`y_1 = text(-)3 * 0,5^x + 1`
`y_2 = text(-)3 * 0,25^x - 4`
`f_1 (x) = 3 * 2^x + 1` . Door vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `3` en translatie van `1` ten opzichte van de `x` -as.
`f_2 (x) = 3 * (1/2)^x - 1` . Hij ontstaat uit de grafiek van `y = (1/2)^x` door vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `3` en translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f_3 (x) = text(-)10 * 1,5^x + 100` . Geschikte vensterinstellingen bijvoorbeeld `[text(-)15 , 15]xx[text(-)175 , 125 ]` .
`f(x) = 6 * 2^(text(-)2x - 1) - 12 = 6 * (2^(text(-)2))^x * 2^(text(-)1) - 12 = 3 * (1/4)^x - 12`
`y = (1/4)^x`
De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y= (1/4)^x` door een vermenigvuldiging in de `y` -richting met `3` en verschuiven met `text(-)12` in de `y` -richting.
`x=text(-)1`
`3 * (1/4)^x - 12 = 0` geeft `(1/4)^x = 4 = (1/4)^(text(-)1)` en dus `x=text(-)1` .
Met `0,5` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)5` eenheden ten opzichte van de `y` -as.
`y=text(-)5`
`h(x) = 1/2 * (1/3)^x - 5` . Breng de functie in beeld met je GR.
Voor `x` mag je alle waarden invullen. Dus `text(D)_h=ℝ` . Verder is er een horizontale asymptoot `y=text(-)5` . Dit heeft natuurlijk gevolgen voor het bereik: `text(B)_h=(:text(-)5 , → 〉` .
Voer in: Y1=1/2*(1/3)^X-5 en Y2=0.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10 , 0 ]xx[text(-)5 , 5 ]`
.
Gebruik de optie intersect om te vinden dat
`x ge text(-)2,09`
.
De vergelijking is te schrijven als
`(1/3)^x = 2100`
.
Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=2100.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10 , 0 ]xx[0 , 2500 ]`
.
Gebruik de optie intersect:
`x ≈ text(-)6,963`
.
Gebruik je GR: `x < text(-)6,963`
Translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as, dan met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en tenslotte translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f(x) = 2*2^(x+1) - 1 = 2*2^x*2^1 - 1 = 4*2^x - 1`
Met `4` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
Aangezien er (bij c) alleen veranderingen plaatsvinden ten opzichte van de `x` -as blijft de `x` -coördinaat ongewijzigd.
De `y` -coördinaat wordt eerst met `4` vermenigvuldigd en daarna met `text(-)1` verschoven. Je vindt dus `1*4-1=3` .
Het nieuwe punt is dan `(0, 3)` .
Je kunt ook de transformaties bij a gebruiken. Ga na, dat je dan het punt `(text(-)1, 1)` vindt.
Horizontale asymptoot `y=text(-)1` , `text(D)_(f)=ℝ` en `text(B)_(f)=(:text(-)1 , →〉` .
Aan beide zijden `2 sqrt(2)` optellen.
Beide zijden delen door `4` om de macht vrij te maken.
Beide zijden als macht van `2` schrijven in twee stappen.
Omdat de grondtallen gelijk zijn, de exponenten gelijk stellen.
Met de balansmethode de vergelijking verder oplossen.
`x=4`
`x=text(-)4,5`
De vergelijking wordt: `(1/3)^x gt 1/4` .
Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=1/4.
De grafieken snijden elkaar bij `x=1,2618 ...`
De oplossing van de ongelijkheid (zie grafiek) wordt `x le 1,261` .
De groeifactor `0,998` is kleiner dan `1` , dus als `t` groter wordt neemt `K` af.
`K=20` is de horizontale asymptoot.
De temperatuur van de koffie nadert de omgevingstemperatuur van `20` °C.
Voer in: Y1=60*(0.998)^X+20 en Y2=70.
Venster bijvoorbeeld:
`[1 , 150 ]xx[50 , 100]`
.
Met intersect vind je `x≈91,07` , dus na ongeveer `91` seconden is de temperatuur `70` °C.
Voer in: Y=21+60*0.83^X en Y2=50.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 20]xx[0 , 100]`
.
`x≈3,902` , dus na ongeveer `3` uur en `54` minuten.
Dus de koffie is tot 11:54 te drinken.
