`g(x) = 2 (x+1)^2 + 7 = 2 x^2 + 4x + 9`
De grafieken (of tabellen) van beide functievoorschriften vergelijken.
Dalparabool als `a > 0` , bergparabool als `a < 0` .
Aflezen uit `g(x) = 2 (x+1)^2 + 7` . De top is `(text(-)1 , 7)` .
Herleid `f` naar `f(x) = (x+3)^2 - 17` .
De nulpunten en de top kun je zo makkelijk achterhalen:
`(x+3)^2 - 17 = 0` geeft `x = +-sqrt(17) - 3` .
De top is `(text(-)3, text(-)17)` .
`f(x) = x^2 - 6x + 1 = (x-3)^2 - 9 + 1 = (x-3)^2 - 8`
`(3 , text(-)8)`
`(x-3)^2 - 8 =0` geeft `(x-3)^2 = 8 ` en `x = 3 +- sqrt(8)` , zodat `x~~0,17 vv x~~5,83` .
`f(x) = x^2 + 12x = (x+6)^2 - 36`
`g(x) = x^2 - 8x + 15 = (x-4)^2 - 16 + 15 = (x-4)^2 - 1`
`h(x) = 2x^2 - 12x - 12 = 2 (x^2 - 6x - 6) = 2((x-3)^2 - 15) = 2(x-3)^2 - 30`
`k(x) = text(-)x^2 + 4x + 3 = text(-)(x^2 - 4x - 3) = text(-)((x-2)^2 - 7) = text(-)(x-2)^2 + 7`
`3x^2 + 17x = 45`
wordt
`3x^2 + 17x - 45 = 0`
`a=3`
,
`b=17`
en
`c=text(-)45`
abc-formule:
`x = (text(-)17 +sqrt(17^2-4*3*text(-)45))/(2*3) vv x = (text(-)17 - sqrt(17^2-4*3*text(-)45))/(2*3)`
.
Dit geeft
`x~~1,97 vv x~~text(-)7,63`
.
Je vindt nu
`x = (6 + sqrt(32))/2 ∨ x = (6 - sqrt(32))/2`
.
Ga na, dat dit hetzelfde is als
`x = 3 + sqrt(8) ∨ x = 3 - sqrt(8)`
.
`3x^2 + 17x` | `=` | `45` | |
`x^2 + 17/3 x` | `=` | `15` | |
`(x+17/6)^2 - (17/6)^2` | `=` | `15` | |
`x` | `=` | `text(-)17/6 - sqrt((17/6)^2+15) vv x = text(-)17/6 + sqrt((17/6)^2+15)` |
`ax^2 + bx + c` |
`=` |
`0` |
|
`x^2 + b/a x + c/a` |
`=` |
`0` |
|
`(x+b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a` |
`=` |
`0` |
|
`(x+b/(2a))^2` |
`=` |
`(b/(2a))^2 - c/a = (b^2-4ac)/(4 a^2)` |
|
`x + b/(2 a)` |
`=` |
`text(-)sqrt((b^2-4ac)/(4a^2)) vv x + b/(2a) = sqrt((b^2-4ac)/(4a^2))` |
|
`x` |
`=` |
`text(-) b/(2a) - sqrt((b^2-4ac)/(4a^2)) vv x = text(-) b/(2a) + sqrt((b^2-4ac)/(4 a^2) )` |
|
`x` |
`=` |
`(text(-)b - sqrt(b^2-4ac))/(2a) vv x = (text(-)b + sqrt(b^2-4ac))/(2a)` |
`x^2 - 12x = 30` geeft `(x-6)^2 = 66` en `x = 6 - sqrt(66) vv x = 6 + sqrt(66)` .
Herleid eerst op `0` .
Je hebt dan `x^2 - 12x - 30=0` .
Gebruik `a=1` , `b=text(-)12` en `c=text(-)30` .
De discriminant is `D = (text(-)12)^2 - 4*1*(text(-)30) = 264` .
Met de abc-formule vind je `x = (12 ± sqrt(264))/2` .
Ga zelf na dat dit hetzelfde is als bij a.
Voer in: Y1=X^2-12X en Y2=30.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 20]xx[text(-)50, 50]`
.
