Exponentiële functies > Meer exponentiële functies
123456Meer exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`y_1 =text(-)3 *0,5^x+1`

b

`y_2 =text(-)3 *0,25^x-4`

Opgave 1
a

`f_1 (x)=3 *2^x+1` . Door vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `3` en translatie van `1` ten opzichte van de `x` -as.

b

`f_2 (x)=3 * (1/2) ^x-1` . Hij ontstaat uit de grafiek van `y= (1/2) ^x` door vermenigvuldiging ten opzichte van de `x` -as met `3` en translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.

c

`f_3 (x)=text(-)10 *1,5^x+100` . Geschikte vensterinstellingen bijvoorbeeld `[text(-)15 , 15]xx[text(-)175 , 125 ]` .

Opgave 2
a

`f(x)=6 *2^ (text(-)2 x-1) -12 =6 * (2^(text(-)2)) ^x*2^(text(-)1)-12 =3 * (1/4) ^x-12`

b

`y= (1/4) ^x`

c

De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y= (1/4) ^x` door een vermenigvuldiging in de `y` -richting met `3` en verschuiven met `text(-)12` in de `y` -richting.

d

`x=text(-)1`

e

`3 * (1/4) ^x-12 =0` geeft `(1/4) ^x=4 = (1/4) ^(text(-)1)` en dus `x=text(-)1`

Opgave 3
a

Met `0,5` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)5` eenheden ten opzichte van de `y` -as.

b

`y=text(-)5`

c

`h(x)=1/2* (1/3) ^x-5` . Breng de functie in beeld met je GR.

Voor `x` mag je alle waarden invullen. Dus `text(D)_h=ℝ` . Verder is er een horizontale asymptoot `y=text(-)5` . Dit heeft natuurlijk gevolgen voor het bereik: `text(B)_h=(:text(-)5 , → 〉` .

d

Voer in: Y1=1/2*(1/3)^X-5 en Y2=0
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 0 ]xx[text(-)5 , 5 ]`
Gebruik de Intersect-functie om te vinden dat `xgetext(-)2,09` .

e

De vergelijking is te schrijven als `(1/3) ^x=2100` .
Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=2100
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10 , 0 ]xx[0 , 2500 ]`
Gebruik de optie intersect: `x≈text(-)6,963` .

f

Gebruik je GR: `x < text(-)6,963`

Opgave 4
a

Translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as, dan met `2` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en tenslotte translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.

b

`f(x)=2*2^(x+1)-1=2*2^x*2^1-1=4*2^x-1`

c

Met `4` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en dan translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.

d

Aangezien er alleen veranderingen plaatsvinden ten opzichte van de `x` -as blijft de `x` -coördinaat ongewijzigd.

De `y` -coördinaat wordt eerst met `4` vermenigvuldigd en daarna met `text(-)1` verschoven. Je vindt dus `1*4-1=3` .

Het nieuwe punt is dan `(0, 3)` .

e

Horizontale asymptoot `y=text(-)1` , `text(D)_(f)=ℝ` en `text(B)_(f)=(:text(-)1 , →〉` .

Opgave 5
a

Aan beide zijden `2 sqrt(2)` optellen.

Beide zijden delen door `4` om de macht vrij te maken.

Beide zijden als macht van `2` schrijven in twee stappen.

Omdat de grondtallen gelijk zijn, de exponenten gelijk stellen.

Met de balansmethode de vergelijking verder oplossen.

b

`x=4`

c

`x=text(-)4,5`

Opgave 6

De vergelijking wordt: `(1/3) ^x>1/4` .

Voer in: Y1=(1/3)^X en Y2=1/4.

De grafieken snijden elkaar bij `x=1,2618 ...`

De oplossing van de ongelijkheid (zie grafiek) wordt `x le 1,261` .

Opgave 7
a

De groeifactor `0,998` is kleiner dan `1` , dus als `t` groter wordt neemt `K` af.

b

`K=20` is de horizontale asymptoot.

De temperatuur van de koffie nadert de omgevingstemperatuur van `20` °C.

c

Voer in: Y1=60*(0.998)^X+20 en Y2=70
Venster bijvoorbeeld: `[1 , 150 ]xx[50 , 100]`

Met intersect vind je `x≈91,07` , dus na ongeveer `91` seconden is de temperatuur `70`  °C.

