Asymptoten en limieten > Limieten
12345Limieten

Voorbeeld 1

De grafiek van `f(x)= (x+4) / (x-2)` heeft twee asymptoten, namelijk `y=1` en `x=2` . Welke limieten horen bij deze functie en hoe kun je die vinden zonder naar de grafiek te kijken?

> antwoord

Aangezien je niet door `0` kunt delen, is er iets bijzonders als `x-2 =0` en dus als `x=2` .
`f(2 )` bestaat niet, maar `x` -waarden vlak bij `2` kun je wel invullen:
`f(2,001 )=6001` en `f(2,0001 )=60001` .
Dus de rechter limiet is `lim_(x↓2) (x+4) / (x-2) =∞` .

Ook geldt:
`f(1,999 )=text(-)5999` en `f(1,9999 )=text(-)59999` .
De linker limiet is `lim_(x↑2) (x+4) / (x-2) =text(-) ∞` .

Voor de limieten bij de horizontale asymptoot ga je anders te werk:
`lim_(x→∞) (x+4) / (x-2) =lim_(x→∞) (1 +4/x) / (1 -2/x) = (1 +0) / (1 -0) =1` .

Door zowel de teller als de noemer van de breuk te delen door `x` ontstaat een uitdrukking waarin naast getallen alleen vormen zoals `4/x` en `2/x` voorkomen. Dergelijke vormen zijn veelvouden van `1/x` en daarom naderen ze `0` als `x` groter wordt.

De limiet voor `x→text(-) ∞` bereken je op dezelfde manier.

Opgave 4

Gegeven is de functie `f` met `f(x)= (3 x) / (1 -2 x)` .

a

Welke verticale asymptoot heeft deze functie?

b

Welke limieten horen bij deze verticale asymptoot?

c

Welk nulpunt heeft de grafiek van `f` ?

d

Onderzoek of de grafiek van `f` een horizontale asymptoot heeft.

e

Laat zien hoe je `lim_(x→∞) (3 x) / (1 -2 x)` berekent.

f

Hoeveel is `lim_(x→text(-) ∞) (3 x) / (1 -2 x)` ?

Opgave 5

Bereken de limieten.

a

`lim_(x→∞) (4 -x) / (2 x+1)`

b

`lim_(x→text(-)∞) (3 x+6) / (5 x-1)`

c

`lim_(x↓2) (5 x) / (3 x-6)`

d

`lim_(x↓2) (x-2) / (3 x-6)`

Opgave 6

Gegeven is de functie `f(x)= (4 x) / (x^2-100)` .

a

Welke drie asymptoten heeft de grafiek van `f` ?

Bij de horizontale asymptoot horen de limieten `lim_(x→∞) (4 x) / (x^2-100)` en `lim_(x→text(-) ∞) (4 x) / (x^2-100)` .

b

Laat zien hoe je deze limieten kunt berekenen door teller en noemer van het functievoorschrift te delen door `x^2` .

verder | terug