Machtsfuncties > De abc-formuleVoorbeeld 3
Een kwadratische vergelijking heeft precies één oplossing als de discriminant
`0`
is. Stel dat je een functie hebt zoals
`f_(k)(x) = x^2 + kx + 3`
, waarin
`k`
een nog onbekende constante is. Je wilt deze constante zo kiezen, dat de grafiek
van
`f`
precies met zijn top op de
`x`
-as ligt.
Welke waarde moet
`k`
dan krijgen?
Kwadraat afsplitsen geeft:
`f_(k)(x) = (x + 1/2 k)^2 - 1/4 k^2 + 3`
Top: `(text(-)1/2 k, text(-) 1/4 k^2 + 3)`
Als de top op de `x` -as ligt, is `y_(text(top)) = 0` .
Dit levert op: `text(-) 1/4 k^2 + 3 = 0` en dus `k^2 - 12 = 0` zodat `k = +- sqrt(12)` .
Je had dit ook anders kunnen aanpakken, namelijk met behulp van de discriminant van de vergelijking `x^2 + kx + 3 = 0` . Ga na dat je hetzelfde vindt.
Het voorschrift `f_(k)(x) = x^2 + kx + 3` levert voor verschillende waarden van `k` steeds een andere functie met een andere grafiek op.
Bepaal de top van deze parabool als `k=2` .
Bepaal de top van deze parabool als `k=1` .
In
Laat zien dat de top op de `x` -as ligt als `k = text(-)sqrt(12) vv k = sqrt(12)` .
Voor welke waarden van `k` ligt de top van de grafiek van `f_(k)` op de lijn `y=1` ?
Als `k` varieert, lijkt de top van de parabool zelf ook een parabool te doorlopen. Stel een formule op voor die parabool.
Gegeven is de functie `f_(p)` met `f_(p)(x) = px^2 - 4x + 5` .
Neem `p=1` en bepaal de nulpunten en de top van de grafiek van `f_1` .
Neem `p=0` . Waarom is de grafiek van `f_0` nu geen parabool?
Voor welke waarde(n) van `p` heeft de grafiek van `f_p` precies één punt met de `x` -as gemeen?
Laat zien dat de top van de grafiek van `f_p` op de lijn `y=text(-)2x+5` ligt.