Asymptoten en limieten > Limieten
12345Limieten

Voorbeeld 2

Dit is een grafiek van de functie `f(x)= (x^2-100) / (4 x)` . Welke asymptoten heeft deze functie? Bepaal de bijbehorende limieten.

> antwoord

De verticale asymptoot vind je uit `4 x=0` . De bijbehorende limiet is daarom de lijn `x=0` . Bepaal met behulp van tabellen de linker en de rechter limiet die hierbij horen.

Voor de horizontale asymptoot kun je de limieten `lim_(x→∞) (x^2-100) / (4 x)` en `lim_(x→- ∞) (x^2-100) / (4 x)` bekijken.

Nu is `lim_(x→∞) (x^2-100) / (4 x) =lim_(x→∞)(x^2/ (4 x) -100/ (4 x) )=lim_(x→∞) (1/4x-25/x)` .

Deze limiet komt niet op een getal uit. Naarmate `x` blijft toenemen, wordt ook de uitkomst van de limiet groter. `lim_(x rarr oo) 25/x=0` , dus je kunt zeggen dat als `x→∞` , dan geldt `f(x)→1/4x` .

Als je de lijn `y=1/4x` bij de grafiek van `f` intekent, zie je dat de grafiek van `f` deze lijn steeds dichter benadert naarmate `x→∞` . Hetzelfde geldt voor `x→text(-) ∞` . De lijn `y=1/4x` is de scheve asymptoot van de grafiek van `f` .

Opgave 7

Gegeven is de functie `f(x)= (2 x^2-1) /x` .

a

Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van `f` ?

Om een horizontale asymptoot te bepalen, moet je de limieten `lim_(x→∞) (2 x^2-1) /x` en `lim_(x→text(-) ∞) (2 x^2-1) /x` berekenen.

b

Laat zien dat deze limieten niet op een getal uitkomen.

Opgave 8

Je ziet de grafiek van de functie `f(x)= (x^2-10) / (x+3)` .

a

Welke verticale asymptoot heeft de grafiek van `f` ?

Om een horizontale asymptoot te bepalen, moet je de limieten `lim_(x→∞) (x^2-10) / (x+3)` en `lim_(x→text(-) ∞) (x^2-10) / (x+3)` berekenen.

b

Laat zien dat deze limieten niet op een getal uitkomen.

c

Laat zien dat je het functievoorschrift kunt herleiden tot `f(x)= (x^2-10) / (x+3) =x-3 -1/ (x+3)` .

d

Welke vergelijking heeft de scheve asymptoot van de grafiek van `f` ?

verder | terug