Exponentiële functies > Exponentiële functies
123456Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Alleen het punt `(0 , 6)` .

b

Nee.

c

Ja, de `x` -as, dus `y=0` .

d

De grafiek van `f` snijdt de `y` -as in het punt `(0, b)` en `y=0` is een horizontale asymptoot.

Opgave 1
a

Heeft `f` nulpunten?

b

`y=0`

c

Toenemende stijging.

Opgave 2

Er geldt:

  • als `g gt 1` is de grafiek voortdurend toenemend dalend;

  • als `g=1` is de grafiek constant;

  • als `0 lt g lt 1` is de grafiek voortdurend afnemend stijgend;

  • er zijn geen nulpunten, de `x` -as is een horizontale asymptoot;

  • er zijn geen extremen.

Opgave 3
a

Als er dagelijks `20` % minder is, blijft er `80` % over. Dus de groeifactor is `0,8` .

b

Voer in: Y1=40*0.8^X .
Venster bijvoorbeeld: `[0 , 50 ]xx[0 , 40 ]` .

c

Voer in: Y2=1.

De optie intersect geeft `x~~16,531` .

Als `t gt 16,53` is de concentratie niet meer meetbaar.

Opgave 4
a

De groeifactor van A is gelijk aan `1,025` en van B is deze `1,031` . Groeifactor van B is dus groter dan die van A. Conclusie: de bevolking bij B groeit harder dan die van A.

b

Voer in: Y1=750000*1.025^X en Y2=620000*1.031^X .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 50] xx [0, 2400000]` .

c

`B(8)~~791,518` , dus op 1 januari 2021 heeft stad C `791518` inwoners. Op 1 januari 2013 hadden ze `791518*1,083^(text(-)8)~~418247` inwoners.

Noem `C` het aantal inwoners in duizendtallen van stad C, dan is `C(t)=418,247*1,083^t` , met `t=0` op 1 januari 2013.

Voer in: Y1=750*1.025^X en Y2=418.247*1.083^X .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx [0, 1500]` .

De grafieken snijden elkaar bij `x~~10,6` .

Dus in het jaar 2023 zijn de steden even groot.

Opgave 5
a

Voer in: Y1=2*8^X en Y2=40.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 5]xx[0, 50]` .

De optie intersect geeft `x=1,440...` In de grafiek zie je dat `x le 1,44` .

b

Voer in: Y1=1/3*4^X en Y2=124.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10]xx[0, 150]` .

De optie intersect geeft `x=4,269...` In de grafiek zie je dat `x ge 4,27` .

c

Voer in: Y1=55*(1/2)^X en Y2=100.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10, 10]xx[0, 150]` .

De optie intersect geeft `x=text(-)0,862...` In de grafiek zie je dat `x ge text(-)0,86` .

Opgave 6

`f(x)=b*g^t`

`g^4=350/200=1,75` , dus `g=root(4)(1,75)~~1,15` .

`b*(root(4)(1,75))^10=200` geeft `b~~49` .

`f(x)~~49*1,15^x`

Opgave 7
a

`S(t) = 1*1,05^t = 4000` geeft met behulp van de GR: `t=170` .
Dus `170` jaar geleden.

b

Ja, kies bijvoorbeeld `text(-)175 ≤ t ≤ text(-)165` .

c

Nee, er is een horizontale asymptoot `S = 0` .

Opgave 8
a

Voer in: Y1=50*1.5^X en Y2=200.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10] xx [0, 300]` .

De optie intersect geeft `x=3,419...` . Aan de grafiek zie je dat `x ≤ 3,41` .

b

Voer in: Y1=25*1.8^X en Y2=250*0.75^X.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 10] xx [0, 300]` .

De optie intersect geeft `x=2,630...` . Aan de grafiek zie je dat `x gt 2,63` .

Opgave 9
a

Groeifactor per `121` dagen: `1630/2000 = 0,815` , dus groeifactor per jaar: `0,815^(365/121) ~~ 0,540` .

Op 6 januari 2014 was de straling `2000` Bq, dus een jaar eerder was het `2000*0,540^(text(-)1 )~~ 3707` Bq.

b

`2000*0,540^(2,5) ~~ 427,6 ~~ 428` Bq.

c

`S = 2000 * 0,540^t`

d

`0,540^t = 0,5` geeft `t~~1,123` .

