`x = sqrt(20)` en `x = text(-)sqrt(20)` .
Geen (reële) oplossingen.
Alle reële getallen voldoen aan deze ongelijkheid.
Nee, er kunnen maximaal twee oplossingen zijn.
Dit is een goede oefening. Maak een overzicht in de vorm van een "mindmap" .
Een translatie van `4` ten opzichte van de `y` -as.
Een vermenigvuldiging met `1/2` ten opzichte van de `x` -as.
Een translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `x` -as.
`text(D)_(f) = ℝ`
`text(B)_(f) = [text(-)4 , →〉`
Er is sprake van een minimum van `text(-)4` , want het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt is positief.
`1/2(x-4)^2 - 4 = 100` geeft `(x-4)^2 = 208` en dus `x = 4 +- sqrt(208)` .
Grafiek: `4 - sqrt(208) < x < 4 + sqrt(208)` .
`f(x) = (x-2 )^2 + 1`
`g(x) = text(-)x^2 + 1`
`h(x) = a(x-1,5)^2 + 3`
en de grafiek van
`h`
gaat door het punt
`(4 , 0 )`
, dus
`a*2,5^2 + 3 = 0`
. Dat geeft
`a = text(-)0,48`
. Dus
`h(x) = text(-)0,48 (x-1,5)^2 + 3`
.
Een translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `y` -as.
Een vermenigvuldiging met `2` ten opzichte van de `x` -as.
Een translatie van `text(-)3` ten opzichte van de `x` -as.
`text(D)_(f) = ℝ`
`text(B)_(f) = [text(-)3 , →〉`
De uiterste waarde is het minimum `f(text(-)1) = text(-)3` .
`2(x+1)^2 - 3 = 100` geeft `(x+1)^2 = 51,5` en dus `x = text(-)1 +- sqrt(51,5)` .
Grafiek: `x le text(-)8,2 vv x ge 6,2` .
Als `a` positief is, dan is het een dalparabool en heeft de grafiek een minimum.
Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool en heeft de grafiek een maximum.
De `x` -coördinaat van de top is gelijk aan `p` , want de uitdrukking `a(x-p)^2` is minimaal of maximaal als `x = p` , en dit heeft dan als uitkomst `0` .
De `y` -coördinaat is dan gelijk aan `0 + q = q` .
De coördinaten van de top van
`f(x)=a(x-p)^2+q`
zijn gelijk aan
`(p, q)`
.
`x=p`
, want de top zit bij de
`x`
-waarde waarbij het kwadraat
`0`
wordt.
Bekijk de applet in het
`text(D)_(f) = ℝ`
Als
`a gt 0`
:
`text(B)_(f) = [q, →〉`
.
Als
`a lt 0`
:
`text(B)_(f) = 〈←, q]`
.
`x=10 ∨ x=text(-)10`
`x-4 = +-8` geeft `x=text(-)4 ∨ x=12` .
`(x+1 )^2 = 25` geeft `x=text(-)6 ∨ x=4` .
`3(x+2)^2 - 3 = 27` geeft `(x+2)^2 = 10` en dus `x = text(-)2 - sqrt(10) ∨x = text(-)2 + sqrt(10)` .
`2 x^2 - 7 = 0` geeft `x^2 = 3,5` en dus `x = sqrt(3,5) vv x = text(-)sqrt(3,5)` .
`(x-4)^2 = 10` geeft `x = 4 +- sqrt(10)` .
Grafiek: `4 - sqrt(10 ) < x < 4 + sqrt(10 )` .
`text(-)2(x+3)^2 + 10 = 4` geeft `(x+3)^2 = 3` en `x = text(-)3 +- sqrt(3)` .
Grafiek: `x < text(-)3 - sqrt(3 ) ∨ x > text(-)3 + sqrt(3 )` .
`3(x-5)^2 - 2 = 10` geeft `(x-5)^2 = 4` en `x = 5 +- 2` .
Grafiek: `x le 3 ∨ x ge 7` .
Ga uit van de standaard kwadratische functie: `f(x) = a(x-p)^2 + q` .
De punten `(text(-)2, 0)` en `(4, 0)` liggen op gelijke hoogte, dus de symmetrieas is `x=1` .
Dit is dus ook de `x` -coördinaat van de top.
De top `(1 , q)` invullen geeft: `f(x) = a(x-1)^2 + q` .
`(0 , 2 )` invullen geeft `a(0-1)^2 + q = 2` en dus `a + q = 2` .
`(4 , 0 )` invullen geeft `a(4-1)^2 + q = 0` en dus `9a + q = 0` .
Los dit stelsel op en dan volgt `8a = text(-)2` en dus `a=text(-)0,25` .
Daaruit volgt `q=2,25` .
Het gevraagde voorschrift is `f(x) = text(-)0,25(x-1)^2 + 2,25` .
`y` | `=` | `x^2` |
translatie van
`text(-)8`
t.o.v. de
`y`
-as
|
`y` | `=` | `(x+8)^2` |
vermenigvuldiging met
`2`
t.o.v. de
`2`
-as
|
`y` | `=` | `2(x+8)^2` |
translatie van
`text(-)8`
t.o.v. de
`x`
-as
|
`f(x)` | `=` | `2(x+8)^2 - 8` |
Als je de laatste twee stappen verwisselt, krijg je `h(x) = 2((x+8)^2 - 8) = 2(x+8)^2 - 16` .
Het veranderen van de volgorde heeft invloed op het nieuwe functievoorschrift.