Opgave 8
a

Voer in: Y=21+60*0.83^X en Y2=50
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx[0 , 100]`

`x≈3,902` , dus na ongeveer `3` uur en `54` minuten.

Dus de koffie is tot 11:54 te drinken.

b

Als `t=0` , dan geldt `T=21 +60 =81` .

c

Met `60` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `21` ten opzichte van de `x` -as.

d

Voer in: Y=21+60*0.83^X en Y2=22
Venster bijvoorbeeld: `[0 , 40 ]xx[0 , 100 ]`

`x≈21,97` , dus ongeveer `22` uur. Dat is tot de volgende dag ’s morgens 6:00 uur.

e

`y=21`

f

De temperatuur in de woonkamer is `21`  °C; de constante 21 die steeds meer wordt benaderd is de omgevingstemperatuur.

Opgave 9
a

Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^X en Y2=10 en gebruik intersect: `x~~1,43` .

b

Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^X en Y2=10 en gebruik intersect: `x~~1,43` . Lees vervolgens af waar de grafiek van Y1 onder de grafiek van Y2 ligt: `x le 1,43` .

c

`3 *5^x+5 =10` geeft `5^x=5/3` .

Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^x en Y2=5/3. Gebruik intersect om het snijpunt te vinden: `x~~0,32`

d

Voer in op de grafische rekenmachine: Y1=5^x en Y2=5/3. Gebruik intersect om het snijpunt te vinden: `x~~0,32`

Lees nu af waar de grafiek van Y1 boven de grafiek van Y2 ligt: `x gt 0,32` .

Opgave 10
a

`2sqrt(2)=2^1*2^(1/2)=2^(3/2)`

`x=1 1/2`

b

`4^x = (2^2)^x=2^(2x)`
`8^(x+2)=(2^3)^(x+2)=2^(3(x+2))`

`2^(2x)` `=` `2^(3(x+2))`
`2x` `=` ` 3x+6`
`x` `=` ` text(-)6`
c

`9^(2x)=(3^2)^(2x)=3^(4x)`
`sqrt(3)=3^(1/2)`

`3^(4x)` ` =` `3^(1/2)`
`4x` `=` `1/2`
`x` `=` `1/8`
d

`32=2^5`

`2^ (2 x-1) ` `=` `2^5`
`2x-1` `=` `5`
`2x` `=` `6`
`x` `=` `3`
e

`4sqrt(2)=2^2*2^(1/2)=2^(2 1/2)`

`2^(1/2x+1)` `=` `2^(2 1/2)`
`1/2x+1` `=` `2 1/2`
`1/2x` `=` `1 1/2`
`x` `=` `3`
Opgave 11
a
`2*10^x` `=` `2000`
`10^x` `=` `1000`
`x` `=` `3`
b
`3*2^x-2` `=` `46`
`3*2^x` `=` `48`
`2^x` `=` `16`
`x` `=` `4`
c
`6(5^x+5)` `=` ` 180`
`5^x+5` `=` `30`
`5^x` `=` `25`
`x` `=` ` 2`
d

`162*(1/3)^x>2`
Eerst vergelijking oplossen:

`162*(1/3)^x` `=` `2`
`(1/3)^x` `=` `2/162=1/81`
`x` `=` `4`

Plotten in je GR en aflezen geeft `x < 4` .

e

Eerst vergelijking oplossen:

`7+16*1,5^x` `=` `43`
`16*1,5^x` `=` `36`
`1,5^x` `=` `36/16=9/4=2,25`
`x` `=` `2`

Grafiek plotten en aflezen geeft `x le 2` .

f

Eerst de vergelijking oplossen:

`10*(1/2)^x` `=` `160`
`(1/2)^x` `=` `16`
`x` `=` `text(-)4`

Grafiek plotten en aflezen geeft `x le text(-)4` .

