`f(x) = x^2 - 6x + 1 = (x-3)^2 - 9 + 1 = (x-3)^2 - 8`

`(3 , text(-)8)`

`(x-3)^2 - 8 =0` geeft `(x-3)^2 = 8 ` en `x = 3 +- sqrt(8)` , zodat `x~~0,17 vv x~~5,83` .

`f(x) = x^2 + 12x = (x+6)^2 - 36`

`g(x) = x^2 - 8x + 15 = (x-4)^2 - 16 + 15 = (x-4)^2 - 1`

`h(x) = 2x^2 - 12x - 12 = 2 (x^2 - 6x - 6) = 2((x-3)^2 - 15) = 2(x-3)^2 - 30`

`k(x) = text(-)x^2 + 4x + 3 = text(-)(x^2 - 4x - 3) = text(-)((x-2)^2 - 7) = text(-)(x-2)^2 + 7`

`3x^2 + 17x = 45` wordt `3x^2 + 17x - 45 = 0`
`a=3` , `b=17` en `c=text(-)45`

abc-formule: `x = (text(-)17 +sqrt(17^2-4*3*text(-)45))/(2*3) vv x = (text(-)17 - sqrt(17^2-4*3*text(-)45))/(2*3)` .
Dit geeft `x~~1,97 vv x~~text(-)7,63` .

Je vindt nu `x = (6 + sqrt(32))/2 ∨ x = (6 - sqrt(32))/2` .
Ga na, dat dit hetzelfde is als `x = 3 + sqrt(8) ∨ x = 3 - sqrt(8)` .

`3x^2 + 17x`	`=`	`45`
`x^2 + 17/3 x`	`=`	`15`
`(x+17/6)^2 - (17/6)^2`	`=`	`15`
`x`	`=`	`text(-)17/6 - sqrt((17/6)^2+15) vv x = text(-)17/6 + sqrt((17/6)^2+15)`

`ax^2 + bx + c`	`=`	`0`
`x^2 + b/a x + c/a`	`=`	`0`
`(x+b/(2a))^2 - (b/(2a))^2 + c/a`	`=`	`0`
`(x+b/(2a))^2`	`=`	`(b/(2a))^2 - c/a = (b^2-4ac)/(4 a^2)`
`x + b/(2 a)`	`=`	`text(-)sqrt((b^2-4ac)/(4a^2)) vv x + b/(2a) = sqrt((b^2-4ac)/(4a^2))`
`x`	`=`	`text(-) b/(2a) - sqrt((b^2-4ac)/(4a^2)) vv x = text(-) b/(2a) + sqrt((b^2-4ac)/(4 a^2) )`
`x`	`=`	`(text(-)b - sqrt(b^2-4ac))/(2a) vv x = (text(-)b + sqrt(b^2-4ac))/(2a)`

`x^2 - 12x = 30` geeft `(x-6)^2 = 66` en `x = 6 - sqrt(66) vv x = 6 + sqrt(66)` .

Herleid eerst op `0` .

Je hebt dan `x^2 - 12x - 30=0` .

Gebruik `a=1` , `b=text(-)12` en `c=text(-)30` .

De discriminant is `D = (text(-)12)^2 - 4*1*(text(-)30) = 264` .

Met de abc-formule vind je `x = (12 ± sqrt(264))/2` .

Ga zelf na dat dit hetzelfde is als bij a.

Voer in: Y1=X^2-12X en Y2=30.
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx[text(-)50, 50]` .

Grafiek: `6 - sqrt(66) le x le 6+sqrt(66)` .

`3x^2 + 5x - 8 = 0` geeft `x = (text(-)5 ± sqrt(121))/6` en `x = text(-)2 2/3 ∨ x = 1` .