Als `t=0` , dan geldt `T = 21 +60 = 81` .
Met `60` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `21` ten opzichte van de `x` -as.
Voer in: Y=21+60*0.83^X en Y2=22.
Venster bijvoorbeeld:
`[0 , 40 ]xx[0 , 100 ]`
.
`x≈21,97` , dus ongeveer `22` uur. Dat is tot de volgende dag ’s morgens 6:00 uur.
`y=21`
De temperatuur in de woonkamer is `21` °C; de constante 21 die steeds meer wordt benaderd is de omgevingstemperatuur.
Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^X en Y2=10 en gebruik intersect: `x~~1,43` .
Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^X en Y2=10 en gebruik intersect: `x~~1,43` . Lees vervolgens af waar de grafiek van Y1 onder de grafiek van Y2 ligt: `x le 1,43` .
`3 * 5^x + 5 =10` geeft `5^x = 5/3` .
Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^x en Y2=5/3. Gebruik intersect om het snijpunt te vinden: `x~~0,32` .
Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^x en Y2=5/3. Gebruik intersect om het snijpunt te vinden: `x~~0,317` .
Lees nu af waar de grafiek van Y1 boven de grafiek van Y2 ligt: `x ge 0,32` .
`2sqrt(2)=2^1*2^(1/2)=2^(3/2)`
`x = 1 1/2`
`4^x = (2^2)^x=2^(2x)`
`8^(x+2)=(2^3)^(x+2)=2^(3(x+2))`
`2^(2x)` | `=` | `2^(3(x+2))` | |
`2x` | `=` | ` 3x+6` | |
`x` | `=` | ` text(-)6` |
`9^(2x)=(3^2)^(2x)=3^(4x)`
`sqrt(3)=3^(1/2)`
`3^(4x)` | ` =` | `3^(1/2)` | |
`4x` | `=` | `1/2` | |
`x` | `=` | `1/8` |
`32=2^5`
`2^(2 x-1) ` | `=` | `2^5` | |
`2x-1` | `=` | `5` | |
`2x` | `=` | `6` | |
`x` | `=` | `3` |
`4sqrt(2)=2^2*2^(1/2)=2^(2 1/2)`
`2^(1/2x+1)` | `=` | `2^(2 1/2)` | |
`1/2x+1` | `=` | `2 1/2` | |
`1/2x` | `=` | `1 1/2` | |
`x` | `=` | `3` |
`2*10^x` | `=` | `2000` | |
`10^x` | `=` | `1000` | |
`x` | `=` | `3` |
`3*2^x - 2` | `=` | `46` | |
`3*2^x` | `=` | `48` | |
`2^x` | `=` | `16` | |
`x` | `=` | `4` |
`6(5^x + 5)` | `=` | ` 180` | |
`5^x+5` | `=` | `30` | |
`5^x` | `=` | `25` | |
`x` | `=` | ` 2` |
Eerst vergelijking oplossen:
`162*(1/3)^x` | `=` | `2` | |
`(1/3)^x` | `=` | `2/162=1/81` | |
`(1/3)^x` | `=` | `(1/3)^4` | |
`x` | `=` | `4` |
Plotten in je GR en aflezen geeft `x lt 4` .
Eerst vergelijking oplossen:
`7+16*1,5^x` | `=` | `43` | |
`16*1,5^x` | `=` | `36` | |
`1,5^x` | `=` | `36/16=9/4=2,25=1,5^2` | |
`x` | `=` | `2` |
Grafiek plotten en aflezen geeft `x le 2` .
Eerst de vergelijking oplossen:
`10*(1/2)^x` | `=` | `160` | |
`(1/2)^x` | `=` | `16` | |
`2^(text(-)x)` | `=` | `2^4` | |
`x` | `=` | `text(-)4` |
Grafiek plotten en aflezen geeft `x le text(-)4` .
`f(x) = 1/4 * 2^x - 3` :
`a(x) = 2^x` met `1/4` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en translatie van `text(-)3` ten opzichte van de `x` -as
`g(x) = 32* 0,5^x - 1` :
`b(x)= (1/2)^x` met `32` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as
`1/4*2^x - 3 = text(-)2 7/8` geeft `1/4*2^x = 1/8` en `2^x = 1/2 = 2^(text(-)1)` , dus `x=text(-)1` .
