Machtsfuncties > Meer machtsfuncties
123456Meer machtsfuncties

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Maak zelf de grafiek op de grafische rekenmachine. Er zijn geen toppen.

Het nulpunt ligt op `x = text(-)4,4` .

Het snijpunt met de `y` -as is `(0 ; 5,5)` .

De asymptoten zijn de lijnen `x=text(-)4` en `y=5` .

b

`text(D)_(f) = 〈←, text(-)4 〉 ∪ 〈text(-)4, →〉` en `text(B)_(f) = 〈←, 5 〉 ∪ 〈5, →〉` .

c

Je kunt de functie schrijven als `f(x) = 2 * (x+4)^(text(-)1) + 5` .

d

Maak zelf de grafiek op de grafische rekenmachine .

De functie begint bij `(text(-)4, 5)` .

Er is geen nulpunt.

Het snijpunt met de `y` -as is `(0, 9)` .

Er zijn geen asymptoten.

e

`text(D)_(g) = [text(-)4, →〉` en `text(B)_(g) = [5, →〉` .

f

`g(x) = 2 (x+4)^(1/2) + 5`

Opgave 1
a

`f(x) = 4 - x^(text(-)2)`

b

Dit is geen machtsfunctie.

c

`h(x) = 2(x-3)^(text(-)4) + 10`

d

`k(x) = 4/x - x/x = 4/x - 1 = 4 x^(text(-)1) - 1`

Opgave 2
a

`f(x) = 4 x^(1/2) + 3`

b

Dit is geen machtsfunctie.

c

`h(x) = text(-)5 (2x-8)^(1/2) + 6`

d

`k(x) = 4 x^(text(-) 1/2) + 3`

Opgave 3
a

`g(x) = 200 - 50/((x-4)^2) = text(-)50*1/((x-4)^2) + 200 = text(-)50 (x-4)^(text(-)2) + 200`

b

Uit `y = x^(text(-)2)` door

  • translatie van `4` ten opzichte van de `y` -as;

  • vermenigvuldiging met `text(-)50` ten opzichte van de `x` -as;

  • ten slotte translatie van `200` ten opzichte van de `x` -as.

c

Voor `x` mag je het getal `4` niet invullen (want dan deel je door `0` ).

Verder geldt: `lim_(x darr 4) f(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr 4) f(x) = text(-)oo` .

Dus `x=4` is de verticale asymptoot.

Als je voor `x` een groot (of een klein) getal invult, dan gaat `lim_(x rarr oo) 50/((x-4)^2)` naar `0` .

Dus `y=200` is de horizontale asymptoot.

d

Voor `x` mag je geen `4` invullen, alle andere getallen wel.

Dus geldt `text(D)_(f) = 〈←, 4 〉 ∪ 〈4 , →〉` .

Aangezien `y=200` de horizontale asymptoot is en de grafiek onder die lijn ligt, is `text(B)_(f) = 〈←, 200 〉` .

e

`g(0) = 200 - 50/(0-4)^2 ~~ 196,875` .

Snijpunt met de `y` -as: `(0 ; 196,875)` .

`200 - 50/((x-4)^2) = 0` geeft `50/((x-4)^2) = 200` en `(x-4)^2 = 50/200` , zodat `x = 4 +- sqrt(1/4)` .

Snijpunten met de `x` -as: `(3,5; 0)` en `(4,5; 0)` .

Opgave 4
a

`200/(x-40) = 50` geeft `x = 40 + 200/50 = 44` .
Grafiek (met verticale asymptoot `x=40` ): `40 lt x le 44` .

b

`25/((2x+6)^2) - 100 = 200` geeft `(2x+6)^2 = 25/300 = 1/12` , zodat `x = 1/2 sqrt(1/12) - 3` .
Grafiek: `x < text(-)3 - 1/(2sqrt(12)) ∨ x > text(-)3 + 1/(2sqrt(12))` .

Opgave 5
a

`g(x) = text(-)50(x+4)^(1/2) + 200`

b

Deze kan ontstaan uit `y = x^(0,5)` .

  • translatie van `text(-)4` ten opzichte van de `y` -as;

  • vermenigvuldiging met `text(-)50` ten opzichte van de `x` -as;

  • ten slotte translatie van `200` ten opzichte van de `x` -as.

c

`text(D)_(f) = [text(-)4 ,→〉` en `text(B)_(f) = 〈←,200 ]` .

d

`g(0) = 200 - 50sqrt(4) = 100` , dus het snijpunt met de `y` -as: `(0, 100)` .
`200-50sqrt(x+4)=0` geeft `sqrt(x+4) = 4` en `x=12` , dus het snijpunt met de `x` -as: `(12, 0)` .

Opgave 6
a

Machtsfuncties kun je schrijven in de vorm `y = a (x-p)^r + q` .

Dit lukt bij `f(x) = 2x^(1 1/2) + 4` maar niet bij `g(x)` .

b

`0 le x lt 1,91`

Opgave 7
a

`(x-40)^(1/2) = 50/200 = 1/4` en `x = 40 + (1/4)^2 = 40 1/16` .
Grafiek: `x > 40 1/16` .

b

`100 - 25(2x+6)^(1/2) = 20` geeft `(2x+6)^(1/2) = 3,2` en `x = ((3,2)^2 - 6)/2 = 2,12` .
Grafiek: `x > 2,12` .