Voer in: Y1=3X^2+6x en Y2=X+8 en bepaal de snijpunten van de grafieken.
Uit de grafiek lees je de oplossing af: `text(-)2 2/3 < x < 1` .

abc-formule: `x = (1 - sqrt(13))/2 vv x = (1 + sqrt(13))/2` .

abc-formule: `D = text(-)199 < 0` dus geen oplossingen.

`2x^2 - 12x + 16 = 0` geeft `2(x-2)(x-4)=0` en `x=2 vv x=4` .
Grafiek: `2 < x < 4` .

abc-formule: `D < 0` dus geen oplossingen.

`x^2 - 7 x - 8 = 0` geeft `(x-8)(x+1) = 0` en `x=8 vv x=text(-)1` .
Grafiek: `x < text(-)1 vv x > 8` .

`f(x) = 2 x^2 - 6x + 2 = 2 (x-1,5)^2 - 2,5`

Top `(1,5 ; text(-)2,5 )` .

`2x^2 - 6x + 2`	`=`	`0`
`2(x-1,5)^2 - 2,5`	`=`	`0`
`(x-1,5)^2`	`=`	`1,25`
`x`	`=`	`1,5 - sqrt(1,25) vv x = 1,5 + sqrt(1,25)`
`x`	`~~`	`0,38 vv x ~~ 2,62`

`a=2, b=6` en `c=2` .

`D = (text(-)6)^2 - 4*2*2 = 20`

Ja, dat kun je zien. Je hebt dan `2x^2 - 6x + 2 = 0` en hiervan had je bij b al de discriminant berekend. `D>0` , dus twee nulpunten.

`2x^2-6x+2=0` geeft `x = (6-sqrt(20))/4 vv x = (6+sqrt(20))/4` .

Pas de wortelvormen nog aan en je vindt hetzelfde antwoord als bij a.

Je kunt ook de oplossingen benaderen met de grafische rekenmachine en controleren of jouw antwoorden bij a en c hetzelfde zijn. Dit is het geval.

Midden tussen beide nulpunten bevindt zich de symmetrieas: `x = 1,5` .
De nulpunten `x = (6-sqrt(20))/4 vv x = (6+sqrt(20))/4` zijn te schrijven als `x = 1,5 - 0,25 sqrt(20) vv x = 1,5 + 0,25 sqrt(20)` . Je kunt nu zien dat `x=1,5` de symmetrieas is. De `x` -waarde van de top is daarom `1,5` .

Omdat `f(1,5) = text(-)2,5` , vind je dezelfde top als bij a.

`f_2(x) = x^2 + 2x + 3` levert met kwadraat afsplitsen `f(x) = (x+1)^2 + 2` .

Dus top bij `x=text(-)1` en dit invullen geeft `y=2` .

Top `(text(-)1, 2)` .

`f_1(x) = x^2 + x + 3` levert met kwadraat afsplitsen `f(x) = (x+1/2)^2 + 2 3/4` .

De symmetrieas is dus bij `x=text(-)1/2` en dit invullen geeft `y=2 3/4` .

Top `(text(-)1/2, 2 3/4)` .

De discriminant van deze vergelijking is `D = k^2 - 12` .

`D=0` geeft `k^2 - 12 = 0` en dus `k = text(-)sqrt(12) vv k = sqrt(12)` .

Top `(text(-)1/2 k, text(-)1/4 k^2 + 3)` .

Dit punt ligt op `y=1` als `text(-)1/4 k^2 + 3 = 1` .

Dus `k = text(-)sqrt(8) vv k = sqrt(8)` .

Voor de top geldt `x = text(-)1/2 k` , dus `k = text(-)2x` .

Dit geeft `y = text(-)1/4 (text(-)2x)^2 + 3 = text(-)x^2 + 3` .

Dus de top doorloopt de parabool `y = text(-)x^2 + 3` .

`x^2 - 4x + 5 = 0` geeft `(x+1)(x-5) = 0` en `x = text(-)1 vv x = 5` .

Nulpunten: `x = text(-)1` en `x = 5` .

