Exponentiële functies > Exponentiële functiesVoorbeeld 1
In het water van een meer is verontreiniging ontdekt; er wordt op een bepaald moment
`40`
mg/L van een bepaalde stof in het water aangetroffen. Gelukkig wordt deze stof op
natuurlijke wijze afgebroken. De stof kan worden gemeten met een nauwkeurigheid van
gehele mg/L. Het blijkt dat de concentratie exponentieel vervalt met
`20`
% per dag.
Na hoeveel dagen is deze stof uit het meer verdwenen?
De "groeifactor" per dag is `0,80` . Op `t=0` is er `40` mg/L gemeten. Voor de concentratie `C` (in mg/L) geldt dus: `C(t)=40 *0,80^t` .
Omdat de groeifactor tussen
`0`
en
`1`
ligt is dit een dalende exponentiële functie. Echter, zo'n exponentiële functie komt
nooit op
`0`
uit, hoe groot je
`t`
ook kiest. Er is sprake van een horizontale asymptoot met vergelijking
`C=0`
. Zal de stof dan nooit verdwijnen? Theoretisch inderdaad niet, maar in de praktijk
is de stof niet meer meetbaar als de concentratie onder de
`1`
mg/L zakt (dat volgt uit de nauwkeurigheid van meten). Om te bepalen na hoeveel dagen
de stof is
"verdwenen"
, moet je daarom de ongelijkheid
`40 *0,80^t lt 1`
oplossen.
Dat doe je met de grafische rekenmachine. Je vindt:
`t gt 16,5`
.
Bekijk
Leg uit waarom de groeifactor per dag `0,80` is.
Breng de grafiek van `C(t)` in beeld op de grafische rekenmachine.
Bereken op twee decimalen nauwkeurig vanaf welk tijdstip de concentratie niet meer meetbaar is, dus `C(t) < 1` .