Grafiek: `6 - sqrt(66) le x le 6+sqrt(66)` .
`3x^2 + 5x - 8 = 0` geeft `x = (text(-)5 ± sqrt(121))/6` en `x = text(-)2 2/3 ∨ x = 1` .
Voer in: Y1=3X^2+6x en Y2=X+8 en bepaal de snijpunten van de grafieken.
Uit de grafiek lees je de oplossing af:
`text(-)2 2/3 < x < 1`
.
abc-formule: `x = (1 - sqrt(13))/2 vv x = (1 + sqrt(13))/2` .
abc-formule: `D = text(-)199 < 0` dus geen oplossingen.
`2x^2 - 12x + 16 = 0`
geeft
`2(x-2)(x-4)=0`
en
`x=2 vv x=4`
.
Grafiek:
`2 < x < 4`
.
abc-formule: `D < 0` dus geen oplossingen.
`x^2 - 7 x - 8 = 0`
geeft
`(x-8)(x+1) = 0`
en
`x=8 vv x=text(-)1`
.
Grafiek:
`x < text(-)1 vv x > 8`
.
`f(x) = 2 x^2 - 6x + 2 = 2 (x-1,5)^2 - 2,5`
Top `(1,5 ; text(-)2,5 )` .
`2x^2 - 6x + 2` | `=` | `0` | |
`2(x-1,5)^2 - 2,5` | `=` | `0` | |
`(x-1,5)^2` | `=` | `1,25` | |
`x` | `=` | `1,5 - sqrt(1,25) vv x = 1,5 + sqrt(1,25)` | |
`x` | `~~` | `0,38 vv x ~~ 2,62` |
`a=2, b=6` en `c=2` .
`D = (text(-)6)^2 - 4*2*2 = 20`
Ja, dat kun je zien. Je hebt dan `2x^2 - 6x + 2 = 0` en hiervan had je bij b al de discriminant berekend. `D>0` , dus twee nulpunten.
`2x^2-6x+2=0` geeft `x = (6-sqrt(20))/4 vv x = (6+sqrt(20))/4` .
Pas de wortelvormen nog aan en je vindt hetzelfde antwoord als bij a.
Je kunt ook de oplossingen benaderen met de grafische rekenmachine en controleren of jouw antwoorden bij a en c hetzelfde zijn. Dit is het geval.
Midden tussen beide nulpunten bevindt zich de symmetrieas:
`x = 1,5`
.
De nulpunten
`x = (6-sqrt(20))/4 vv x = (6+sqrt(20))/4`
zijn te schrijven als
`x = 1,5 - 0,25 sqrt(20) vv x = 1,5 + 0,25 sqrt(20)`
. Je kunt nu zien dat
`x=1,5`
de symmetrieas is. De
`x`
-waarde van de top is daarom
`1,5`
.
Omdat `f(1,5) = text(-)2,5` , vind je dezelfde top als bij a.
`f_2(x) = x^2 + 2x + 3` levert met kwadraat afsplitsen `f(x) = (x+1)^2 + 2` .
Dus top bij `x=text(-)1` en dit invullen geeft `y=2` .
Top `(text(-)1, 2)` .
`f_1(x) = x^2 + x + 3` levert met kwadraat afsplitsen `f(x) = (x+1/2)^2 + 2 3/4` .
De symmetrieas is dus bij `x=text(-)1/2` en dit invullen geeft `y=2 3/4` .
Top `(text(-)1/2, 2 3/4)` .
De discriminant van deze vergelijking is `D = k^2 - 12` .
`D=0` geeft `k^2 - 12 = 0` en dus `k = text(-)sqrt(12) vv k = sqrt(12)` .
Top `(text(-)1/2 k, text(-)1/4 k^2 + 3)` .
Dit punt ligt op `y=1` als `text(-)1/4 k^2 + 3 = 1` .
Dus `k = text(-)sqrt(8) vv k = sqrt(8)` .
Voor de top geldt `x = text(-)1/2 k` , dus `k = text(-)2x` .
Dit geeft `y = text(-)1/4 (text(-)2x)^2 + 3 = text(-)x^2 + 3` .
Dus de top doorloopt de parabool `y = text(-)x^2 + 3` .