Opgave 8
a

`f(x) = (x+4-2)/(x+4) = (x+4)/(x+4) - 2/(x+4) = 1 - 2/(x+4)`

b

`f(x) = text(-)2 (x+4)^(text(-)1) + 1`

c

Verticale asymptoot `x=text(-)4` met `lim_(x darr text(-)4) f(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr text(-)4) f(x) = oo` .
Horizontale asymptoot `y=1` met `lim_(x rarr +-oo) f(x) = 1` .

d

`text(D)_(f) = 〈←, text(-)4 〉 ∪ 〈text(-)4 , →〉`
`text(B)_(f) = 〈←, 1 〉 ∪ 〈1 , →〉`

Opgave 9
a

`f(x) = text(-)100 (x+10)^(text(-)3) + 40`

b

Je mag niet delen door `0` dus `x+10 != 0` en dus `x! = text(-)10` .

Verder geldt: `lim_(x darr text(-)10) f(x) = text(-)oo` en `lim_(x uarr text(-)10) f(x) = oo` .

De verticale asymptoot is `x=text(-)10` .

Vul voor `x` een groot of een klein getal in.

Dan zie je `lim_(x rarr oo) 1/((x+10)^3) = 0` .

De horizontale asymptoot is `y=40` .

c

`text(D)_(f) = 〈←, text(-)10 〉 ∪ 〈text(-)10 , →〉` en `text(B)_(f) = 〈←, 40 〉 ∪ 〈40 , →〉` .

d

`100/((x+10)^3) = 40` geeft `(x+10)^3 = 100/40 = 2,5` en `x = text(-)10 + root[3](2 1/2)` .

e

Grafiek: `x lt text(-)10 vv text(-)8,73 lt x lt 40,00` .

Opgave 10
a

`16/(x^4) = 1/2 x` geeft `x^5 = 32` en dus `x=2` .
Grafiek (verticale asymptoot `x=0` : `x lt 0 ∨ 0 lt x le 2` .

b

`(2 x)/(x-10) + 20 = 100` geeft `2x = 80(x-10)` en dus `x = 800/78 = 400/39` .
Grafiek (verticale asymptoot `x=10` ): `x < 10 ∨x > 400/39` .

Opgave 11
a

`g(x) = 20x^2 x^(1/2) - 100 = 20 x^(2 1/2) - 100`

b

`text(D)_(f) = [0 , →〉` en `text(B)_(f) = [text(-)100 , →〉` .

c

`20 x^(2 1/2) - 100 = 0` geeft `x^(2 1/2) = 5` en `x = 5^(2/5) = root(5)(25)` .

d

Voer in: Y1=20X^2√(X)-100 en Y2=X.
Oplossing ongelijkheid: `x ≥ 1,92` .

Opgave 12
a

`16 x^(1/4) = 1/2 x` geeft `16^4 x = 1/16 x^4` en `16^5 x - x^4 = 0` zodat `x=0 vv x=16^(5/3)=2^(20/3)` .
Grafiek: `x ≥ 2^(20/3)` .

b

`2 sqrt(2x - 40) + 20 = 100` geeft `sqrt(2x-40) = 40` en `x = 820` .
Grafiek: `20 ≤ x lt 820` .

Opgave 13
a

De functie `f` kun je herleiden naar `f(x) = 10 x^(text(-)1 1/2) + 100` .

De exponent is negatief. Hoe groter `x` , des te kleiner `10x^(text(-)1 1/2)` .

Dus de grafiek van `f` daalt.

De functie `g` kun je herleiden naar `g(x) = 10 x^(1/2)` .

De exponent is positief. Dus de grafiek stijgt.

b

Alleen de grafiek van `f` heeft een asymptoot: `x=0` .

c

`10/(x sqrt(x)) = (10 x)/(sqrt(x))` geeft `10 = 10x^2` en `x = +-1` .
`x=text(-)1` voldoet niet.
Grafiek: `0 lt x le 1` .

Opgave 14Parabool benaderen
Parabool benaderen
a

`f` is niet gedefinieerd voor `x=0` , met `lim_(x↓0) f(x)=lim_(x↑0) f(x)=oo` .

Dus `x=0` is de verticale asymptoot.

b

Voer in: Y1=1/(X^2)+X^2 met venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[0, 10]` .
Je ziet twee toppen aan weerszijden van de `y` -as.
Met de GR kun je ze vinden: `(text(-)1, 2)` en `(1, 2)` .

c

Voor `x` naar `+-oo` wordt de term `1/(x^2)` verwaarloosbaar klein en dus is dan `f(x)~~x^2` .

Opgave 15
a

`x = text(-)root[4](1/8) vv x = root[4](1/8)`

b

`x = 67 1/2`

c

`0 < x < 100`

d

`0 le x lt 5 ∨ 5 lt x le 10`

Opgave 16
a

Je kunt de functies schrijven als `f(x) = 4*(10-x)^(text(-)0,5)` en `g(x) = (10-x)^(0,5)` .

b

`text(D)_(f) = 〈←, 10 〉` en `text(B)_(f) = 〈0 , →〉` .

`text(D)_(g) = 〈←, 10 ]` en `text(B)_(g) = [0 , →〉` .

c

Het snijpunt is `(6, 2)` .

d

`6 le x lt 10`

verder | terug