`x^4 = x^3` geeft `x^3(x-1) = 0` , dus `x=0 vv x=1` .

`x^4 > x^3` als `x < 0 vv x > 1` .

`x^4 = x^2` geeft `x^2(x^2-1) = 0` , dus als `x=text(-)1 ∨ x=0 ∨ x=1` .

`x^4 > x^2` als `x < text(-)1 vv x > 1` .

`x^4 = x` geeft `x(x^3-1) = 0` , dus `x=0 ∨ x=1` .

`x^4 > x` als `x < 0 vv x > 1` .

	`x < text(-)1`	`text(-)1 < x < 0`	`0 < x < 1`	`x>1`
`p < q`	`f(x)>g(x)`	`f(x)>g(x)`	`f(x)>g(x)`	`f(x) < g(x)`
`p>q`	`f(x)>g(x)`	`f(x)>g(x)`	`f(x) < g(x)`	`f(x)>g(x)`

Kies bijvoorbeeld `[text(-)2, 2]xx[text(-)2, 14]` als vensterinstelling.

`x^6 = 10` geeft `x = root(6)(10) vv x = text(-)root(6)(10)` dus `x ≈ text(-)1,47 ∨ x ~~ 1,47` .

`x^6 < 10` geeft `text(-)1,47 < x < 1,47` .

`x^5=10` geeft `x = root(5)(10) ≈ 1,58` .

`x^5 < 10` geeft `x < 1,58` .

Horizontale asymptoot `y=0` want `lim_(x rarr +-oo) 1/(x) = 0` en `lim_(x rarr +-oo) 1/(x^2) = 0` .

Verticale asymptoot `x=0` want `lim_(x darr 0) 1/(x) = oo` en `lim_(x darr 0) 1/(x^2) = oo` , terwijl `lim_(x uarr 0) 1/(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr 0) 1/(x^2) = oo` .

Als `1/x = 1/(x^2)` dan moet `x = x^2` en `x ≠ 0` , dus `x = 1` .

Grafieken tekenen geeft `1/x < 1/(x^2)` als `x < 0 ∨ 0 < x < 1` .

`x^(text(-)1) = 0,005` geeft `x = 0,005^(text(-)1) = 200` .

`x^(text(-)2) = 0,005` geeft `x = +-(0,005)^(text(-)1/2)` en dus `x ≈ 14,14 ∨ x ≈ text(-)14,14` .

`x^(text(-)1) = 5000` geeft `x = 5000^(text(-)1) = 0,0002` .

`x^(text(-)2) = 5000` geeft `x= +-(5000)^(text(-)1/2)` en dus `x ≈ 0,01414 ∨ x ≈ text(-)0,01414` .

`x < 0 ∨ x > 200`

`0 < x < 0,0002`

`x < text(-)14,14 ∨ x > 14,14`

`text(-)0,01414 < x < 0 ∨ 0 < x < 0,01414`

`x^(text(-)1/2) = x^(1/2)` geeft `1/(sqrt(x)) = sqrt(x)` en dus `x=1` .

Grafiek: `x gt 1` .

`x^(1/3) = x^(1/2)` geeft `root[3](x) = sqrt(x)` en dus `x^2 = x^3` .

Dit levert op `x^3-x^2 = x^2(x-1) = 0` en dus `x=0 vv x=1` .

Grafiek: `x gt 1` .

`x^(1/3) = x^(text(-)1/3)` geeft `root[3](x) = 1/(root[3](x))` en `root[3](x^2)=1` .

Dus `x^2 = 1` en `x = +-1` .

Grafiek: `0 < x < 1 vv x < text(-)1` .

Voer bijvoorbeeld in Y5=X^(1/4) om je schets te controleren of gebruik de applet.

`x^(1/4) = 4` geeft `x = 4^4 = 256` .

Grafiek: `x gt 256` .

`text(-)20x^(5/4) = text(-)7` geeft `x^(5/4) = 7/20` en `x = (7/20)^(5/4) ~~ 0,43` .

Omdat `(a^(5/4))^(4/5) =a^1=a` heft een macht met exponent `4/5` een macht met exponent `5/4` als het ware op.

`text(-)180 x^(7/6) = text(-)30` geeft `x^(7/6) = 30/180 = 1/6` en `x = (1/6)^(6/7) ~~ 0,22` .

Grafiek: `0 le x lt 0,22` .

Eerst translatie met `1` eenheid ten opzichte van de `y` -as.

Daarna met `text(-)1/3` vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as.

Tenslotte `text(-)5` eenheden ten opzichte van de `x` -as transleren.

`f(x) = text(-)1/3 (x-1)^3 - 5 = text(-)10` geeft `(x-1)^3 = 15` en dus `x = 1 + root[3](15)` .