`x^2 - 4x + 5 = 0` geeft `(x+1)(x-5) = 0` en `x = text(-)1 vv x = 5` .
Nulpunten: `x = text(-)1` en `x = 5` .
`x_(text(top)) = (5 + text(-)1)/2 = 2` .
Top: `(2 , 1)` .
`f_0(x) = text(-)4x + 5` is het voorschrift van een lineaire functie.
`D = 0` geeft `16 - 20p = 0` en dus `p = 0,8` .
`f_p(x) = p(x - 2/p)^2 - 4/p + 5` geeft top `(2/p, text(-)4/p + 5)` .
Voor deze top geldt `x = 2/p` , dus `p = 2/x` .
En daarom is `y = text(-)4/(2/x) + 5 = text(-)2x + 5` .
`f(x) = x^2 - 2x - 8 = (x-1)^2 - 9` , top `(1, 9 )` .
`(x-1)^2 - 9 = 0` geeft `(x-1)^2 = 9` en `x=text(-)2 ∨ x=4` .
`x^2 - 2x - 8 = 0`
`D = (text(-)1)^2 - 4*1*text(-)8 = 36`
`x = (2 +- sqrt(36))/2`
Dus `x=text(-)2 vv x=4` .
`x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) = 0` geeft `x=text(-)2 vv x=4` .
`2x^2 - x + 1 = 10 - 3x` geeft `2x^2 + 2x - 9 = 0` .
Met de abc-formule: `x = (text(-)2 - sqrt(76))/4 vv x = (text(-)2 + sqrt(76))/4` .
Grafiek: `x lt text(-)2,679 ∨ x gt 1,679` .
`x^2 - 3x - 13 = 0` geeft `x = (3 ± sqrt(61))/2` .
`x^2 + 30x + 3 = 0` geeft `x= (text(-)30 ± sqrt(888))/2` .
`2x^2 - 6x = 0` geeft `2x(x-3) = 0` en `x=0 ∨ x=3` .
`2 x^2 - 12x + 18 = 0` geeft `x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 = 0` en `x=3` .
`D = (text(-)5)^2 - 4*1*10=text(-)15 < 0` , dus geen oplossingen.
`text(-)13x^2 + 10x + 8 = text(-)8x^2 + 3x` dus `text(-)5x^2 + 7x + 8 = 0` .
`D = 7^2 - 4*text(-)5*8 = 49+160 = 209`
`x = (text(-)7+-sqrt(209))/(text(-)10)` geeft `x~~text(-)0,75 vv x~~2,15 ` .
Voer in: Y1=-13X^2+10X+8 en Y2=-8X^2+3X.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 5]xx[text(-)80, 20]`
.
Met de grafiek vind je de oplossing:
`text(-)0,74 le x le 2,14`
.
`text(-)2x^2 - x + 6 = 0`
oplossen met de abc-formule geeft
`x=text(-)2 vv x=1,5`
.
Grafiek:
`x lt text(-)2 vv x gt 1,5`
.
`0,25x^2 + 2,5x - 4 = 0`
geeft
`x^2 + 10x - 16 = 0`
en
`x = (text(-)10+-sqrt(164))/(2)`
.
Grafiek:
`text(-)11,40 lt x lt 1,40`
.
`f(x) = 2x^2 + 6x + 4 = 2 (x+1 1/2)^2 - 1/2` geeft top `(text(-)1 1/2; text(-)1/2)` .
De nulpunten zijn `x=text(-)1` en `x=text(-)2` .
`D = 36 - 8p^2 = 0` geeft `p = ±sqrt(4,5 )` .
Verder is de grafiek van `f` een rechte lijn als `p=0` .
Ook dan is er één punt met de `x` -as gemeen.
Dit geldt alleen als `D gt 0` . Los de ongelijkheid `D = 36 - 8p^2 gt 0` op.
Dit geeft `p^2 lt 4,5` .
Let op: `p=0` voldoet niet, want dan staat er `f(x) = 6x` en de gafiek van deze functie snijdt de assen alleen in `(0, 0)` .
Je krijgt dus: `text(-)sqrt(4,5) lt p lt 0 vv 0 lt p lt sqrt(4,5)` .
`px^2 + 6x + 2p = 6 - x` geeft `px^2 + 7x + 2p - 6 = 0` .
