticale asymptoot: `x=2` met limieten `lim_(x↓2) f(x)=∞` en `lim_(x↑2) f(x)=text(-) ∞` .

Horizontale asymptoot: `y=3` met limieten `lim_(x→∞)f(x)=3` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=3` .

b

Verticale asymptoot: `x=2` met limieten `lim_(x↓2) g(x)=∞` en `lim_(x↑2) g(x)=text(-) ∞` .

Andere verticale asymptoot: `x=text(-)1` met limieten `lim_(x↓text(-)1) g(x)= ∞` en `lim_(x↑text(-)1) g(x)=text(-)∞` .

Horizontale asymptoot: `y=0` met limieten `lim_(x→∞)f(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=0` .

Opgave 11

`lim_(x↓3) (x^3-3 x^2) / (x^3-9 x) =lim_(x↓3) x^2/ (x(x+3 )) =0,5`

Opgave 12
a

`x=0` met `lim_(x↓0) f(x)= ∞` en `lim_(x↑0) f(x)=text(-) ∞` .

b

Voer in Y1=2X+1/(2X) met het standaardvenster.

Toppen: `(text(-)1 , text(-)1 )` en `(1 , 1 )` . Er zijn geen nulpunten.

`lim_(x rarr oo) (1 +x^2) / (2 x)= lim_(x rarr oo) 2x + 1/(2x) = 2x` , dus er is een scheve asymptoot `y=2x` .

`lim_(x rarr text(-)oo) (1 +x^2) / (2 x)= lim_(x rarr text(-)oo) 2x + 1/(2x) = 2x` , dus er is een scheve asymptoot `y=2x` .

Opgave 13

`f(x)= (x^2-3) / (2 x-4) = (x^2-4) / (2 (x-2 )) +1/ (2 (x-2 )) =((x+2)(x-2))/(2(x-2)) + 1/(2(x-2))=(x+2)/2 + 1/(2(x-2)) = x/2 + 2/2 + 1/(2(x-2)) =1/2x+1 +1/ (2 (x-2 ))`

De scheve asymptoot heeft als vergelijking `y=1/2x+1` want `lim_(x→±∞)1/ (2 (x-2 )) =0` .

Opgave 14Parallelschakeling
Parallelschakeling
a

Beide breuken aan de rechterkant gelijknamig maken en optellen. Daarna links en rechts van het is-gelijkteken beide breuken omdraaien.

`1/R_s = (R_1+R_2)/(R_1 R_2)` ofwel `R_s = (R_1 R_2)/(R_1+R_2)` .

b

`lim_(R_2 →∞)R_s=R_1`

Als `R_2 →∞` dan loopt door deze weerstand geen stroom meer en speelt dus alleen `R_1` nog een rol.

c

`lim_(R_2 ↓0) R_s=0`

Als `R_2 ↓0` dan is er geen sprake meer van een weerstand, ongeacht de waarde van `R_1` .

Opgave 15Limiet en Entierfunctie
Limiet en Entierfunctie
a

Bedenk dat de integerfunctie alleen de waarden `{..., text(-)3, text(-)2, text(-)1, 0, 1, 2, 3,...}` aanneemt.

Zodoende heeft `f` de algemene vorm `(text(-)1)^n` , waarbij `n` een geheel (positief of negatief) getal is.

Als `x` afgerond op een geheel getal even is, dan is `(text(-)1)^x=1` . Zo is `f(text(-)1,5)=(text(-)1)^(text(int)(text(-)1,5))=(text(-)1)^(text(-)2)=1/(text(-)1)^2=1` .

Op een vergelijkbare manier geldt voor een afgeronde oneven `x` -waarde `f(x)=text(-)1` .

De grafiek van `f` springt dus heen en weer tussen `text(-)1` en `1` .

Met een open rondje in de grafiek wordt aangegeven dat een punt er niet bij hoort.

b

Nee, de limiet bestaat niet. De waarde van `f(x)` blijft tot in de oneindigheid heen en weer springen en benadert dus niet een eenduidige waarde.

Opgave 16
a

Verticale asymptoot: `x=1/2` .

`lim_(x↓0,5) f(x)=∞` en `lim_(x↑0,5) f(x)=text(-) ∞` .

b

`x=text(-)6`

c

`lim_(x→±∞)f(x)=0,5` , dus de horizontale asymptoot is `y=0,5` .

d

`text(D)_(f)=⟨←; 0,5 ⟩∪⟨0,5 ; →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←; 0,5 ⟩∪⟨0,5 ; →⟩` .

Opgave 17

`lim_(x→∞) (3 x^3-300) / (2 x^2) =lim_(x→∞)(1,5 x-150/x^2)=1,5 x`
en
`lim_(x→text(-) ∞) (3 x^3-300) / (2 x^2) =lim_(x→text(-) ∞)(1,5 x-150/x^2)=1,5 x` .

De scheve asymptoot is `y=1,5 x` .

verder | terug