`x_(text(top)) = (5 + text(-)1)/2 = 2` .

Top: `(2 , 1)` .

`f_0(x) = text(-)4x + 5` is het voorschrift van een lineaire functie.

`D = 0` geeft `16 - 20p = 0` en dus `p = 0,8` .

`f_p(x) = p(x - 2/p)^2 - 4/p + 5` geeft top `(2/p, text(-)4/p + 5)` .

Voor deze top geldt `x = 2/p` , dus `p = 2/x` .

En daarom is `y = text(-)4/(2/x) + 5 = text(-)2x + 5` .

`f(x) = x^2 - 2x - 8 = (x-1)^2 - 9` , top `(1, 9 )` .

`(x-1)^2 - 9 = 0` geeft `(x-1)^2 = 9` en `x=text(-)2 ∨ x=4` .

`x^2 - 2x - 8 = 0`
`D = (text(-)1)^2 - 4*1*text(-)8 = 36`
`x = (2 +- sqrt(36))/2`

Dus `x=text(-)2 vv x=4` .

`x^2 - 2x - 8 = (x-4)(x+2) = 0` geeft `x=text(-)2 vv x=4` .

`2x^2 - x + 1 = 10 - 3x` geeft `2x^2 + 2x - 9 = 0` .

Met de abc-formule: `x = (text(-)2 - sqrt(76))/4 vv x = (text(-)2 + sqrt(76))/4` .

Grafiek: `x lt text(-)2,679 ∨ x gt 1,679` .

`x^2 - 3x - 13 = 0` geeft `x = (3 ± sqrt(61))/2` .

`x^2 + 30x + 3 = 0` geeft `x= (text(-)30 ± sqrt(888))/2` .

`2x^2 - 6x = 0` geeft `2x(x-3) = 0` en `x=0 ∨ x=3` .

`2 x^2 - 12x + 18 = 0` geeft `x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 = 0` en `x=3` .

`D = (text(-)5)^2 - 4*1*10=text(-)15 < 0` , dus geen oplossingen.

`text(-)13x^2 + 10x + 8 = text(-)8x^2 + 3x` dus `text(-)5x^2 + 7x + 8 = 0` .

`D = 7^2 - 4*text(-)5*8 = 49+160 = 209`

`x = (text(-)7+-sqrt(209))/(text(-)10)` geeft `x~~text(-)0,75 vv x~~2,15 ` .

Voer in: Y1=-13X^2+10X+8 en Y2=-8X^2+3X.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[text(-)80, 20]` .
Met de grafiek vind je de oplossing: `text(-)0,74 le x le 2,14` .

`text(-)2x^2 - x + 6 = 0` oplossen met de abc-formule geeft `x=text(-)2 vv x=1,5` .
Grafiek: `x lt text(-)2 vv x gt 1,5` .

`0,25x^2 + 2,5x - 4 = 0` geeft `x^2 + 10x - 16 = 0` en `x = (text(-)10+-sqrt(164))/(2)` .
Grafiek: `text(-)11,40 lt x lt 1,40` .

`f(x) = 2x^2 + 6x + 4 = 2 (x+1 1/2)^2 - 1/2` geeft top `(text(-)1 1/2; text(-)1/2)` .

De nulpunten zijn `x=text(-)1` en `x=text(-)2` .

`D = 36 - 8p^2 = 0` geeft `p = ±sqrt(4,5 )` .

Verder is de grafiek van `f` een rechte lijn als `p=0` .

Ook dan is er één punt met de `x` -as gemeen.

Dit geldt alleen als `D gt 0` . Los de ongelijkheid `D = 36 - 8p^2 gt 0` op.

Dit geeft `p^2 lt 4,5` .

Let op: `p=0` voldoet niet, want dan staat er `f(x) = 6x` en de gafiek van deze functie snijdt de assen alleen in `(0, 0)` .

