Neem `x=3` en je ziet dat `f(3) = 0/0` en daar kun je geen uitkomst aan toekennen.

Voer in Y1=(X^2-9)/(X-3) met (bijvoorbeeld) het standaardvenster.

Bekijk een tabel in de buurt van `x=3` .

Je maakt de functie `f` continu door af te spreken dat `f(3 )=6` en dat het gegeven functievoorschrift alleen geldig is voor `x≠3` .

Voor functie `g` geldt: `lim_(x↑3) g(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↓3) g(x)=∞` .

Voer in: Y1=(X-3)/(X^2-9).

`f(x)` bestaat niet voor `x^2-9=0` , ofwel `x=+-3` .
`x=text(-)3 vv x=3`

Verticale asymptoot: `x=text(-)3` .
Limieten: `lim_(x↓text(-)3) f(x)= ∞` en `lim_(x↑text(-)3) f(x)=text(-)∞` .

`f(x)= (x-3)/(x^2-9) = (x-3)/((x-3 )(x+3 )) = 1/(x+3)` als `x≠3` .

Je weet dat er een verticale asymptoot op `x= text(-)3` ligt en een perforatie op `x=3` .

Daarbij heeft `f(x)` een horizontale asymptoot: `lim_(x rarr +-∞) (x-3)/(x^2-9) = lim_(x rarr +-∞) (1/x-3/x^2)/(1-9/x^2)=0`

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)3 ⟩∪⟨text(-)3 , 3 ⟩∪⟨3 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , 1/6 ⟩∪⟨1/6 ,→⟩`

Afspreken dat `f(3 )=1/6` en dat het gegeven functievoorschrift alleen geldig is zolang `x≠3` .

Ja, `f(0 )=0` , `lim_(x↑0) f(x)=0` en `lim_(x↓0) f(x)=0` .

Nee, `f(0 )` bestaat niet, `lim_(x↑0) f(x)=text(-)1` en `lim_(x↓0) f(x)=1` .

Voer in: Y1=abs(X)/X

Als `x gt 0` is `g(x)=x/x=1` .
Als `x lt 0` is `g(x)= (text(-) x) /x=text(-)1` .

Nee, er zit een sprong in de grafiek.

De limieten aan weerszijden van `x=text(-)2` bereken je door zowel getallen links als getallen rechts van `text(-)2` , maar wel steeds dichter in de buurt van `text(-)2` te bekijken en na te gaan wat er gebeurt. Doe dit met een tabel op de GR, met een gepaste kleine stapgrootte. Op dezelfde manier bepaal je de limieten rondom `x=0` .
Voor `x= text(-)2` geldt `lim_(x↑ text(-)2) f(x)=lim_(x↓ text(-)2) f(x) = 3` .
Voor `x=0` geldt `lim_(x↑0) f(x) = ∞ ` en `lim_(x↓0) f(x) = text(-)∞` .

Door af te spreken dat `f(text(-)2 )=3` en dat het gegeven functievoorschrift alleen geldt voor `x≠text(-)2` .

Er is ook een horizontale asymptoot `y=1` .
`text(D)_f=⟨←, text(-)2 ⟩∪⟨text(-)2 , 0 ⟩∪⟨0 , →⟩`
`text(B)_f=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , 3 ⟩∪⟨3 , →⟩`

Uit beide limieten komt `0` .

Ja.

`x/ (sqrt(| x |)) ={( sqrt(x), text(voor), x gt 0),(text(-)sqrt(text(-)x), text(voor), x lt 0):}`

De vergelijking die je wilt oplossen, is dus: `sqrt(x) le 3` .

Dit geeft `x le 9` . De oplossing van de ongelijkheid is dus `x le 9` , met `x!=0` .

`f(x)= (| x |+1) /x={( (x+1) /x=1 +1/x, text(voor), x gt 0),( (text(-) x+1) /x=text(-)1 +1/x, text(voor), x lt 0):}`

Ja, maar hij is niet zo goed zichtbaar omdat er bij `x=0` een verticale asymptoot optreedt.

De lijnen `y=1` en `y= text(-)1` .

Je hoeft nu alleen maar `0` in het juiste deel van het functievoorschrift in te vullen: `lim_(x↑0) f(x)=0` en `lim_(x↓0) f(x)=text(-)2` .

Verticale asymptoot: `x=1` .
Horizontale asymptoot: `y=0` .

Denk er om dat alle karakteristieken zichtbaar moeten zijn. Bereken eerst de nulpunten en het minimum van `f` op het gedeelte met `x≤0` . En denk om de sprong in de grafiek.

`text(D)_(f)=⟨←, 1 ⟩∪⟨1 , →⟩`
`text(B)_(f)=⟨←, text(-)2 ⟩∪[text(-)0,25 ; →⟩`

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)2 ⟩∪⟨text(-)2, 2 ⟩∪⟨2 , →⟩`

`lim_(x↑text(-)2) f(x) = ∞` en `lim_(x↓text(-)2) f(x)=text(-)∞` , dus `x=text(-)2` is een verticale asymptoot.