Grafiek: `x < 1 + root[3](15 )` .

`x^2 = sqrt(x)` geeft `x^4 = x` en dus `x(x^3-1) = 0` zodat `x=0 vv x=1` .

Grafiek: `0 < x < 1` .

`1/(x^4)=81` geeft `x^4 = 1/81` en `x = text(-)1/3 ∨ x = 1/3` .

`1/(x^3) = 27` geeft `x^3 = 1/26` en dus `x = 1/3` .

Grafiek (let op de verticale asymptoot): `x gt 1/3 vv x lt 0` .

`5/(x^3) = 30` geeft `x^3 = 5/30 = 1/6` zodat `x = root[3](1/6)` .

Grafiek (met verticale asymptoot): `x < 0 ∨ x > root[3](1/6)` .

`x^5 = x^4` geeft `x^4(x-1) = 0` , dus `x=0 vv x=1` .

Grafiek: `x < 0 ∨ 0 < x < 1` .

`x^6 = x^4` geeft `x^4(x^2 - 1) = 0` , dus `x=0 vv x=+-1` .

Grafiek: `text(-)1 < x < 0 ∨ 0 < x < 1`

Verticale asymptoot `x=0` met `lim_(x darr 0) f(x) = oo` en `lim_(x uarr 0) f(x) = oo` .

Horizontale asymptoot `y=0` met `lim_(x rarr text(-)oo) f(x) = 0` en `lim_(x rarr oo) f(x) = 0` .

1. Een translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as.

2. Een vermenigvuldiging met `2` ten opzichte van de `x` -as.

3. Een translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `x` -as.

Verticale asymptoot `x=text(-)` met `lim_(x darr text(-)1) f(x) = oo` en `lim_(x uarr text(-)1) f(x) = oo` .

Horizontale asymptoot `y=text(-)4` met `lim_(x rarr text(-)oo) f(x) = text(-)4` en `lim_(x rarr oo) f(x) = text(-)4` .

`text(D)_(f) = 〈←, text(-)1 〉 ∪ 〈text(-)1 , →〉` en `text(B)_(f) = 〈text(-)4 , →〉` .

`2(x+1)^(text(-)2) - 4 = 10` geeft `1/((x+1)^2) = 14/2 = 7` zodat `x = +-sqrt(1/7) - 1` .

Grafiek: `x > sqrt(1/7) - 1 ∨ x < text(-)sqrt(1/7) - 1` .

`a=750 p^(text(-)1)`

Voer in: Y1=750/X.
Venster bijvoorbeeld: `[1, 5]xx[0, 750]` .

Als `p=2,50` , dan `a=300` en als `p=5,00` , dan `a=150` .

Bij verdubbeling van de prijs wordt de afzet gehalveerd.

`750/p = 550` geeft `p = 750/550 ~~ 1,36` .
`p~~1,36` dus € 1,36 per kg tomaten.

Bij € 0,01 hoort `a=75000` en bij € 100,00 hoort `a=7,5` .

Dit zijn weinig realistische situaties. Sowieso heeft het bedrijf maar `550` kg tomaten op voorraad. Dus er moet gelden dat `a le 550` . Dus voor € 0,01 en € 100,00 is de formule niet bruikbaar.

`0,50 le p le 5` zijn bijvoorbeeld wel bruikbare prijzen per kg voor de tomaten.

Er geldt `y = 24/x` , dus als `x` bijvoorbeeld twee keer zo groot wordt, wordt `y` twee keer zo klein.

`y = 24/x = 24 * x^(text(-)1)` , dus `y` is recht evenredig met `x^(text(-)1)` .

`0 lt x le 2,4` .

`f(x) = 3 * (x-1 )^(text(-)1/2) + 5`

`y`	`=`	`x^ (text(-)1/2)`	een translatie van `1` ten opzichte van de `y` -as
`y`	`=`	`(x-1)^(text(-)1/2)`	een vermenigvuldiging met `3` ten opzichte van de `x` -as
`y`	`=`	`3(x-1)^(text(-)1/2)`	een translatie van `5` ten opzichte van de `x` -as
`y`	`=`	`3(x-1)^(text(-)1/2)+5`

`text(D)_(f) = 〈1 , →〉` en `text(B)_(f) = 〈5 , →〉` .

`f(x) = 3/(sqrt(x-1)) + 5 = 10` geeft `sqrt(x-1) = 3/5` , zodat `x = (3/5)^2 + 1 = 1,36` .

Grafiek: `x ge 1,36` .

