Logaritmische functies > Eigenschappen
123456Eigenschappen

Uitleg

Voor het saldo `S` op een spaarrekening `t` jaar na een eenmalige storting van € 4000,00 en een jaarlijkse rente van `5` % geldt: `S(t)=4000 *1,05^t` .
De tijd die nodig is om het saldo te verdubbelen vind je door `1,05^t = 2` op te lossen. De verdubbelingstijd bij een groeifactor van `1,05` is daarom `\ ^(1,05)log(2)` . Zo is de verdrievoudigingstijd te vinden uit `1,05^t = 3` . De verdrievoudigingstijd van het saldo is dus `\ ^(1,05)log(3)` .

De verzesvoudigingstijd van het saldo is `\ ^(1,05)log(6)` . Die verzesvoudigingstijd kun je ook vinden door de verdubbelingstijd en de verdrievoudigingstijd op te tellen. 
Dit levert op: `\ ^(1,05)log(6) = \ ^(1,05)log(2) + \ ^(1,05)log(3)`
ofwel: `\ ^(1,05)log(2) + \ ^(1,05)log(3) = \ ^(1,05)log(2*3)`

De verachtvoudigingstijd van het saldo is `\ ^(1,05)log(8)` . Die verachtvoudigingstijd kun je ook vinden door drie keer de verdubbelingstijd te nemen.
Dit levert op: `\ ^(1,05)log(8) = 3 * \ ^(1,05)log(2)`
ofwel: `3 * \ ^(1,05)log(2) = \ ^(1,05)log(2^3)`

Op deze wijze kun je enkele eigenschappen van logaritmen aannemelijk maken.

Opgave 1

Je hebt een saldo `S` op een spaarrekening met een jaarlijkse rente van `5` %. Op `t=0` is het saldo € 4000,00.

a

Hoelang duurt het voordat het saldo twee keer zo groot (dus € 8000,00) geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme, maar ook afgerond op één decimaal.

b

Hoelang duurt het voordat het saldo drie keer zo groot geworden is?  Schrijf het antwoord als logaritme, maar ook afgerond op één decimaal.

c

Hoelang duurt het voordat het saldo zes keer zo groot geworden is?  Schrijf het antwoord als logaritme, maar ook afgerond op één decimaal.

d

Het antwoord bij a kun je krijgen door het antwoord bij b van dat bij c af te trekken. Controleer dit en geef een verklaring.

e

Bij d heb je een voorbeeld van een eigenschap van logaritmen.
Om welke eigenschap gaat het hier?

Opgave 2

Bij exponentiële afname komt het begrip halveringstijd voor.

a

Geef een omschrijving van het begrip halveringstijd. Maak hierbij gebruik van een logaritme.

b

Bereken in maanden nauwkeurig de halveringstijd wanneer een hoeveelheid jaarlijks met `7` % afneemt.

c

De radioactieve stof strontium heeft een halveringstijd van `28` jaar. Bereken de groeifactor per jaar. Rond af op drie decimalen.

verder | terug