Logaritmische functies > Logaritmische schaal
123456Logaritmische schaal

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De schaalverdeling op de verticale as loopt niet gelijkmatig op: tussen `1` en `10` zit evenveel afstand als tussen `10` en `100` .

b

Doen, je moet een rechte lijn krijgen.

Opgave 1
a

Nee, op de verticale as zit tussen twee opeenvolgende streepjes steeds een factor `10` . De stappen worden dus steeds groter: van `1` naar `10` is een kleinere afstand dan van `10` naar `100` .

b

`B(5)=6*2^5=6*32=192` , dus tussen `100` en `1000` .
De juiste plek vind je door de logaritme te berekenen: `log(192)~~2,28` .
Op vergelijkbare manier is `B(10)=6*2^(10)=6144` en `log(6144)~~3,79` .

c
`t` `0` `1` `2` `3` `4` `5` `...` `15`
`log(B)` `0,78` `1,08` `1,38` `1,68` `1,98` `2,28` `...` `5,29`
d

Zie figuur in de uitleg.

e

`log(B)=log(6 *2^t)=log(6 )+log(2^t)=log(6 )+t*log(2 )`
De grafiek wordt een rechte lijn door `(0 , log(6 ))` en met richtingscoëfficiënt `log(2 )` .

Opgave 2
a
`x` `0` `1` `2` `3` `4` `5` `...` `15`
`log(y)` `0,30` `0,78` `1,26` `1,73` `2,21` `2,69` `...` `7,46`

De grafiek wordt een rechte lijn.

b

Op de verticale as krijg je van beneden naar boven de waarden `10^0=1` , `10^1=10` , `10^2=100` , `10^3=1000` enzovoort.

c

Aflezen: `f(10 )≈120000`
GR: `f(10 )=118098`

d

`log(y)=log(2 *3^x)=log(2 )+x*log(3 )`

Opgave 3
a

Zie de figuur.
`log(20)=1,30` . Dus `20~~10^(1,30)` . Je plaatst `20` dus op `1,30` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^1` en `10^2` .

`log(20000)=4,30` . Dus `20000~~10^(4,3)` . Je plaatst `20000` dus op `4,3` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^4` en `10^5` .

`log(0,02)=text(-)1,69` . Dus `0,02~~10^(text(-)1,69)` . Je plaatst `0,02` dus op `1,69` eenheden onder `10^0` , dat is tussen `10^(text(-)2)` en `10^(text(-)1)` .

b

Zie de figuur bij a.
`log(1,80)=0,255` . Dus `1,8~~10^(0,225)` .
Je plaatst `1,80` dus op `0,255` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^0` en `10^1` .

c

Zie de figuur bij a.
`log(8884)=3,95` . Dus `8884~~10^(3,95)` .
Je plaatst `8884` dus op `3,95` eenheden boven `10^0` , dat is tussen `10^3` en `10^4` .

d

Zie de figuur bij a.
`0,003` mm `=0,000003` m en `0,8` mm `=0,0008` m.

`log(0,000003)=text(-)5,52` . Dus `0,00003~~10^(text(-)5,52)` .
Je plaatst `0,000003` dus op `5,52` eenheden onder `10^0` , dat is halverwege tussen `10^(text(-)5)` en `10^(text(-)6)` .

`log(0,0008)=text(-)3,097` . Dus `0,0008~~10^(text(-)3,097)` .
Je plaatst `0,0008` dus op `3,097` eenheden onder `10^0` , dat is net iets onder `10^(text(-)3)` .

e

`a=10^(3,5)≈3162`

Opgave 4
a

Je krijgt een dalende rechte lijn door `(0, 12000) ~~ (0, 10^(4,08))` en `~~(10, 1288) ~~(10, 10^(3,11))` .

b

`log(N)=log(12000 *0,8^t)=log(12000) + log (0,8^t) =log(12000 )+t*log(0,8 )`

Opgave 5
a

`log(y)=log(b*g^x)=log(b)+x*log(g)` . Omdat `log(b)` en `log(g)` constanten zijn, is dit een lineair verband tussen `log(y)` en `x` . Op enkellogaritmisch papier zet je `log(y)` uit tegen `x` , dus wordt dit een rechte lijn.

b

Omgekeerd: `log(y)=a*x+b` geeft `y=10^ (ax+b) =10^ (ax) *10^b=10^b* (10^a) ^x=c*g^x` , waarbij `c=10^b` en `g=10^a` constanten zijn.

Opgave 6
a

`A(2 )≈120`
`A(10 )≈1800`

b

`A(t)=b*g^t`
`A(2 )≈120 =b*g^2`
`A(10 )≈1800 =b*g^10`

Hieruit volgt: `g^8≈1800/120` en `g≈(1800/120)^(1/8) ≈1,40` ; en `b=120/(1,40)^2~~61` .

`b` en `g` invullen geeft `A(t)=61*1,40^t` .

c

Omdat je dan meteen kunt aflezen welke waarde `b` heeft.

