Voer in: Y1=1/X.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]` .

Er zijn geen nulpunten en geen toppen. Er zijn twee asymptoten, de lijn `y=0` is de horizontale asymptoot en de lijn `x=0` is de verticale asymptoot.

`lim_(x→∞) f(x) = 0` en `lim_(x→text(-) ∞) f(x) = 0` .

`lim_(x↓0) f(x) = ∞` en `lim_(x↑0) f(x) = ∞` .

Voor functie `g` geldt: `lim_(x→∞)g(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)g(x)=0` en `lim_(x↓0) g(x)=∞` en `lim_(x↑0) g(x)=text(-) ∞` .

Voor functie `h` geldt: `lim_(x→∞)h(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)h(x)=0` en `lim_(x↓0) h(x)=∞` en `lim_(x↑0) h(x)=∞` .

Het patroon is dat deze limieten gelden voor alle functies van de vorm `f(x)=1/x^n` met `n=1, 2, 3, 4,...` . Alleen bij de laatste limiet heb je bij even `n` geen minteken en bij oneven `n` wel.

Voer in: Y1=2-1/(X-1)^2.
Venster: standaard.

Verticale asymptoot `x=1`
Limieten: `lim_(x↓1) f(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↑1) f(x)=text(-) ∞`

Horizontale asymptoot: `y=2` .
Limieten: `lim_(x→∞)f(x)=2` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=2` .

`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 2 ⟩`

Verticale asymptoot: `x=text(-)1` .
Limieten: `lim_(x↓text(-)1) f(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↑text(-)1) f(x)= ∞` .

Horizontale asymptoot: `y=4` .
Limieten: `lim_(x→∞)f(x)=4` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=4` .

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)1 ⟩∪⟨text(-)1 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 4 ⟩∪⟨4 , →⟩`

`x=1/2`

Ga na dat `lim_(x↓0,5) f(x)=text(-)∞` en `lim_(x↑0,5) f(x)=∞` .

`(3x)/(1-2x)=0` geeft `3x=0` , dus `x=0` .

Breng de grafiek in beeld met de GR (standaardvenster kan).
De grafiek heeft een horizontale asymptoot: `y=text(-)1,5` .

`lim_(x→∞) (3 x)/(1 - 2 x) =lim_(x→∞) 3/(1/x - 2) = 3/(0-2) = text(-)1,5`

Dit gaat op dezelfde manier als bij d. Ook `text(-)1,5` .

`text(-)1/2`

`3/5`

`lim_(x↓2) (5 x) / (3 x-6) =∞`

`1/3`

Verticale asymptoten: `x=10` en `x=text(-)10` .
Horizontale asymptoot: `y=0` .

`lim_(x→∞) (4 x)/(x^2-100) = lim_(x→∞) (4/x)/(1 -100/(x^2)) = 0/(1-0) = 0`

`x=0` ; controleer dit door de bijbehorende linker- en rechter limiet te bepalen met behulp van een tabel.

`(2 x^2-1)/x = 2 x - 1/x` .
Nu is `lim_(x→∞)1/x = 0` , dus als `x rarr oo` dan geldt `f(x) ~~ 2x` . De functie nadert de lijn `y = 2x` .
Hetzelfde geldt voor `x→text(-)∞` .

`x=text(-)3` ; controleer dit door de bijbehorende linker- en rechter limiet te bepalen met behulp van een tabel.

Nu kun je het functievoorschrift maar lastig splitsen in twee breuken en teller en noemer delen door `x` of zelfs `x^2` levert ook niet veel bruikbaars op. Maak dus een tabel met `x` -waarden als `1000` , `10000` , enzovoort. Je ziet dan dat ook de functiewaarden blijven oplopen als `x→∞` . En iets vergelijkbaars gebeurt met de limiet voor `x→text(-)∞` .

`f(x)= (x^2-10)/(x+3) = (x^2-9)/(x+3) - 1/(x+3) = ((x-3 )(x+3 ))/(x+3) - 1/(x+3) = x-3 - 1/(x+3)`

`lim_(x rarr oo) 1/(x+3)=0` , dus de scheve asymptoot heeft de vergelijking `y=x-3` .

