Exponentiële functies > Exponentiële groei
123456Exponentiële groei

Uitleg

Bacteriën planten zich voort door tweedeling. Elke bacterie brengt twee nieuwe bacteriën voort door zich te delen. Bij een geschikte constante temperatuur kan de groei van het aantal bacteriën verlopen als in de tabel is te zien.

tijd (uren)

0 1 2 3 4 5 6

hoeveelheid bacteriën

6 12 24 48 96 192 384

De hoeveelheid bacteriën wordt elk uur twee keer zo groot. Dat zie je door opeenvolgende waarden in de tabel op elkaar te delen.

Je moet dus steeds met factor vermenigvuldigen om de volgende waarde te vinden:

  • op tijdstip heb je bacteriën;

  • na uur heb je bacteriën;

  • na uur heb je bacteriën;

  • na uur is er bacteriën; enzovoort.

De hoeveelheid bacteriën groeit exponentieel met groeifactor per uur.

Voor de hoeveelheid bacteriën na uur geldt in dit geval de formule . Je ziet dat er machten worden gebruikt voor het herhaaldelijk vermenigvuldigen. In dit geval zijn het machten met grondtal , dit getal is de groeifactor per uur. Omdat de variabele in de exponent zit, spreek je van exponentiële groei.

Met het voorbeeld van bacteriegroei en de functie kun je een aantal rekenregels voor machten afleiden.

  • Allereerst heb je op volgens de formule bacteriën. Omdat je weet dat dit precies moet zijn is: .

  • Na uur heb je en uur later . Dit is de hoeveelheid bacteriën na uur, dus . Conclusie: . Als je machten vermenigvuldigt tel je de exponenten op.

  • Na uur heb je en uur eerder . Dit is de hoeveelheid bacteriën na uur, dus . Conclusie: . Als je machten deelt trek je de exponenten af.

  • De groeifactor per uur is . Per drie uur is die groeifactor .
    De hoeveelheid bacteriën na uur kun je op twee manieren berekenen: of . Dus moet . Bij machten van machten vermenigvuldig je de exponenten.

Opgave 1

Lees het verhaal van de bacteriegroei in de Uitleg .

a

Wat versta je onder de "groeifactor" per uur van de hoeveelheid bacteriën?

b

Hoeveel procent bacteriën komt er elk uur bij?

c

Hoeveel bacteriën heb je na uur?

Opgave 2

Schrijf als één macht, gebruik de rekenregels.

a

b

c

d

Opgave 3

Enkele bijzondere gevallen.

a

Kun je ook als een macht schrijven?

b

Hoeveel is ?

c

En hoe zit het met ? Welke moeilijkheid doet zich nu voor?

verder | terug