Asymptoten en limieten > LimietenVoorbeeld 1
De grafiek van `f(x)= (x+4)/(x-2)` heeft twee asymptoten, namelijk `y=1` en `x=2` . Welke limieten horen bij deze functie en hoe kun je die vinden zonder naar de grafiek te kijken?
Aangezien je niet door
`0`
kunt delen, is er iets bijzonders als
`x-2 =0`
en dus als
`x=2`
.
`f(2 )`
bestaat niet, maar
`x`
-waarden vlak bij
`2`
kun je wel invullen:
`f(2,001 )=6001`
en
`f(2,0001 )=60001`
.
Dus de rechter limiet is
`lim_(x↓2) (x+4)/(x-2) = ∞`
.
Ook geldt:
`f(1,999 )=text(-)5999`
en
`f(1,9999 )=text(-)59999`
.
De linker limiet is
`lim_(x↑2) (x+4) / (x-2) =text(-) ∞`
.
Voor de limieten bij de horizontale asymptoot ga je anders te werk:
`lim_(x→∞) (x+4)/(x-2) =lim_(x→∞) (1 + 4/x)/(1 - 2/x) = (1 + 0)/(1 - 0) =1`
.
Door zowel de teller als de noemer van de breuk te delen door `x` ontstaat een uitdrukking waarin naast getallen alleen vormen zoals `4/x` en `2/x` voorkomen. Dergelijke vormen zijn veelvouden van `1/x` en daarom naderen ze `0` als `x` groter wordt.
De limiet voor `x→text(-) ∞` bereken je op dezelfde manier.
Gegeven is de functie `f` met `f(x)= (3 x)/(1 - 2 x)` .
Welke verticale asymptoot heeft deze functie?
Welke limieten horen bij deze verticale asymptoot?
Welk nulpunt heeft de grafiek van `f` ?
Onderzoek of de grafiek van `f` een horizontale asymptoot heeft.
Laat zien hoe je `lim_(x→∞) (3 x)/(1 - 2 x)` berekent.
Hoeveel is `lim_(x→text(-) ∞) (3 x)/(1 - 2 x)` ?
Bereken de limieten.
`lim_(x→∞) (4 -x) / (2 x+1)`
`lim_(x→text(-)∞) (3 x+6) / (5 x-1)`
`lim_(x↓2) (5 x) / (3 x-6)`
`lim_(x↓2) (x-2) / (3 x-6)`
Gegeven is de functie `f(x)= (4 x)/(x^2-100)` .
Welke drie asymptoten heeft de grafiek van `f` ?
Bij de horizontale asymptoot horen de limieten `lim_(x→∞) (4 x)/(x^2-100)` en `lim_(x→text(-) ∞) (4 x)/(x^2-100)` .
Laat zien hoe je deze limieten kunt berekenen door teller en noemer van het functievoorschrift te delen door `x^2` .