Opgave 12
a

`f(x)=1/4*2^x-3` :

`a(x)=2^x` met `1/4` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en translatie van `text(-)3` ten opzichte van de `x` -as

`g(x)=32*0,5^x-1` :

`b(x)= (1/2) ^x` met `32` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as

b

`1/4*2^x-3 = text(-)2 7/8` geeft `1/4*2^x = 1/8` en `2^x = 1/2 = 2^(text(-)1)` , dus `x=text(-)1` .

c

Voer in: Y1=4(1/2)^(X-3)-1 en Y2=1.5
Gebruik de optie intersect: `x≈3,68` .
Aflezen uit de grafiek geeft `xle3,67` .

d

`g(4 )=32*0,5^4-1=32*(1/16)-1=1`
Plot de grafiek van `g` en lees af: als `x≤4` , dan `g(x)≥1` .

e

Bekijk de grafieken op de grafische rekenmachine en lees af welke waarde de grafiek van `f` wel kan hebben en welke waarden de grafiek van `g` niet kan hebben.

Je vindt `text(-)3 < p≤text(-)1` .

f

Bereken de twee bijbehorende `y` -waarden om het verschil hiertussen uit te rekenen. Het verschil is de gevraagde lengte.

Je vindt `A=(text(-)1 , text(-)2 7/8)` en `B=(text(-)1 , 63 )` .

Dus `AB` is `63 -text(-)2 7/8=65 7/8` lang.

g

Los op `f(x)=5` en `g(x)=5` .

`1/4*2^x-3=5` geeft `2^x=32` en dus `x=5` .

`32*0,5^x-1=5` los je op met de GR. Je vindt `x~~2,4150` .

Dus `C=(5 , 5 )` en `D≈(2,4150 ; 5 )` . Dus is `CD≈5 -2,4150 =2,585` .

Opgave 13
a
`4*0,5^x-1` `=` `0`
`4*0,5^x` `=` `1`
`0,5^x` `=` `0,25`
`x` `=` `2`

Grafieken plotten en aflezen geeft `x>2` .

b
`2*2^(text(-)x+1)-1` `=` `0`
`2*2^(text(-)x+1)` `=` `1`
`2^(text(-)x+1)` `=` `1/2`
`2^(text(-)x+1)` `=` `2^(text(-)1`
`text(-)x+1` `=` `text(-)1`
`text(-)x` `=` `text(-)2`
`x` `=` `2`

Grafieken plotten en aflezen geeft `x < 2`

c
`6*0,25^x-4` `=` `0,75`
`6*0,25^x` `=` `4,75`
`0,25^x` `=` `(4,75)/6`

Los deze vergelijking op met de GR. Je vindt `x~~0,169` .

Aflezen uit de grafiek geeft `x < 0,17` .

d
`3*0,5^(2x-1)-4` `=` `text(-)3,25`
`3*0,5^(2x-1)` `=` `0,75`
`0,5^(2x-1)` `=` `0,25`
`0,5^(2x-1)` `=` ` 0,5^2`
`2x-1` `=` `2`
`2x` `=` `3`
`x` `=` `1,5`

Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x>1,5` .

e
`3,5^(x+50)-0,5` `=` `3`
`3,5^(x+50)` `=` `3,5`
`3,5^(x+50)` `=` `3,5^1`
`x+50` `=` `1`
`x` `=` `text(-)49`

Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x>text(-)49` .

f
`text(-)2^x+1` `=` `text(-)7`
`text(-)2^x` `=` `text(-)8`
`2^x` `=` `8`
`x` `=` `3`

Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x le 3`

Opgave 14
a

`540 *0,95^t` is dalend, dus `540 -540 *0,95^t` is stijgend.

b

`y=540`

c

`75` % van `540` is `405` .

Los de vergelijking `405=540-540*0,95^t` met de GR op. Je vindt `t~~27,03` .

Dus na ongeveer `27` minuten.