Je krijgt dus: `text(-)sqrt(4,5) lt p lt 0 vv 0 lt p lt sqrt(4,5)` .

`px^2 + 6x + 2p = 6 - x` geeft `px^2 + 7x + 2p - 6 = 0` .

Eén snijpunt, dus `D = 8p^2 - 24p -49 = 0` of `p=0` .

Dus als `p=0` en `p = (24 ± sqrt(2144))/16` .

Stel `x^2=p` , dan wordt de vergelijking `p^2 - 6p + 4 = 0` .
Door kwadraat afsplitsen (of de abc-formule): `(p-3)^2 = 5` geeft `p = 3+-sqrt(5)` .

`x^2 = 3-sqrt(5)` geeft `x = +-sqrt(3-sqrt(5)) ~~ +-0,87` .

`x^2 = 3+sqrt(5)` geeft `x = +-sqrt(3+sqrt(5)) ~~ +-2,29` .

Er zijn dus vier oplossingen.

Stel `x^3 = p` , dan wordt de vergelijking `p^2 + 4p - 12 = 0` .

Door ontbinden vind je `(p+6)(p-2)=0` en dus `p=2 vv p=text(-)6` .

`x^3 = text(-)6` geeft `x = root[3](text(-)6) ~~ text(-)1,82` .

`x^3 = 2` geeft `x = root[3](2) ~~ 1,26` .

Stel `sqrt(x) = p` , dan wordt de vergelijking `p^2 - 4p - 5 = 0` .

Door ontbinden vind je `(p-5)(p+1)=0` en dus `p=5 vv p=text(-)1` .

`sqrt(x) = text(-)1` kan niet, want een wortel is nooit negatief.

`sqrt(x) = 5` geeft `x = 5^2 = 25` .

Je kunt deze vergelijking ook oplossen door hem te schrijven als `4 sqrt(x) = x-5` en dan beide zijden te kwadrateren. Ga na, dat je dan hetzelfde krijgt.

Stel `x^2 = u` , dan wordt de vergelijking: `3u^2 - 2u - 5 = 0` .

Dit geeft `u = (2+-sqrt(64))/(6)` en `u=10/6 vv u=text(-)1` .

Terug naar de variabele `x` :

`x^2 = text(-)1 ` heeft geen reële oplossingen.

`x^2 = 10/6 = 5/3` geeft `x = +- sqrt(5/3)` .

Stel `x^(1,5) = u` . Verder geldt `x ge 0` .

`2u^2 - 5u - 4 = 0` geeft met de abc-formule `u = (5+-sqrt(57))/(4)` .

Dus `u = 5/4 - 1/4*sqrt(57) ( < 0) vv u = 5/4 + 1/4*sqrt(57)` .

De laatste leidt tot `x^(1,5) = 5/4 + 1/4*sqrt(57)` .

Je vindt `x~~2,14` .

Stel `x^50 = u` , dan is de vergelijking te herleiden tot `u^2 - 40u + 15 = 0` .
Dit geeft: `u = (40+-sqrt(1540))/(2)` .

`x^50 = 20-1/2*sqrt(1540)` geeft `x = +-(20 - 1/2*sqrt(1540))^(1/50) ` .

`x^50 = 20+1/2*sqrt(1540)` geeft `x = +-(20 + 1/2*sqrt(1540))^(1/50) ` .

In twee decimalen nauwkeurig: `x~~text(-)0,98 vv x~~0,98 vv x~~text(-)1,08 vvx~~1,08` .

`x=5 ∨ x=text(-)3`

Er zijn geen oplossingen.

`x=text(-)3 vv x=3`

`(text(-)2 - sqrt(60))/2 < x < (text(-)2 + sqrt(60))/2` .

Alle waarden van `x` .

`p lt 0`

`(2,35 ; text(-)1,53 )` en `(text(-)0,85 ; 3,28 )` .

`(1,5; text(-)2,25)`

`p = text(-)9/8`