Asymptoten en limieten > Limieten
12345Limieten

Theorie

Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere positieve waarden van `x` een getal `a` steeds dichter benaderen, dan heet `a` de limiet van `f` als `x` oneindig nadert. Je schrijft dit zo: `lim_(x→∞)f(x)=a` .

Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere negatieve waarden van `x` een getal `b` steeds dichter benaderen, dan schrijf je: `lim_(x→text(-)∞)f(x)=b` .

In dit geval zijn de lijnen `y=a` en `y=b` horizontale asymptoten van de grafiek van `f` . Vaak zijn `a` en `b` gelijk, maar niet altijd. Ook kunnen deze limieten `±∞` naderen. Soms is er dan sprake van een scheve asymptoot. Dat is een rechte lijn `y=ax+b` met `a ne 0` die de grafiek van `f` steeds dichter benadert naarmate `x` steeds groter of kleiner wordt. Bekijk de scheve asymptoot in het voorbeeld.

Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` steeds grotere positieve onbeperkte waarden aannemen (als `x` een getal `c` steeds dichter benadert) dan schrijf je:
`lim_(x↓c)f(x)=∞` als `x>c` en
`lim_(x↑c)f(x)=text(-)∞` als `x < c` .

De eerste van deze twee limieten noem je wel de rechter limiet voor `x` nadert `c` . Dit wordt ook wel uitgedrukt als: `x` nadert `c` "van boven" . De tweede limiet is dan de linker limiet voor `x` nadert `c` "van onderen" . Is er sprake van steeds grotere negatieve onbeperkte functiewaarden, dan schrijf je `text(-) ∞` in plaats van `∞` .

Nu is de lijn `x=c` een verticale asymptoot van functie `f` .

Bij functies van de vorm `f(x)=1/x^n` met `n=1, 2, 3, 4 ,...` zijn de limieten bekend. Onthoud:
`lim_(x→∞)1/x^n=0`
`lim_(x→text(-) ∞)1/x^n=0`
`lim_(x↓0) 1/x^n=∞`
`lim_(x↑0) 1/x^n=∞` als `n` even is
`lim_(x↑0) 1/x^n=text(-)∞` als `n` oneven is

verder | terug