Maak zelf de grafiek op de grafische rekenmachine. Er zijn geen toppen.
Het nulpunt ligt op `x = text(-)4,4` .
Het snijpunt met de `y` -as is `(0 ; 5,5)` .
De asymptoten zijn de lijnen `x=text(-)4` en `y=5` .
`text(D)_(f) = 〈←, text(-)4 〉 ∪ 〈text(-)4, →〉` en `text(B)_(f) = 〈←, 5 〉 ∪ 〈5, →〉` .
Je kunt de functie schrijven als `f(x) = 2 * (x+4)^(text(-)1) + 5` .
Maak zelf de grafiek op de grafische rekenmachine .
De functie begint bij `(text(-)4, 5)` .
Er is geen nulpunt.
Het snijpunt met de `y` -as is `(0, 9)` .
Er zijn geen asymptoten.
`text(D)_(g) = [text(-)4, →〉` en `text(B)_(g) = [5, →〉` .
`g(x) = 2 (x+4)^(1/2) + 5`
`f(x) = 4 - x^(text(-)2)`
Dit is geen machtsfunctie.
`h(x) = 2(x-3)^(text(-)4) + 10`
`k(x) = 4/x - x/x = 4/x - 1 = 4 x^(text(-)1) - 1`
`f(x) = 4 x^(1/2) + 3`
Dit is geen machtsfunctie.
`h(x) = text(-)5 (2x-8)^(1/2) + 6`
`k(x) = 4 x^(text(-) 1/2) + 3`
`g(x) = 200 - 50/((x-4)^2) = text(-)50*1/((x-4)^2) + 200 = text(-)50 (x-4)^(text(-)2) + 200`
Uit `y = x^(text(-)2)` door
translatie van `4` ten opzichte van de `y` -as;
vermenigvuldiging met `text(-)50` ten opzichte van de `x` -as;
ten slotte translatie van `200` ten opzichte van de `x` -as.
Voor `x` mag je het getal `4` niet invullen (want dan deel je door `0` ).
Verder geldt: `lim_(x darr 4) f(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr 4) f(x) = text(-)oo` .
Dus `x=4` is de verticale asymptoot.
Als je voor `x` een groot (of een klein) getal invult, dan gaat `lim_(x rarr oo) 50/((x-4)^2)` naar `0` .
Dus `y=200` is de horizontale asymptoot.
Voor `x` mag je geen `4` invullen, alle andere getallen wel.
Dus geldt `text(D)_(f) = 〈←, 4 〉 ∪ 〈4 , →〉` .
Aangezien `y=200` de horizontale asymptoot is en de grafiek onder die lijn ligt, is `text(B)_(f) = 〈←, 200 〉` .
`g(0) = 200 - 50/(0-4)^2 ~~ 196,875` .
Snijpunt met de `y` -as: `(0 ; 196,875)` .
`200 - 50/((x-4)^2) = 0` geeft `50/((x-4)^2) = 200` en `(x-4)^2 = 50/200` , zodat `x = 4 +- sqrt(1/4)` .
Snijpunten met de `x` -as: `(3,5; 0)` en `(4,5; 0)` .
`200/(x-40) = 50`
geeft
`x = 40 + 200/50 = 44`
.
Grafiek (met verticale asymptoot
`x=40`
):
`40 lt x le 44`
.
`25/((2x+6)^2) - 100 = 200`
geeft
`(2x+6)^2 = 25/300 = 1/12`
, zodat
`x = 1/2 sqrt(1/12) - 3`
.
Grafiek:
`x < text(-)3 - 1/(2sqrt(12)) ∨ x > text(-)3 + 1/(2sqrt(12))`
.
`g(x) = text(-)50(x+4)^(1/2) + 200`
Deze kan ontstaan uit `y = x^(0,5)` .
translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `y` -as;
vermenigvuldiging met `text(-)50` ten opzichte van de `x` -as;
ten slotte translatie van `200` ten opzichte van de `x` -as.
`text(D)_(f) = [text(-)4 ,→〉` en `text(B)_(f) = 〈←,200 ]` .
`g(0) = 200 - 50sqrt(4) = 100`
, dus het snijpunt met de
`y`
-as:
`(0, 100)`
.
`200-50sqrt(x+4)=0`
geeft
`sqrt(x+4) = 4`
en
`x=12`
, dus het snijpunt met de
`x`
-as:
`(12, 0)`
.
Machtsfuncties kun je schrijven in de vorm `y = a (x-p)^r + q` .
Dit lukt bij `f(x) = 2x^(1 1/2) + 4` maar niet bij `g(x)` .
`0 le x lt 1,91`
`(x-40)^(1/2) = 50/200 = 1/4`
en
`x = 40 + (1/4)^2 = 40 1/16`
.
Grafiek:
`x > 40 1/16`
.
`100 - 25(2x+6)^(1/2) = 20`
geeft
`(2x+6)^(1/2) = 3,2`
en
`x = ((3,2)^2 - 6)/2 = 2,12`
.
Grafiek:
`x > 2,12`
.
