Asymptoten en limieten > Continuïteit
12345Continuïteit

Uitleg

De grafiek van de functie `f(x)= (x^2-9) / (x-3)` ziet er op het eerste gezicht uit als een rechte lijn. Toch zie je aan het functievoorschrift dat `x=3` geen functiewaarde kan hebben omdat delen door `0` geen uitkomst heeft.

Dat de grafiek lijkt op een rechte lijn wordt duidelijk als je het functievoorschrift herleidt: `f(x)= (x^2-9) / (x-3) = ((x-3 )(x+3 )) / (x-3) =x+3` als `x≠3` .

De grafiek van deze functie is voor elke `x≠3` gelijk aan de lijn `y=x+3` . Alleen heeft de grafiek voor `x=3` een gaatje, een perforatie. Hierdoor is de functie niet continu op `RR` . De grafiek van een continue functie kun je namelijk als één vloeiende lijn tekenen en dat is nu niet het geval.

Bekijk je de grafiek van `g(x)= (x^2+9) / (x-3)` , dan zie je iets heel anders. Ook deze functie bestaat voor elke `x≠3` , maar de grafiek heeft voor `x=3` een verticale asymptoot. Ook deze functie is niet continu omdat je de grafiek niet als één vloeiende kromme lijn kunt tekenen.

Voor de functie `f` geldt `lim_(x↑3) f(x)=lim_(x↓3) f(x)=6` . Als je nu afspreekt dat `f(x)={ ( (x^2-9) / (x-3), text(voor) , x≠3 ), (6, text(voor), x=3 ):}` , dan heb je functie `f` continu gemaakt. Bij functie `g` is zoiets niet mogelijk.

Opgave 1

Lees in de Uitleg na wanneer een functie continu is en wat er verstaan wordt onder perforatie. In de figuur zie je de (groene) grafiek van functie `f(x)=(x^2-9)/(x-3)` .

a

Ga na dat er inderdaad geen functiewaarde `f(3 )` bestaat.

b

Ga met behulp van een tabel na dat `lim_(x↓3) f(x)=6` en `lim_(x↑3) f(x)=6` . Hoe maak je deze functie continu?

Bekijk de grafiek van functie `g` .

c

Waarom is er nu geen sprake van een perforatie, maar heeft de grafiek een verticale asymptoot? Gebruik limieten in je antwoord.

Opgave 2

Gegeven is de functie `f` met `f(x)= (x-3)/(x^2-9)` .

a

Maak de grafiek van `f` met de grafische rekenmachine in de standaardinstellingen van het venster.

b

Welke waarden van `x` hebben geen bijbehorende functiewaarde?

c

Toch heeft de grafiek maar één verticale asymptoot. Welke limieten horen daar bij?

d

Laat zien, door het functievoorschrift te herleiden, waarom de grafiek maar één verticale asymptoot heeft.

e

Schrijf het domein en het bereik van `f` op.

f

De grafiek van `f` heeft een perforatie. Door welke afspraak kun je deze functie voor `x=3` continu maken?

Opgave 3

Gegeven is de functie `f(x)=|x|` .

a

Is deze functie continu voor `x=0` ?

Bekijk nu de functie `g(x)= (| x |) /x` .

b

Is deze functie continu voor `x=0` ?

c

Maak de grafiek van `g` op de grafische rekenmachine en licht toe waarom hij er zo uitziet.

d

Heeft de grafiek van `g` een perforatie?

verder | terug