Het begrip "limiet" werd als vrij snel na de invoering van het functiebegrip breed gebruikt. Maar het begrip "oneindig" dat er veel bij wordt gebruikt is nogal vaag. Een wiskundige zoals Karl Weierstrass (1815—1897) was dat een doorn in het oog (en hij was de enige niet). Hij gebruikte nauwkeuriger omschrijvingen zonder termen als oneindig te gebruiken.

Neem aan dat `f` een reële functie is en `c` een reëel getal. Dan betekent

`lim_(x rarr c) f(x) = L`

dat `f(x)` zo dicht bij `L` uitkomt als je maar wilt, als je `x` maar voldoende dicht bij `c` brengt. Onder andere Karl Weierstrass herformuleerde dit in de 19de eeuw tot de zogenaamde `epsilon,delta` -definitie van limiet.
In deze definitie stelt `epsilon` een willekeurig klein positief getal voor, zo dat `f(x)` komt willekeurig dicht bij `L` betekent dat `f(x)` uiteindelijk in het interval `(: L − epsilon, L + epsilon :)` ligt, wat je kunt schrijven als `|f(x) − L| < epsilon` .
Dat dit gebeurt als `x` voldoende dicht bij `c` wordt gebracht, betekent dat de `x` -waarden minder van `c` afliggen dan een positief getal `delta` , dus dat de `x` -waarden binnen `(: c − delta, c :)` of `(: c, c + delta :)` liggen, dus `0 < |x − c| < delta` .

En `lim_(x rarr oo) f(x) = L` betekent dat `f(x)` zo dicht bij `L` uitkomt als je maar wilt, als je `x` maar groot genoeg maakt. Weierstrass zegt dan dat er bij elke `epsilon gt 0` een `N` hoort, zodat `|f(x) − L| < epsilon` als `x gt N` . (Hierin wordt verondersteld dat `N` een groot getal is en `epsilon` juist heel klein.)