Exponentiële functies > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 9Ureumgehalte
Ureumgehalte

De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beooreeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangteoond dat bij `1000` bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met `500` gram toeneemt. Om te voorkomen dat er te veel ureum in het water komt, moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van `2` gram ureum per cm3 water niet overschreden wordt. In een model gaan we er van uit dat dagelijks `1000` bezoekers een bad van `1000` m3 bezoeken. Voor verversing rekent men `30` liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat 's nachts `30` m3 ververst wordt (dus `3` % van het totaal). We beginnen de eerste dag met `0` gram ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er `500` gram ureum in het water. Na verversen is er dan aan het begin van de tweede dag `485` gram ureum over.

a

Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim `955` gram ureum in het water zit.

b

In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.

Het blijkt dat `30` liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van `30` liter wordt daarom `200` liter genomen.

c

Stel `U` is de hoeveelheid ureum aan het begin van een zekere dag. Toon aan dat de hoeveelheid ureum aan het begin van de daaropvolgende dag gelijk is aan `0,8 U+400` .

We starten in het model weer met `0` gram ureum aan het begin van de eerste dag. De hoeveelheid ureum in gram ( `U_n` ) aan het begin van de `n` de dag kan rechtstreeks berekend worden met de formule: `U_n=2000 -2500 *0,8^n`

d

Leg uit met behulp van deze formule dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm voldaan wordt.

e

In de loop van de dag kan de wettelijke norm wel worden overschreden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.

bron: examen wiskunde A havo 1989, tweede tijdvak

Opgave 10Sparen, sparen en sparen
Sparen, sparen en sparen

Nederland is een echt spaarland. Jaarlijks worden er miljarden euro's gestort op spaarrekeningen. Er zijn verschillende soorten spaarrekeningen. In deze opgave bekijken we er drie: de groeirekening, de depositorekening en de renteklimrekening. We storten op elk van de drie spaarrekeningen een bedrag van € 10000 dat voor een periode van `10` jaar op de spaarrekening blijft staan.

Groeirekening De groeirekening is de bekendste soort. Het rentepercentage op deze rekening is `3,5` % per jaar. Het is een 'rente op rente'-rekening: na een jaar wordt de rente bijgeschreven op de rekening, zodat het volgende jaar rente wordt berekend over een hoger bedrag `G` . Na elk jaar wordt het bedrag op de rekening dus hoger. Het bedrag `G` dat na `t` jaar op de groeirekening staat kun je bereken met de formule: `G=10000 *1,035^t` . Het bedrag op de groeirekening is na `10` jaar nog niet verdubbeld. Maar als je de rekening nog langer laat doorlopen, komt er een jaar dat het bedrag op de rekening voor het eerst twee keer zo hoog is. Het bedrag is zelfs nog hoger dan € 20000.

a

Bereken na hoeveel jaar dat is.

Depositorekening De depositorekening is een spaarrekening met een rentepercentage van `4,0` % per jaar. De rente over elk jaar is € 400. Dat bedrag wordt steeds bijgeschreven op een aparte betaalrekening. Op de betaalrekening krijg je geen rente, zodat het bedrag op de betaalrekening lineair toeneemt. De rente van `4,0` % lijkt gunstiger dan een rente van `3,5` %. Toch heb je na toen jaar bij de depositorekening in totaal minder rente gekregen dan bij de groeirekening. Een bank introduceert een nieuwe depositorekening die in tien jaar evenveel rente oplevert als de groeirekening.

b

Bereken het rentepercentage per jaar van die nieuwe depositorekening. Geef je antwoord in één decimaal.

Renteklimrekening De renteklimrekening is een soort depositorekening. Ook hier wordt jaarlijks de rente bijgeschreven op een aparte betaalrekening die geen rente oplevert. Bij de renteklimrekening wordt het rentepercentage elk jaar hoger. In deze tabel kun je aflezen welke bedragen er na `t` jaar sparen op de renteklimrekening `R` en op de betaalrekening `B` staan.

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000
B 0 300 615 950 1310 1700 2130 2615 3165 3775 4475

In de volgende volledige tabel staan de rentepercentages voor het `t` -de jaar.

t-de jaar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
rentepercentage 3,00 3,15 3,35 3,60 3,90 4,30
c

Bereken het rentepercentage voor het zevende jaar. Geef je antwoord in twee decimalen.

d

De renteklimrekening geeft in tien jaar € 4475 rente. Wat dit betreft is het de beste van de drie spaarrekeningen. De groeirekening is de op één na beste. Bereken het rentepercentage per jaar dat een groeirekening met hebben om in `10` jaar € 4475 rente te geven. Geef je antwoord in twee decimalen.

bron: examen wiskunde A havo 2004, tweede tijdvak

verder | terug