Voer in: Y1=4(1/2)^(X-3)-1 en Y2=1.5.
Gebruik de optie intersect:
`x≈3,68`
.
Aflezen uit de grafiek geeft
`x le 3,67`
.
`g(4) = 32*0,5^4 - 1 = 32*(1/16) - 1 = 1`
Plot de grafiek van
`g`
en lees af: als
`x ≤ 4`
, dan
`g(x) ≥ 1`
.
Bekijk de grafieken op de grafische rekenmachine en lees af welke waarde de grafiek van `f` wel kan hebben en welke waarden de grafiek van `g` niet kan hebben.
Je vindt `text(-)3 lt p le text(-)1` .
Bereken de twee bijbehorende `y` -waarden om het verschil hiertussen uit te rekenen. Het verschil is de gevraagde lengte.
Je vindt `A=(text(-)1 , text(-)2 7/8)` en `B=(text(-)1 , 63 )` .
Dus `AB` is `63 -text(-)2 7/8=65 7/8` lang.
Los op `f(x)=5` en `g(x)=5` .
`1/4*2^x-3=5` geeft `2^x=32` en dus `x=5` .
`32*0,5^x-1=5` los je op met de GR. Je vindt `x~~2,4150` .
Dus `C=(5 , 5 )` en `D≈(2,4150 ; 5 )` . Dus is `CD≈5 -2,4150 =2,585` .
`4*0,5^x - 1` | `=` | `0` | |
`4*0,5^x` | `=` | `1` | |
`0,5^x` | `=` | `0,25` | |
`x` | `=` | `2` |
Grafieken plotten en aflezen geeft `x>2` .
`2*2^(text(-)x+1) - 1` | `=` | `0` | |
`2*2^(text(-)x+1)` | `=` | `1` | |
`2^(text(-)x+1)` | `=` | `1/2` | |
`2^(text(-)x+1)` | `=` | `2^(text(-)1)` | |
`text(-)x+1` | `=` | `text(-)1` | |
`text(-)x` | `=` | `text(-)2` | |
`x` | `=` | `2` |
Grafieken plotten en aflezen geeft `x lt 2` .
`6*0,25^x - 4` | `=` | `0,75` | |
`6*0,25^x` | `=` | `4,75` | |
`0,25^x` | `=` | `(4,75)/6` |
Los deze vergelijking op met de GR. Je vindt `x~~0,169` .
Aflezen uit de grafiek geeft `x lt 0,17` .
`3*0,5^(2x-1)-4` | `=` | `text(-)3,25` | |
`3*0,5^(2x-1)` | `=` | `0,75` | |
`0,5^(2x-1)` | `=` | `0,25` | |
`0,5^(2x-1)` | `=` | ` 0,5^2` | |
`2x-1` | `=` | `2` | |
`2x` | `=` | `3` | |
`x` | `=` | `1,5` |
Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x>1,5` .
`3,5^(x+50)-0,5` | `=` | `3` | |
`3,5^(x+50)` | `=` | `3,5` | |
`3,5^(x+50)` | `=` | `3,5^1` | |
`x+50` | `=` | `1` | |
`x` | `=` | `text(-)49` |
Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x>text(-)49` .
`text(-)2^x+1` | `=` | `text(-)7` | |
`text(-)2^x` | `=` | `text(-)8` | |
`2^x` | `=` | `8` | |
`x` | `=` | `3` |
Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x le 3` .
`540 *0,95^t rarr 0` als `t` groter wordt, dus `540 - 540 *0,95^t` is stijgend.
`y=540` , want `lim_(t rarr oo) 540 * 0,95^t = 0` .
`75` % van `540` is `405` .
Los de vergelijking `405=540-540*0,95^t` met de GR op. Je vindt `t~~27,03` .
Dus na ongeveer `27` minuten.