`lim_(x↑2) f(x) = 0` en `lim_(x↓2) f(x)=0` , dus `x=2` is geen verticale asymptoot. Daar heeft de grafiek een perforatie.

`lim_(x→∞) f(x) = 1` en `lim_(x→text(-) ∞) f(x) = 1` . Dus de horizontale asymptoot is `y=1` .

`text(B)_(f)=⟨←, 0 ⟩∪⟨0 , 1 ⟩∪⟨1 , →⟩`

Voor `x gt 0` geldt: `f(x)=(2x+3x)/x=5` .

Voor `x lt 0` geldt: `f(x)=(text(-)2x+3x)/x=1` .

`f(x)= (| 2 x |+3 x) /x={ (5, text( voor), x gt 0), ( 1, text( voor), x lt 0):}`

Als `x gt 0` , dan levert `1/2x+1 1/2=5` het punt `A(7 , 5 )` op.

Als `x lt 0` , dan levert `1/2x+1 1/2=1` het punt `B(text(-)1 , 1 )` op.

De lengte van lijnstuk `AB` bereken je met de stelling van Pythagoras: `AB^2=(7-text(-)1)^2+(5-1)^2` .

Je vindt `AB=sqrt(8^2+4^2)=4 sqrt(5 )` .

De afzonderlijke delen van het functievoorschrift zijn op hun domein continu. Alleen voor `x=text(-)2` en `x=2` moet nader worden onderzocht of de aansluiting goed is.

Voor `x=2` geldt: `lim_(x↑2) f(x)=0,5` en `lim_(x↓2) f(x)=0,5` . Dus daar is de aansluiting goed.

Voor `x=text(-)2` geldt: `lim_(x↑text(-)2) f(x)=text(-)0,5` en `lim_(x↓text(-)2) f(x)=text(-)0,5` . Dus daar is de aansluiting ook goed.

`f(x)` bestaat voor alle waarden van `x` .
De functie heeft extreme waarden op `x=2` en `x=text(-)2` :
`f(2)=1/2` en `f(text(-)2)=text(-)1/2` .

`text(D)_f = ℝ`
`text(B)_f = [text(-)1/2 , 1/2]`

Voor `x lt text(-)2` heeft `f(x)=0,125` geen oplossing. Voor `text(-)2 le x le 2` : `1/4x=0,125` , ofwel `x=0,5` . Voor `x gt 2` : `1/x=0,125` , ofwel `x=8` . Als je (een schets van) de grafiek bekijkt, zie je dat voor `f(x) gt 0,125` geldt `0,5 < x < 8` .

Voor kleinverbruik was het hoogst mogelijke bedrag `P=20+0,13*600=98` .

Voor grootverbruik was het laagst mogelijke bedrag `P=40+0,08*600=88` .

Er is dus een sprong; `P` is niet continu.

`20 +0,13 x=88` geeft `x~~523,08` . Dus vanaf een verbruik van `523,08` was het grootverbruikerstarief gunstiger.

Volgens de stelling van Pythagoras is `(c*t')^2=(c*t)^2+(v*t')^2` , dus `(t')^2*(c^2-v^2)=c^2*t^2` en `((t')^2)/(t^2)=c^2/(c^2-v^2)` .

Daaruit volgt: `(t')/t=1/(sqrt(1-(v^2)/(c^2)))` .

Er moet gelden: `1-(v^2)/(c^2)>0` . Omdat beide snelheden positief zijn en `c` constant, is het domein `[0, c :)` .

`lim_(v↑c) 1/(sqrt(1-(v^2)/(c^2))) = oo`

`f(0)=1` en dus `t'=t` . De waarnemers zien op hetzelfde moment het licht. Ze staan ook op dezelfde plek, immers als `v=0` , dan blijft waarnemer B bij A staan.

Er moet gelden dat `t'=2t` , dus `(t')/t = 2` .

Los op: `1/(sqrt(1-(v^2)/(c^2)))=2` .

Je vindt: `v= 1/2 sqrt(3) * c~~0,866c` .

Onderzoek wat er aan de hand is bij `x=text(-)1` en bij `x=1` .

Bij `x=1` : `lim_(x↓1) f(x)=text(-) ∞` en `lim_(x↑1) f(x)=∞` , dus `x=1` is een verticale asymptoot.

Bij `x=text(-)1` : `lim_(x↓text(-)1) f(x)=1` en `lim_(x↑text(-)1) f(x)=1` , dus `x=text(-)1` is geen verticale asymptoot; daar zit een perforatie in de grafiek.

`y=0,5`

`text(D)_(f)=⟨←, text(-)1 ⟩∪⟨text(-)1 , 1 ⟩∪⟨1 , →⟩` en `text(B)_(f)=⟨←; 0,5 ⟩∪⟨0,5 ; 1 ⟩∪⟨1 ; →⟩` .

`x < text(-)1 ∨1 < x≤1,5`

`g(x)= (| 3 x |) /x={ (3, text(voor),x>0),(text(-)3, text(voor), x < 0):}`

`p=2` en `q=text(-)5`