`y`	`=`	`x^(1/2)`	een translatie van `3` ten opzichte van de `y` -as
`y`	`=`	`(x-3)^(1/2)`	een vermenigvuldiging met `2` ten opzichte van de `x` -as
`y `	`=`	` 2(x-3)^(1/2)`	een translatie van `text(-)5` ten opzichte van de `x` -as
`y `	`=`	`2(x-3)^(1/2) - 5`

`text(D)_(f) = [3 , →〉` en `text(B)_(f) = [text(-)5 , →〉` .

`text(D)_(g) = [0 , →〉` en `text(B)_(g) = [0 , →〉` .

`f(x) = text(-)5 + 2sqrt(x-3) = 100` geeft `sqrt(x-3) = 52,5` en `x = 2759,25` .

Grafiek: `x ≥ 2759,25` .

`f(x) = 100(x-10)^(text(-)2) + 25` ontstaat uit `y=x^(text(-)2)` door de volgende transformaties:

`y`	`=`	` x^(text(-)2)`	translatie van `10` ten opzichte van de `y` -as
`y`	`=`	`(x-10)^(text(-)2)`	vermenigvuldiging met `100` ten opzichte van de `x` -as
`y`	`=`	`100(x-10)^(text(-)2)`	translatie van `25` ten opzichte van de `x` -as
`y`	`=`	`100(x-10)^(text(-)2)+25`

Verticale asymptoot `x=10` met `lim_(x darr 10) f(x) = oo` en `lim_(x uarr 10) f(x) = oo` .

Horizontale asymptoot `y=25` met `lim_(x rarr text(-)oo) f(x) = 25` en `lim_(x rarr oo) f(x) = 25` .

`text(D)_(f) = 〈←, 10 〉 ∪ 〈10 , →〉`
`text(B)_(f) = 〈25 , →〉`

`f(x) = 100/((x-10)^2) + 25 = 50` geeft `(x-10)^2 = 4` , zodat `x=8 vv x=12` .

Grafiek: `x ≤ 8 ∨ x ≥ 12` .

Als `c` een geheel even getal is.

Dat hangt er van af of `a` positief (minimum) of negatief (maximum) is.

`b` en `d` geven aan welke translaties op de top `(0, 0)` van `y = ax^c` zijn uitgevoerd. De top is `(b , d)` .

Deze machtsfunctie heeft de vorm `Z = c*m^p` , waarin `c` en `p` nog te berekenen zijn.

Je hebt daartoe genoeg aan de gegevens van twee diersoorten, bijvoorbeeld:

• Paard: `Z=85,4` en `m=605,0` geeft: `85,4 = c*605,0^p` .

• Muis: `Z=0,19` en `m=0,20` geeft: `0,19 = c*0,20^p` .

Met de balansmethode vind je dan: `(85,4)/(0,19) = (605,0^p)/(0,20^p)` en dus `449,47 ≈ 3025^p` . Zo'n exponentiële vergelijking los je met de GR of m.b.v. logaritmen op: `p ≈ 0,76` . En nu vind je door invullen ook `c ≈ 0,66 ~~ 0,7` . Het resultaat komt dicht bij de door Kleiber gevonden formule `Z = 0,7 *m^(0,75)` .

Rat: `Z = 0,75` en `m = 1,10` uit de tabel halen en invullen in `Z = c*m^p` geeft: `0,75 = c*1,10^p` .

Mens: `Z = 18,0` en `m = 76,1` uit de tabel halen en invullen geeft: `18,0 = c*76,1^p` .

Dit geeft: `24 ≈ 69,18^p` en dus `p ≈ 0,75` . Hieruit vind je `c ≈ 0,70` .

Je krijgt dus ongeveer dezelfde formule als Kleiber vond.

`Z = 0,7 *1000^(0,75) ≈ 124,5` L.

Ga uit van `P = c*G^p` .

`3,02 = c*1000^p` en `5,08 = c*2000^p` .

`(5,08)/(3,02) = 2^p`

Deze vergelijking kun je met behulp van de grafische rekenmachine oplossen. Je vindt `p~~0,75` .

`c ~~ (3,02)/1000^(0,75) ~~ 0,017`

Dus `P ~~ 0,017*G^(0,75))` .

`P ~~ 0,017*70000^(0,75) ~~ 73,16` joule/minuut.

Die wordt `2^(0,75)~~1,68` keer zo groot.

`text(D) = [0 , →〉` en `text(B) = [0 , →〉` .

Er is een minimum van `0` voor `x = 0` .

Er is geen asymptoot.

De oplossing is `0 le x le 625` .

`x = text(-)4 + root[4](255) ∨ x = text(-)4 - root[4](255)`

`4 le x lt 8` .

`0 le x lt 160000` .

`x gt text(-)1 + root[3](50)` .

`3 le x lt 59,25` .