Opgave 15
a
`2*4^(x-1)+4^x` `=` `96`
`2*4^(text(-)1)*4^x+4^x` `=` `96`
`0,5*4^x+4^x` `=` `96`
`1,5*4^x` `=` `96`
`4^x` `=` `64=4^3`
`x` `=` `3`
b
`25^(3x-6)` `=` `(5^2)^(3x-6)=5^(2(3x-6))`
`x-4` `=` `2(3x-6)`
`x-4` `=` `6x-12`
`text(-)5x` `=` `text(-)8`
`5x` `=` `8`
`x` `=` `8/5=1,6`
c
`(sqrt(2))^(x^2)` `=` `(2^(1/2))^(x^2)=2^(1/2x^2)`
`4^(x-1)` `=` `(2^2)^(x-1)=2^(2(x-1))`
`2^(1/2x^2)` `=` `2^(2(x-1))`
`1/2x^2` `=` `2(x-1)`
`1/2x^2` `=` `2x-2`
`x^2` `=` `4x-4`
`x^2-4x+4` `=` `0`
`(x-2)^2` `=` `0`
`x` `=` `2`
d

`9^(1/2x-1)=(3^2)^(1/2x-1)=3^(2(1/2x-1))=3^(x-2)`

`3^(x+2)-3^(x-2)` `=` `2 26/27`
`3^x*3^2-3^x*3^(text(-)2)` `=` `2 26/27`
`3^x*9-3^x*1/9` `=` `2 26/27`
`3^x*8 8/9` `=` `2 26/27`
`3^x` `=` `2 26/27//8 8/9=1/3`
`x` ` =` `text(-)1`
Opgave 16
a

Los eerst de vergelijking op:

`text(-)4^(2(x+1))-2` `=` `2^(4x+4)-10`
`text(-)(2^2)^(2(x+1))-2` `=` `2^(4x+4)-10`
`text(-)2^(2(2(x+1)))-2` `=` `2^(4x+4)-10`
`text(-)2^(4x+4)-2` `=` `2^(4x+4)-10`
`2*2^(4x+4)` `=` `8`
`2^1*2^(4x+4)` `=` `8`
`2^(4x+5)` `=` `2^3`
`4x+5` `=` `3`
`4x` `=` `text(-)2`
`x` `=` `text(-)1/2`

Plotten en aflezen van de grafiek geeft `x ge text(-)1/2`

b
`4/(9^(text(-)2x))` `=` `324*27^(1/3x^2)`
`324*27^(1/3x^2)*9^(text(-)2x)` `=` `4`
`(4*3^4)*(3^3)^(1/3x^2)*(3^2)^(text(-)2x)` `=` `4`
`4*3^4*3^(x^2)*3^(text(-)4x)` `=` `4`
`3^4*3^(x^2)*3^(text(-)4x)` `=` `1=3^0`
`x^2-4x+4` `=` `0`
`(x-2)^2` `=` `0`
`x` `=` `2`
c
`60/12*(1/5)^x+5` `>=` `5^(text(-)x)+25`
`5*(5^(text(-)1))^x+5` `=` `5^(text(-)x)+25`
`5*5^(text(-)x) +5` `=` `5^(text(-)x)+25`
`5*5^(text(-)x)-5^(text(-)x)` `=` ` 25-5`
`4*5^(text(-)x)` ` =` ` 20`
`5^(text(-)x)` `=` `5`
`x` `=` `text(-)1`

Plotten en aflezen uit de grafiek geeft `x le text(-)1`

Opgave 17
a

Met `3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en transatie van `text(-)7` ten opzichte van de `x` -as.

b

Horizontale asymptoot is `y=text(-)7` , `text(D)_(g)=ℝ` en `text(B)_(g)=(:text(-)7 , →〉`

c

`x≥5,16`

Opgave 18
a

Met `text(-)3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as en daarna de translatie van `5` ten opzichte van de `x` -as toepassen.

b

Het grondtal is tussen `0` en `1` wat wijst op een dalende grafiek. Maar in dit geval wordt er met een negatief getal vermenigvuldigt. Dit zorgt ervoor dat de grafiek wordt gespiegeld in de horizontale as.

c

`y=5` en `text(B)_(f)=(:←, 5 〉` .

d

`(text(-)0,74 ; 0 )`

e

`x≤text(-)0,74`

Opgave
a

`x < 2`

b

`x < 1,5`

Opgave 19
a

`text(B)_(f)=(:text(-)2 , →〉`
`text(B)_(g)=(:2 , →〉`

b

`x≥text(-)0,58`

c

`p≤text(-)2`

d

`19 7/8`

e

Ongeveer `4,49`

verder | terug