Logaritmische functies > Eigenschappen
123456Eigenschappen

Theorie

Definitie logaritme: `g^x=y` is gelijkwaardig met `x=\ ^(g) log(y)` , als `0 < g < 1` of `g>1` en als `y>0` .

Definitieformules: Uit de definitie van logaritme volgt: `\ ^(g) log(g^x)=x` en `g^ (\ ^(g) log(y)) =y` .

Eigenschappen van logaritmen: Als `0 < g < 1` of `g>1` en als `a>0` en `b>0` geldt:

  • `\ ^(g) log(a)+\ ^(g) log(b)=\ ^(g) log(a*b)`

  • `\ ^(g) log(a)-\ ^(g) log(b)=\ ^(g) log(a/b)`

  • `p*\ ^(g) log(a)=\ ^(g) log(a^p)`

> bewijs

De eigenschappen van logaritmen bewijs je vanuit de definitieformules (die volgen meteen uit de definitie van logaritme). Steeds geldt `0 < g < 1` of `g>1` en ook `a>0` en `b>0` .

Je gaat uit van de bekende eigenschappen van machten.
Bijvoorbeeld: `g^r*g^s=g^ (r+s)` . Neem je hierin `r=\ ^(g) log(a)` en `s=\ ^(g) log(b)` , dan vind je: `g^ (\ ^(g) log(a)+\ ^(g) log(b)) =g^ (\ ^(g) log(a)) *g^ (\ ^(g) log(b)) =a*b`
Hierbij gebruik je de definitieformules. Neem ten slotte links en rechts van de vergelijking de `g` -logaritme en je vindt: `\ ^(g) log(a)+\ ^(g) log(b)=\ ^(g) log(a*b)`

Op vergelijkbare wijze bewijs je: `p*\ ^(g) log(a)=\ ^(g) log(a^p)` . En de derde eigenschap volgt door de andere twee te combineren (met `p=text(-)1` ).

Verandering van grondtal: Om met steeds hetzelfde grondtal te kunnen werken (de log-toets van je rekenmachine gebruikt altijd grondtal `10` ), moet je van grondtal kunnen veranderen. Uit de eigenschappen van logaritmen kun je afleiden: `\ ^(g) log(a)=(\ ^(p)log(a))/(\ ^(p)log(g))` .
Dit geldt voor elk bruikbaar grondtal `p` , dus ook voor grondtal `10` . Zo kun je logaritmen met je rekenmachine berekenen en/of als functie invoeren; het grondtal `10` laat je vaak weg: `\ ^(g) log(a)=(log(a))/(log(g))` .
Merk op dat nieuwere rekenmachines soms de mogelijkheid hebben om het grondtal van de logaritme zelf te kiezen. Vaak moet je dan de Amerikaanse notatie `log_(g) (x)` gebruiken. Je ziet dat daarin het grondtal een andere plaats krijgt.

verder | terug