Dus na `1,123` jaar is de straling gehalveerd, dat is `1` jaar en `45` dagen.

Vanaf 23 februari 2015.

Opgave 10

Beide grafieken gaan door `( 0, 10 )` , dus `b = 10` .

Bij `x = 0` heeft `f(x)` de waarde `10` en bij `x = 1` de waarde `20` , dus `g = 20/10 = 2` .
Dus: `f(x) = b*g^x = 10 * 2^x` .

Bij `x=text(-)1` heeft `g(x)` de waarde `30` en bij `x = 0` de waarde `10` , dus `g = 10/30 = 1/3` .
Dus: `g(x) = b* g^x = 10 * (1/3)^x` .

Opgave 11

Bij lineaire groei geldt voor de beginhoeveelheid: € 650,00. Er komt jaarlijks € 50,00 bij, dus `H(t) = 650+50t` .

Bij exponentiële groei geldt voor beginhoeveelheid `b` : € 650,00. Er komt jaarlijks `5,5` % bij, dus de groeifactor is `g=(105,5)/(100) = 1,055` , zodat `I(t) = b * g^t = 650 * 1,055^t` .

`H(t)` en `I(t)` invullen in GR. Snijpunt bepalen: `(12,8 ; 1290)` . Het levert de huurder dus na dertien jaar voordeel op.

Opgave 12
a

Voor beiden `y=0` (de `x` -as).

b

Voer in: Y1=12*1.5^X en Y2=25*(1/3)^X .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 10]xx[text(-)10, 25]` .

De optie intersect geeft `x=0,4879...` ; in de grafiek zie je dat `xle0,48` .

c

`g(0)=25` en `f(3)=40,5` .

`AB=sqrt(3^2+(40,5-25)^2)=sqrt(249,25)~~15,8` .

d

`f(0)=12` , dit geeft `b=12` .

`g(2)=2 7/9`

`a^2=(2 7/9)//12=25/108` geeft `a=(25/108)^(1/2)~~0,481` .

Hieruit volgt dat `h(x)=12*0,481^x` .

Opgave 13Waterverontreiniging
Waterverontreiniging

De groeifactor per dag is `0,8` .

Je moet de ongelijkheid `40*0,8^t < 1` oplossen.

Eerst los je met de grafische rekenmachine de vergelijking `40*0,8^t=1` op. Je vindt `t~~16,53` . Hoe groter `t` hoe minder de concentratie wordt. Dus na ongeveer `16` dagen en `13` uur is de stof verdwenen.

Opgave 14De wet van Moore
De wet van Moore
a

Het aantal transistoren `A` is dan `A = 120000+117750t` met 1982 als `t = 0` .

Los nu op: `120000 + 117750t = 3100000` .

`3100000-120000 = 2980000 = 117750t`

`t = 2980000/117750 ~~ 25,3`

Het aantal van `3100000` transistoren wordt dus `25` jaar na 1982 bereikt, dus in het jaar 2007.

b

1971 - 2000 is een periode van `29` jaar. Groeifactor per `29` jaar `= 42000000/2250 ~~ 18667` , dus groeifactor per jaar `= (42000000/2250)^(1/29) = 1,4037` .

c

1971 - 2014 is een periode van `43` jaar.
`A = 2250 * 1,404^43 ~~ 4886165278` transistoren volgens Moore.

`4310000000/4886165278*100 ~~ 88` %, het werkelijke aantal wijkt dus `12` % af van de voorspelling van Moore.

d

`A = 2250 * 1,404^t = 10^10` .

`A` en `y = 10^10` invullen in GR. Snijpunt bepalen: `(45,1 ; 10^10)` .

Dit is dus het geval `45` jaar na 1971, dus in het jaar 2016.

(bron: examen wiskunde A havo in 2005, eerste tijdvak)

Opgave 15
a

De groeifactor is groter dan `1` .

b

`t gt 37,167`

c

`t lt text(-)335,043`

Opgave 16
a

`H(t)=850 *1,055^t`

b

Vanaf 1 januari 2014.

Opgave 17

`f(x)=59 *1,165^x`

verder | terug