Asymptoten en limieten > Limieten
12345Limieten

Uitleg

Als je de functie `f` met `f(x)=1/x` nader bekijkt, dan zie je dat:

  • voor hele grote positieve waarden van `x` de functiewaarden `0` naderen;

  • voor hele grote negatieve waarden van `x` de functiewaarden `0` naderen.

Het getal `0` is een grenswaarde die weliswaar nooit wordt bereikt, maar waar de functiewaarden wel steeds dichterbij komen te liggen als `x` alsmaar groter wordt. Je noemt het getal `0` wel de limiet van deze functiewaarden als `x` naar oneindig gaat. Dit noteer je als `lim_(x→∞)1/x=0` .

Het symbool `∞` betekent "oneindig" .

Zo geldt ook: `lim_(x→- ∞)1/x=0` .

Het gevolg van deze limieten is de horizontale asymptoot van de grafiek van `f` .

Verder is er ook iets bijzonders met deze functie als `x` het getal `0` nadert, namelijk:

  • voor positieve waarden van `x` steeds dichter bij `0` worden de functiewaarden steeds grotere positieve getallen;

  • voor negatieve waarden van `x` steeds dichter bij `0` worden de functiewaarden steeds grotere negatieve getallen.

In deze gevallen schrijf je `lim_(x↓0) 1/x=∞` en `lim_(x↑0) 1/x=text(-) ∞` .

Let op de pijltjes.

Het gevolg van deze limieten is de verticale asymptoot van de grafiek van `f` .

Opgave 1

Neem de functie `f(x)=1/x^2` .

a

Maak een schets van de grafiek van `f` . Welke karakteristieken heeft deze functie?

b

Welke twee limieten horen er bij de horizontale asymptoot?

c

Welke twee limieten horen er bij de verticale asymptoot?

Bekijk de functies `g(x)=1/x^3` en `h(x)=1/x^4` .

d

Beantwoord voor deze functies dezelfde vragen. Ontdek je een patroon?

Opgave 2

Gegeven is de functie `f` met `f(x)=2 -1/((x-1)^2)` .

a

Maak de grafiek van `f` met de grafische rekenmachine. Gebruik de standaardinstellingen van het venster.

b

Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? Welke limieten horen daar bij?

c

Welke horizontale asymptoot heeft de grafiek van `f` ? Welke limieten horen daar bij?

d

Schrijf het domein en het bereik van `f` op.

Opgave 3

Je ziet de grafiek van functie `f` met `f(x)= (4 x-6) / (x+1)` .

a

Welke verticale asymptoot heeft deze grafiek? Welke twee limieten horen er bij?

b

Welke vergelijking heeft de horizontale asymptoot? Welke twee limieten horen er bij?

c

Schrijf het domein en het bereik van `f` op.

verder | terug