`f(x) = (x+4-2)/(x+4) = (x+4)/(x+4) - 2/(x+4) = 1 - 2/(x+4)`
`f(x) = text(-)2 (x+4)^(text(-)1) + 1`
Verticale asymptoot
`x=text(-)4`
met
`lim_(x darr text(-)4) f(x) = text(-)oo`
en
`lim_(x uarr text(-)4) f(x) = oo`
.
Horizontale asymptoot
`y=1`
met
`lim_(x rarr +-oo) f(x) = 1`
.
`text(D)_(f) = 〈←, text(-)4 〉 ∪ 〈text(-)4 , →〉`
`text(B)_(f) = 〈←, 1 〉 ∪ 〈1 , →〉`
`f(x) = text(-)100 (x+10)^(text(-)3) + 40`
Je mag niet delen door `0` dus `x+10 != 0` en dus `x! = text(-)10` .
Verder geldt: `lim_(x darr text(-)10) f(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr text(-)10) f(x) = oo` .
De verticale asymptoot is `x=text(-)10` .
Vul voor `x` een groot of een klein getal in.
Dan zie je `lim_(x rarr oo) 1/((x+10)^3) = 0` .
De horizontale asymptoot is `y=40` .
`text(D)_(f) = 〈←, text(-)10 〉 ∪ 〈text(-)10 , →〉` en `text(B)_(f) = 〈←, 40 〉 ∪ 〈40 , →〉` .
`100/((x+10)^3) = 40` geeft `(x+10)^3 = 100/40 = 2,5` en `x = text(-)10 + root[3](2 1/2)` .
Grafiek: `x lt text(-)10 vv text(-)8,73 lt x lt 40,00` .
`16/(x^4) = 1/2 x`
geeft
`x^5 = 32`
en dus
`x=2`
.
Grafiek (verticale asymptoot
`x=0`
:
`x lt 0 ∨ 0 lt x le 2`
.
`(2 x)/(x-10) + 20 = 100`
geeft
`2x = 80(x-10)`
en dus
`x = 800/78 = 400/39`
.
Grafiek (verticale asymptoot
`x=10`
):
`x < 10 ∨x > 400/39`
.
`g(x) = 20x^2 x^(1/2) - 100 = 20 x^(2 1/2) - 100`
`text(D)_(f) = [0 , →〉` en `text(B)_(f) = [text(-)100 , →〉` .
`20 x^(2 1/2) - 100 = 0` geeft `x^(2 1/2) = 5` en `x = 5^(2/5) = root(5)(25)` .
Voer in: Y1=20X^2√(X)-100 en Y2=X.
Oplossing ongelijkheid:
`x ≥ 1,92`
.
`16 x^(1/4) = 1/2 x`
geeft
`16^4 x = 1/16 x^4`
en
`16^5 x - x^4 = 0`
zodat
`x=0 vv x=16^(5/3)=2^(20/3)`
.
Grafiek:
`x ≥ 2^(20/3)`
.
`2 sqrt(2x - 40) + 20 = 100`
geeft
`sqrt(2x-40) = 40`
en
`x = 820`
.
Grafiek:
`20 ≤ x lt 820`
.
De functie `f` kun je herleiden naar `f(x) = 10 x^(text(-)1 1/2) + 100` .
De exponent is negatief. Hoe groter `x` , des te kleiner `10x^(text(-)1 1/2)` .
Dus de grafiek van `f` daalt.
De functie `g` kun je herleiden naar `g(x) = 10 x^(1/2)` .
De exponent is positief. Dus de grafiek stijgt.
Alleen de grafiek van `f` heeft een asymptoot: `x=0` .
`10/(x sqrt(x)) = (10 x)/(sqrt(x))`
geeft
`10 = 10x^2`
en
`x = +-1`
.
`x=text(-)1`
voldoet niet.
Grafiek:
`0 lt x le 1`
.
`f` is niet gedefinieerd voor `x=0` , met `lim_(x↓0) f(x)=lim_(x↑0) f(x)=oo` .
Dus `x=0` is de verticale asymptoot.
Voer in: Y1=1/(X^2)+X^2 met venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 5]xx[0, 10]`
.
Je ziet twee toppen aan weerszijden van de
`y`
-as.
Met de GR kun je ze vinden:
`(text(-)1, 2)`
en
`(1, 2)`
.
Voor `x` naar `+-oo` wordt de term `1/(x^2)` verwaarloosbaar klein en dus is dan `f(x)~~x^2` .
`x = text(-)root[4](1/8) vv x = root[4](1/8)`
`x = 67 1/2`
`0 < x < 100`
`0 le x lt 5 ∨ 5 lt x le 10`
Je kunt de functies schrijven als `f(x) = 4*(10-x)^(text(-)0,5)` en `g(x) = (10-x)^(0,5)` .
`text(D)_(f) = 〈←, 10 〉` en `text(B)_(f) = 〈0 , →〉` .
`text(D)_(g) = 〈←, 10 ]` en `text(B)_(g) = [0 , →〉` .
Het snijpunt is `(6, 2)` .
`6 le x lt 10`