Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere positieve waarden van `x` een getal `a` steeds dichter benaderen, dan heet `a` de limiet van `f` als `x` oneindig nadert. Je schrijft dit zo: `lim_(x→∞)f(x)=a` .
Als de functiewaarden `f(x)` van een functie `f` voor steeds grotere negatieve waarden van `x` een getal `b` steeds dichter benaderen, dan schrijf je: `lim_(x→text(-)∞)f(x)=b` .
In dit geval zijn de lijnen
`y=a`
en
`y=b`
horizontale asymptoten van de grafiek van
`f`
. Vaak zijn
`a`
en
`b`
gelijk, maar niet altijd. Ook kunnen deze limieten
`±∞`
naderen. Soms is er dan sprake van een scheve asymptoot. Dat is een rechte lijn
`y=ax+b`
met
`a ne 0`
die de grafiek van
`f`
steeds dichter benadert naarmate
`x`
steeds groter of kleiner wordt. Bekijk de scheve asymptoot in
Als de functiewaarden
`f(x)`
van een functie
`f`
steeds grotere positieve onbeperkte waarden aannemen (als
`x`
een getal
`c`
steeds dichter benadert) dan schrijf je:
`lim_(x↓c)f(x)=∞`
als
`x gt c`
en
`lim_(x↑c)f(x)=text(-)∞`
als
`x lt c`
.
De eerste van deze twee limieten noem je wel de rechter limiet voor `x` nadert `c` . Dit wordt ook wel uitgedrukt als: `x` nadert `c` "van boven" . De tweede limiet is dan de linker limiet voor `x` nadert `c` "van onderen" . Is er sprake van steeds grotere negatieve onbeperkte functiewaarden, dan schrijf je `text(-) ∞` in plaats van `∞` . Nu is de lijn `x=c` een verticale asymptoot van functie `f` .
Bij functies van de vorm
`f(x)=1/x^n`
met
`n=1, 2, 3, 4 ,...`
zijn de limieten bekend.
Onthoud:
`lim_(x→∞)1/x^n=0`
`lim_(x→text(-) ∞)1/x^n=0`
`lim_(x↓0) 1/x^n=∞`
`lim_(x↑0) 1/x^n=∞`
als
`n`
even is
`lim_(x↑0) 1/x^n=text(-)∞`
als
`n`
oneven is