Eén snijpunt, dus `D = 8p^2 - 24p -49 = 0` of `p=0` .
Dus als `p=0` en `p = (24 ± sqrt(2144))/16` .
Kwadraat afsplitsen geeft `f_(p)(x) = 1/8 (x^2 + 8px - 8) = 1/8 ((x+4p)^2 - 16p^2 - 8) = 1/8(x+4p)^2 - 2p^2 - 1` .
Top: `(text(-)4p, text(-)2p^2 - 1)` geeft `x = text(-)4p` en dus `p = text(-)0,25x` .
Hieruit volgt `y = text(-)2(text(-)0,25x)^2 - 1 = text(-)0,125x^2 - 1` .
Stel
`x^2=p`
, dan wordt de vergelijking
`p^2 - 6p + 4 = 0`
.
Door kwadraat afsplitsen (of de abc-formule):
`(p-3)^2 = 5`
geeft
`p = 3+-sqrt(5)`
.
`x^2 = 3-sqrt(5)` geeft `x = +-sqrt(3-sqrt(5)) ~~ +-0,87` .
`x^2 = 3+sqrt(5)` geeft `x = +-sqrt(3+sqrt(5)) ~~ +-2,29` .
Er zijn dus vier oplossingen.
Stel `x^3 = p` , dan wordt de vergelijking `p^2 + 4p - 12 = 0` .
Door ontbinden vind je `(p+6)(p-2)=0` en dus `p=2 vv p=text(-)6` .
`x^3 = text(-)6` geeft `x = root[3](text(-)6) ~~ text(-)1,82` .
`x^3 = 2` geeft `x = root[3](2) ~~ 1,26` .
Stel `sqrt(x) = p` , dan wordt de vergelijking `p^2 - 4p - 5 = 0` .
Door ontbinden vind je `(p-5)(p+1)=0` en dus `p=5 vv p=text(-)1` .
`sqrt(x) = text(-)1` kan niet, want een wortel is nooit negatief.
`sqrt(x) = 5` geeft `x = 5^2 = 25` .
Je kunt deze vergelijking ook oplossen door hem te schrijven als `4 sqrt(x) = x-5` en dan beide zijden te kwadrateren. Ga na, dat je dan hetzelfde krijgt.
Stel `x^2 = u` , dan wordt de vergelijking: `3u^2 - 2u - 5 = 0` .
Dit geeft `u = (2+-sqrt(64))/(6)` en `u=10/6 vv u=text(-)1` .
Terug naar de variabele `x` :
`x^2 = text(-)1 ` heeft geen reële oplossingen.
`x^2 = 10/6 = 5/3` geeft `x = +- sqrt(5/3)` .
Stel `x^(1,5) = u` . Verder geldt `x ge 0` .
`2u^2 - 5u - 4 = 0` geeft met de abc-formule `u = (5+-sqrt(57))/(4)` .
Dus `u = 5/4 - 1/4*sqrt(57) ( < 0) vv u = 5/4 + 1/4*sqrt(57)` .
De laatste leidt tot `x^(1,5) = 5/4 + 1/4*sqrt(57)` .
Je vindt `x~~2,14` .
Stel
`x^50 = u`
, dan is de vergelijking te herleiden tot
`u^2 - 40u + 15 = 0`
.
Dit geeft:
`u = (40+-sqrt(1540))/(2)`
.
`x^50 = 20-1/2*sqrt(1540)` geeft `x = +-(20 - 1/2*sqrt(1540))^(1/50) ` .
`x^50 = 20+1/2*sqrt(1540)` geeft `x = +-(20 + 1/2*sqrt(1540))^(1/50) ` .
In twee decimalen nauwkeurig: `x~~text(-)0,98 vv x~~0,98 vv x~~text(-)1,08 vvx~~1,08` .
`x=5 ∨ x=text(-)3`
Er zijn geen oplossingen.
`x=text(-)3 vv x=3`
`(text(-)2 - sqrt(60))/2 < x < (text(-)2 + sqrt(60))/2` .
Alle waarden van `x` .
`p lt 0`
`(2,35 ; text(-)1,53 )` en `(text(-)0,85 ; 3,28 )` .
`(1,5; text(-)2,25)`
`p = text(-)9/8`