Opgave 7
a

`(0 , 10^0)=(0,1)`

b

Lees de punten `(text(-)4 , 1000 )` en `(5 ; 0,01 )` af.
`N(text(-)4 )=b*g^(text(-)4)=1000`
`N(5 )=b*g^5=0,01`

Hieruit volgt: `g^9=(0,01)/1000=0,00001` , zodat `g=0,00001^ (1 /9) ≈0,28` .
Vervolgens invullen: `0,01=b*0,28^5` , dus `b=(0,01)/(0,28^5)~~6` . Dus `N(t)≈6 *0,28^t` .

c

`N(t)=1` geeft `N(t)=6*0,28^t=1` .
`0,28^t~~0,167`
`t≈\ ^(0,28)log(0,167 )≈1,40`

Het snijpunt wordt ongeveer `(1,40 ; 1 )` .

d

`N(t)≈6 *0,28^t` is altijd positief, welke waarde je ook voor `t` invult.

Opgave 8
a

`20 *log(p/(0,00002)) = 35` geeft `p = 0,00002 * 10^(35/20)` .

Afgerond `0,0011` Pa.

b

55 dB:
`55 =20 *log(p/(0,00002))` geeft `p=0,00002 *10^ (55 /20) ≈0,0112` Pa.

95 dB:
`95 =20 *log(p/(0,00002))` geeft `p=0,00002 *10^ (95 /20) ≈1,1247` Pa.

Dat is samen `1,1359` Pa en dat is `20 *log((1,1359)/(0,00002))≈95,1` dB, dus nauwelijks meer dan de drilboor alleen.

c

110 dB:
`110 =20 *log(p/(0,00002))` geeft `p=0,00002 *10^ (110 /20) ≈6,3246` Pa.

130 dB:
`130 =20 *log(p/(0,00002))` geeft `p=0,00002 *10^ (130 /20) ≈63,2456` Pa.

Dus tien keer zo groot.

Opgave 9
a

`A(t)=80000 *1,06^t`

b

`A(15 )≈191725`

Opgave 10
a

Voor `V(t)=b*g^t` geldt:

`V(0 )=b*g^0=3`
`V(6 )=b*g^6=7`

Dit levert: `b=3` en `g^6=7/3=2 1/3` , zodat `g=(2 1/3)^(1/6)≈1,15` .
Een passende formule is dan `V(t)≈3 *1,15^t` .

b

Los op: `V(t) = 3*1,15^t = 5` .

`t = \ ^(1,15)log(5/3) ~~3,65` .

c

Los op: `V(t)=3*1,15^t=1` .

`t = \ ^(1,15)log(1/3) ~~text(-)7,86`

Opgave 11

Het getal `a` ligt ongeveer op `7/10` deel van de afstand tussen `10^2` en `10^3` .

Dus `a ~~ 10^(2,7)~~501` .

Opgave 12
a

Bereken bijvoorbeeld `log(50)~~1,70` . Zo kun je de gegeven tabel omzetten naar een tabel waarin `log(N)` wordt uitgezet tegen `t` .

`t` (uur) `0` `1` `2` `3` `4` `5` `6`
`log(N)` `1,70` `1,92` `2,15` `2,37` `2,60` `2,83` `3,05`
b
c

Ja, je krijgt ongeveer een rechte lijn door `(0 ; 1,70 )` en `(4 ; 2,60 )` .

d

Omdat de grafiek van `log(N(t))` bij benadering een rechte lijn is, is `N(t)` bij benadering een exponentiële functie.

e

De grafiek gaat door de punten `(0; 1,7)` en `(4; 2,6)` . Tussen deze twee punten bestaat een lineair verband van de vorm `y=ax+b` . Dat is hier dus `y=0,225x+1,7` . Vertaald naar het verband tussen `log(N)` en `t` wordt dit `log(N)≈1,70 +0,225 t` .

f

`N(t)≈10^ (1,70 +0,225 t) =10^(1,70)* (10^(0,225)) ^t≈50 *1,68^t`

Opgave 13
a

`P=100*0,94^u`

b

Los de vergelijking `100*0,94^u=10` op.

`u~~37` uur

c

`u=\ ^(0,94) log(P/100)`

Opgave 14Windsnelheid
Windsnelheid

De lijn gaat door de punten `(log(h), w) =(0, 2)` en `(log(h), w)=(2, 8)` .

De helling is dan `a=(8-2)/(2-0)=3` .

Invullen van `(2, 8)` levert je de waarde van `b` : `8=3*log(100)+b` . Dus `b=2` .

Het startgetal is dan gelijk aan `2` .

Opgave 15Pasfrequentie afhankelijk van lichaamsmassa
Pasfrequentie afhankelijk van lichaamsmassa
a

`log(m)≈0,1` en `log(P)≈2,4` .

b

Het is een rechte lijn, dus is de formule van de vorm `log(P)=a*log(m)+b` , door `(0,1 ; 2,4 )` en `(2,9 ; 2,0 )` .
Invullen in `log(P)=a*log(m)+b` geeft `2,4=0,1a+b` en `2,0=2,9a+b` . Dit geeft `a=(text(-)0,4)/(2,8)≈text(-)0,14` en `b≈2,41` , dus `log(P)≈text(-)0,14 *log(m)+2,41` .

c

Ga uit van `log(P)≈text(-)0,14 *log(m)+2,41` en schrijf beide zijden als macht van `10` .

`P≈10^ (text(-)0,14 *log(m)+2,41) = (10^ (log(m) )) ^(text(-)0,14)*10^(2,41)≈m^(text(-)0,14)*257`

Opgave 16
a

`10^(1,1)≈12,59`

b

Zie figuur bij d.

c

Zie figuur bij d.

d
Opgave 17
a

Bekijk de figuur.

b
c

Er is sprake van exponentiële groei.

d

`N(t)=40 *1,495^t` met `t` in weken.

verder | terug