`lim_(x→text(-)∞) (x-2) / (3 x+4) =lim_(x→text(-)∞) (1-2/x)/(3+4/x)=(1+0)/(3-0)=1/3`

Je kunt `x=2` direct invullen.
`lim_(x↑2) (x-3) / (2 x+4) =text(-)1/8`

`lim_(x→∞) (x^3-3 x) / (x^3+9 x) =lim_(x→∞) (1-3/(x^2))/(1+9/(x^2))=(1-0)/(1+0)=1`

Verticale asymptoot: `x=2` met limieten `lim_(x↓2) f(x)=∞` en `lim_(x↑2) f(x)=text(-) ∞` .

Horizontale asymptoot: `y=3` met limieten `lim_(x→∞)f(x)=3` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=3` .

Verticale asymptoot: `x=2` met limieten `lim_(x↓2) g(x)=∞` en `lim_(x↑2) g(x)=text(-) ∞` .

Andere verticale asymptoot: `x=text(-)1` met limieten `lim_(x↓text(-)1) g(x)= ∞` en `lim_(x↑text(-)1) g(x)=text(-)∞` .

Horizontale asymptoot: `y=0` met limieten `lim_(x→∞)f(x)=0` en `lim_(x→text(-) ∞)f(x)=0` .

`x=0` met `lim_(x↓0) f(x)= ∞` en `lim_(x↑0) f(x) = text(-) ∞` .

Voer in Y1 = 2X + 1/(2X) met het standaardvenster.

Toppen: `(text(-)1 , text(-)1 )` en `(1 , 1 )` . Er zijn geen nulpunten.

`lim_(x rarr oo) (1 + x^2)/(2x)= lim_(x rarr oo) 1/(2x) + 1/2 x = 1/2 x` , dus er is een scheve asymptoot `y = 1/2 x` .

`lim_(x rarr text(-)oo) (1 + x^2)/(2x)= lim_(x rarr oo) 1/(2x) + 1/2 x = 1/2 x` , dus er is een scheve asymptoot `y = 1/2 x` .

Beide breuken aan de rechterkant gelijknamig maken en optellen. Daarna links en rechts van het isgelijkteken beide breuken omdraaien.

`1/R_s = (R_1+R_2)/(R_1 R_2)` ofwel `R_s = (R_1 R_2)/(R_1+R_2)` .

`lim_(R_2 → ∞) R_s = R_1`

Als `R_2 → ∞` dan loopt door deze weerstand geen stroom meer en speelt dus alleen `R_1` nog een rol.

`lim_(R_2 ↓ 0) R_s = 0`

Als `R_2 ↓ 0` dan is er geen sprake meer van een weerstand, ongeacht de waarde van `R_1` .

Bedenk dat de integerfunctie alleen de waarden `{..., text(-)3, text(-)2, text(-)1, 0, 1, 2, 3,...}` aanneemt.

Zodoende heeft `f` de algemene vorm `(text(-)1)^n` , waarbij `n` een geheel (positief of negatief) getal is.

Als `x` afgerond op een geheel getal even is, dan is `(text(-)1)^x=1` . Zo is `f(text(-)1,5)=(text(-)1)^(text(int)(text(-)1,5))=(text(-)1)^(text(-)2)=1/(text(-)1)^2=1` .

Op een vergelijkbare manier geldt voor een afgeronde oneven `x` -waarde `f(x)=text(-)1` .

De grafiek van `f` springt dus heen en weer tussen `text(-)1` en `1` .

Met een open rondje in de grafiek wordt aangegeven dat een punt er niet bij hoort.

Nee, de limiet bestaat niet. De waarde van `f(x)` blijft tot in de oneindigheid heen en weer springen en benadert dus niet een eenduidige waarde.

Verticale asymptoot: `x=1/2` .

`lim_(x↓0,5) f(x)=∞` en `lim_(x↑0,5) f(x)=text(-) ∞` .

`x=text(-)6`

`lim_(x→±∞)f(x)=0,5` , dus de horizontale asymptoot is `y=0,5` .

`text(D)_(f)=⟨←; 0,5 ⟩∪⟨0,5 ; →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←; 0,5 ⟩∪⟨0,5 ; →⟩` .