Logaritmische functies > Logaritmische functies
123456Logaritmische functies

Uitleg

Je ziet de grafiek van `y=g^x` . Uit de definitie van de logaritme volgt dan voor elk punt op de grafiek dat `x=\ ^(g) log(y)` . Verwissel je hierin `x` en `y` , dan krijg je `y=\ ^(g) log(x)` . Deze logaritmische functie ontstaat dus door vanuit een exponentiële functie terug te rekenen (de inverse bewerking uit te voeren) en vervolgens `x` en `y` te verwisselen.

Verwissel je in een punt `x` en `y` , dan spiegel je dat punt in de lijn `y=x` . Bij elk punt `P` op de grafiek van `y=g^x` hoort een punt `P'` , dat ontstaat door in `P` de `x` en `y` te verwisselen, op de grafiek van `y=\ ^(g) log(x)` . De grafiek van `y=\ ^(g) log(x)` is dus het spiegelbeeld in de lijn `y=x` van de grafiek van `y=g^x` .

Dit werkt voor alle positieve grondtallen `g` , mits `g != 1` . De karakteristieken van een logaritmische functie zijn daarom af te leiden uit die van een exponentiële functie (met hetzelfde grondtal) door `x` en `y` te verwisselen. Beide functies zijn elkaars inverse functie.

Opgave 1

Er bestaat een verband tussen de grafieken van bijvoorbeeld `y_1 = 2^x` en `y_2 = \ ^2log(x)` .

a

Maak beide grafieken op de grafische rekenmachine.

b

Het punt `(4 , 2)` ligt op de grafiek van `y_2` . Welk punt op de grafiek van `y_1` is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn `y=x` ?

c

Noem nog twee punten op de grafiek van `y_2` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `y_1` .

d

Welk verband bestaat er tussen het bereik van `y_1` en het domein van `y_2` ?

Opgave 2

Er bestaat een verband tussen de grafieken van bijvoorbeeld `y_1 = 0,5^x` en `y_2 = \ ^(0,5)log(x)` .

a

Plot beide grafieken op de grafische rekenmachine.

b

Het punt `(4 , 1/16 )` ligt op de grafiek van `y_2` . Welk punt op de grafiek van `y_1` is het spiegelbeeld van dit punt bij spiegeling in de lijn `y=x` ?

c

Noem nog twee punten op de grafiek van `y_2` en het bijbehorende spiegelbeeld op de grafiek van `y_1` .

d

Welk verband bestaat er tussen het bereik van `y_1` en het domein van `y_2` ?

e

Er geldt `lim_(x rarr oo) 0,5^x = 0` . Licht toe dat hieruit volgt `lim_(x darr 0) \ ^(0,5)log(x) = oo` .

verder | terug