Machtsfuncties > De abc-formuleTheorie
Een algemene vorm voor een kwadratische functie is:
`f(x) = ax^2 + bx + c`
Aan het functievoorschrift zie je niet meteen hoe hij door transformatie uit de machtsfunctie
`y=x^2`
kan ontstaan. Dat is lastig als je de top en de nulpunten van de bijbehorende parabool
wilt vinden. Door kwadraat afsplitsen kun je de functie
`f`
omzetten naar de vorm:
`f(x) = a(x-p)^2 + q`
waarin
`(p, q)`
de top van de grafiek is. Je gebruikt daarbij de eigenschap:
`x^2 + 2kx = (x+k)^2 - k^2`
Controleer met de applet dat `f(x) = 2x^2 - 4x` dezelfde functie is als `g(x) = 2(x-1)^2 - 2` .
Het is handig als je `f(x) = ax^2 + bx + c` met behulp van kwadraat afsplitsen omzet naar de vorm waarin je de top en de symmetrieas zo kunt aflezen.
Wiskundigen hebben al lang geleden de abc-formule afgeleid. Daarmee kun je de vergelijking `ax^2+bx+c=0` oplossen en zo de nulpunten van de kwadratische functie berekenen. De gevonden oplossing is:
`x = (text(-)b + sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) ∨ x = (text(-)b - sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`
Los `ax^2 + bx + c =0` in algemene zin op met behulp van kwadraat afsplitsen.
Neem aan dat `a≠0` (anders is het ook geen kwadratische vergelijking). Je kunt dan aan beide zijden van het isgelijkteken delen door `a` . Dat geeft:
`x^2 + b/a x + c/a = 0`
Kwadraat afsplitsen levert op:
`(x + b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a = 0` en `(x + b/(2a))^2 = (b/(2a))^2 - c/a = (b^2 - 4ac)/(4a^2)` .
Worteltrekken:
`x + b/(2a) = ± sqrt((b^2 - 4ac)/(4a^2))`
En herleiden:
`x = text(-) b/(2a) ± sqrt((b^2 - 4ac)/(4a^2)) = (text(-)b)/(2a) ± (sqrt(b^2 - 4ac))/(2a) = (text(-)b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)`
Hiermee is de abc-formule gevonden.
De uitdrukking `D = b^2-4 ac` , die onder het wortelteken staat, heet de discriminant van de kwadratische vergelijking. Omdat alleen de wortel uit een positief getal of `0` een reëel getal oplevert, bepaalt die discriminant het aantal oplossingen van de vergelijking.
-
Als `D gt 0` zijn er twee oplossingen.
-
Als `D = 0` is er één oplossing.
-
Als `D lt 0` zijn er geen reële oplossingen.