`2*4^(x-1)+4^x` | `=` | `96` | |
`2*4^(text(-)1)*4^x+4^x` | `=` | `96` | |
`0,5*4^x+4^x` | `=` | `96` | |
`1,5*4^x` | `=` | `96` | |
`4^x` | `=` | `64=4^3` | |
`x` | `=` | `3` |
`25^(3x-6)` | `=` | `(5^2)^(3x-6)=5^(2(3x-6))` | |
`x-4` | `=` | `2(3x-6)` | |
`x-4` | `=` | `6x-12` | |
`text(-)5x` | `=` | `text(-)8` | |
`5x` | `=` | `8` | |
`x` | `=` | `8/5=1,6` |
`(sqrt(2))^(x^2)` | `=` | `(2^(1/2))^(x^2)=2^(1/2x^2)` | |
`4^(x-1)` | `=` | `(2^2)^(x-1)=2^(2(x-1))` | |
`2^(1/2x^2)` | `=` | `2^(2(x-1))` | |
`1/2x^2` | `=` | `2(x-1)` | |
`1/2x^2` | `=` | `2x-2` | |
`x^2` | `=` | `4x-4` | |
`x^2-4x+4` | `=` | `0` | |
`(x-2)^2` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `2` |
`9^(1/2x-1)=(3^2)^(1/2x-1)=3^(2(1/2x-1))=3^(x-2)`
`3^(x+2)-3^(x-2)` | `=` | `2 26/27` | |
`3^x*3^2-3^x*3^(text(-)2)` | `=` | `2 26/27` | |
`3^x*9-3^x*1/9` | `=` | `2 26/27` | |
`3^x*8 8/9` | `=` | `2 26/27` | |
`3^x` | `=` | `2 26/27//8 8/9=1/3` | |
`x` | ` =` | `text(-)1` |
Los eerst de vergelijking op:
`text(-)4^(2(x+1))-2` | `=` | `2^(4x+4)-10` | |
`text(-)(2^2)^(2(x+1))-2` | `=` | `2^(4x+4)-10` | |
`text(-)2^(2(2(x+1)))-2` | `=` | `2^(4x+4)-10` | |
`text(-)2^(4x+4)-2` | `=` | `2^(4x+4)-10` | |
`2*2^(4x+4)` | `=` | `8` | |
`2^1*2^(4x+4)` | `=` | `8` | |
`2^(4x+5)` | `=` | `2^3` | |
`4x+5` | `=` | `3` | |
`4x` | `=` | `text(-)2` | |
`x` | `=` | `text(-)1/2` |
Plotten en aflezen van de grafiek geeft `x ge text(-)1/2` .
`4/(9^(text(-)2x))` | `=` | `324*27^(1/3x^2)` | |
`324*27^(1/3x^2)*9^(text(-)2x)` | `=` | `4` | |
`(4*3^4)*(3^3)^(1/3x^2)*(3^2)^(text(-)2x)` | `=` | `4` | |
`4*3^4*3^(x^2)*3^(text(-)4x)` | `=` | `4` | |
`3^4*3^(x^2)*3^(text(-)4x)` | `=` | `1=3^0` | |
`x^2-4x+4` | `=` | `0` | |
`(x-2)^2` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `2` |
`60/12*(1/5)^x + 5` | `>=` | `5^(text(-)x) + 25` | |
`5*(5^(text(-)1))^x + 5` | `=` | `5^(text(-)x) + 25` | |
`5*5^(text(-)x) + 5` | `=` | `5^(text(-)x) + 25` | |
`5*5^(text(-)x) - 5^(text(-)x)` | `=` | `25-5` | |
`4*5^(text(-)x)` | `=` | `20` | |
`5^(text(-)x)` | `=` | `5` | |
`x` | `=` | `text(-)1` |
Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x le text(-)1` .
Met `3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en transatie van `text(-)7` ten opzichte van de `x` -as.
Horizontale asymptoot is `y=text(-)7` , `text(D)_(g)=ℝ` en `text(B)_(g)=(:text(-)7 , →〉` .
`x ≥ 5,16`
Met `text(-)3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna de translatie van `5` ten opzichte van de `x` -as toepassen.
Het grondtal is tussen `0` en `1` wat wijst op een dalende grafiek. Maar in dit geval wordt er met een negatief getal ( `text(-)3` )vermenigvuldigd. Dit zorgt ervoor dat de grafiek wordt gespiegeld in de horizontale as.
`y=5` en `text(B)_(f)=(:←, 5 〉` .
`(text(-)0,74 ; 0 )`
`x ≤ text(-)0,74`
`x lt 2`
`x lt 1,5`
`text(B)_(f)=(:text(-)2 , →〉`
`text(B)_(g)=(:2 , →〉`
`x ≥ text(-)0,58`
`p≤text(-)2`
`19 7/8`
Ongeveer `4,49`