Het maximum is `f(text(-)4) = 5` .
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = text(-)5`
geeft
`(x+4)^2 = 5`
en
`x = text(-)4 +- sqrt(5)`
.
Dus:
`x = text(-)4 - sqrt(5) vv x = text(-)4 + sqrt(5)`
.
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = 5` geeft `(x+4)^2 = 0` en dus `x = text(-)4` .
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = text(-)10` geeft `(x+4)^2 = 7,5` en dus `x = text(-)4 - sqrt(7,5) vv x = text(-)4 + sqrt(7,5)` .
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = text(-)3` geeft `(x+4)^2 = 4` en dus `x = text(-)6 vv x = text(-)2` .
Grafiek: `text(-)6 < x < text(-)2` .
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = 0` geeft `(x+4)^2 = 2,5` en dus `x = text(-)4 +- sqrt(2,5)` .
Grafiek: `x < text(-)4 - sqrt(2,5) ∨ x > text(-)4 + sqrt(2,5)` .
`text(-)2 (x+4)^2 + 5 = 20` geeft `(x+4)^2 = text(-)7,5` en dit kan voor geen enkele reële waarde van `x` .
Grafiek: `f(x) lt 20` voor elke waarde van `x` .
Bereken eerst de coördinaten van de top.
De symmetrieas is `x=text(-)2` en de top is dan `(text(-)2, 10)` .
Aangezien `a < 0` geldt dat de grafiek van deze functie een bergparabool is. Daarom is de grafiek dus aan de linkerkant van de top stijgend.
Dus stijgend als `x lt text(-)2` en dalend als `x gt text(-)2` .
Nee, in de top is de functie niet stijgend en niet dalend.
`text(-)3(x+2)^2 + 10 = 0` geeft `(x+2)^2 = 10/3` en dus `x = text(-)2 - sqrt(10/3) vv x = text(-)2 + sqrt(10/3)` .
`5(x-1)^2 - 9 = 4` geeft `(x-1)^2 = 2,6` en `x = 1 +- sqrt(2,6)` .
Grafiek: `x < 1 - sqrt(2,6) ∨ x > 1 + sqrt(2,6)` .
`5 - x^2 = text(-)21` geeft `x^2 = 26` en `x = +-sqrt(26)` .
Grafiek: `text(-)sqrt(26) < x < sqrt(26)` .
`3(x-1)^2 = 40` geeft `(x-1)^2 = 40/3` en `x = 1+-sqrt(40/3)` .
Grafiek: `1 - sqrt(40/3) < x < 1 + sqrt(40/3)` .
`text(-)4(x+80)^2 - 40 = text(-)100` geeft `(x+80)^2 = 15` en `x = text(-)80 +- sqrt(15)` .
Grafiek: `x < text(-)80 - sqrt(15) vv x > text(-)80 + sqrt(15)` .
Het is een bergparabool met maximum `c` voor `x=5` .
De grafiek van functie `g(x) = text(-)1/4 (x-5)^2` is een bergparabool met de top op de `x` -as. Om twee snijpunten te krijgen, moet `c gt 0` zijn; dan ligt de top boven de `x` -as.
Als
`c=1`
dan is er precies
`1`
snijpunt.
Bij
`c gt 1`
zijn er twee snijpunten en als
`c lt 1`
helemaal geen.
Top `(5 , c)` op `y = 2x - 1` geeft: `c = 5 *2 - 1 = 9` .
Het bijpassende functievoorschrift is
`f(x) = a(x - 4)^2 + b`
.
`f(0)=10`
geeft
`16a + b = 10`
.
`f(2)=5`
geeft
`4a + b = 5`
.
Dit betekent:
`a = 5/12`
en
`b = 3 1/3`
.
Dus:
`f(x) = 5/12(x-4)^2 + 3 1/3`
.
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.
Ga uit van `h = a (x-10)^2 + 1,5` .
Vul het punt `(0; 0,5)` in en bereken `a` uit `a(text(-)10)^2 + 1,5 = 0,05` .
Je vindt `a=text(-)0,01` .
`text(-)0,01 (x-10)^2 + 1,5 ` | `=` | `0` | |
`(x-10 ) ^2` | `=` | `150` | |
`x` | `=` | `10 ±sqrt(150 )` |
Omdat `10 +sqrt(150 ) < 24` is de bal in.
Top `(5 , 4)` geeft: `h(x) = a (x-5)^2 + 4` .
Grafiek door `(0 ; 2,5)` , invullen van dit punt geeft: `25a + 4 = 2,5` en dus `a = text(-)0,06` .
Conclusie: `h(x) = text(-)0,06 (x-5)^2 + 4` .
`text(-)0,06 (x-5)^2 + 4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x ~~ 1,02 vv x~~8,98` .
Omdat je weet dat het een driepunter is, vervalt de eerste oplossing. De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.
Bergparabool met top `(0 , text(-)2)` .
Dalparabool met top `(4 , 8)` .
Bergparabool met top `(text(-)5 , 0)` .
`x=4 ∨ x=6`
`x=5`
`x=text(-)5 ∨x=text(-)3` .
`x lt text(-)2 - sqrt(5) ∨ x gt text(-)2 + sqrt(5)` .
`x < text(-)4 - sqrt(3 )∨ x > text(-)4 + sqrt(3 )` .
`text(-)4 - sqrt(2) < x < text(-)4 + sqrt(2)` .
`f(x) = 0,15 (x-15 )^2 - 3,75`