Periode: `12,25` uur, amplitude: `0,9` en evenwichtslijn: `y=text(-)0,1` .
De formule is bijvoorbeeld van de vorm `y = a sin(b(x + c)) + d` .
De evenwichtslijn is `y = text(-)0,1` , dus `d = text(-)0,1` .
De amplitude is `0,9` , dus `a = 0,9` .
De periode is `12,25` , dus `b = (2pi)/(12,25) ~~ 0,52` .
Hoogwater moet bij `t = 6` zitten. Het direct ervoor liggende punt op de evenwichtsstand zit daar een kwart periode voor. Dit is bij `t = 6 - 3,0625 ≈ 2,94` . Dit betekent dat `c ~~ text(-)2,94` .
Een bijpassende formule is `h(t) ≈ 0,9 sin(0,52(t - 2,94)) - 0,1` .
Het is een rekenmodel voor de waterstand van Harlingen. Je kunt er tijdstippen van hoog- of laagwater mee berekenen.
De periode is de tijd tussen twee opeenvolgende toppen, dus
`6,125 + 6,125 = 12,25`
uur.
De amplitude is het hoogteverschil tussen hoog water en gemiddelde waterhoogte, dus
`90`
cm.
De evenwichtslijn is het gemiddelde waterpeil, dus het gemiddelde van hoogwater (
`+80`
cm boven NAP) en laagwater (
`text(-)100`
cm boven NAP), dus
`text(-)10`
.
De formule heeft de vorm `h(t) = a cos(b(t - c)) + d` . In meters is de evenwichtslijn is `d = text(-)0,1` , en de amplitude `a = 0,9` . De periode is `12,25` , dus `b = (2pi)/(12,25)` . Verder heeft de grafiek een maximum op 6:00 uur, dus er is een verschuiving van `6` naar rechts: `c = 6` .
Dit geeft `h(t) = 0,9 cos((2pi)/(12,25) (t - 6)) - 0,1` .
Neem venster `[0, 24]*[text(-)1; 0,8]` .
`y = 4 sin(x)`
`y = 20 + 10 sin(x)`
`y = 4 sin(1/2 x)`
`y = 10 + 5 sin(π/5 (x - 2))`
De grafiek gaat op en neer tussen `text(-)7` en `3` , dus de amplitude is `(3-text(-)7)/2 = 5` en de evenwichtslijn is `y = 3-5 = text(-)2` . De periode is `6` , en de grafiek is met `1` naar rechts, of `5` naar links verschoven ten opzichte van een niet verschoven sinus.
Dat geeft `y = text(-)2 + 5sin(1/3 pi(x - 1))` of `y = text(-)2 + 5sin(1/3 pi(x + 5))` .
De grafiek gaat op en neer tussen `text(-)7` en `3` , dus de amplitude is `(3-text(-)7)/2 = 5` en de evenwichtslijn is `y = 3-5 = text(-)2` . De periode is `6` , en de grafiek is met `2,5` naar rechts, of `3,5` naar links verschoven ten opzichte van een niet verschoven cosinus.
Dat geeft `y = text(-)2 + 5sin(1/3 pi(x - 2,5))` of `y = text(-)2 + 5cos(1/3 pi(x + 3,5))` .
De eerste top met een maximum vanaf de
`y`
-as naar rechts gekeken, ligt bij
`x = (5/3 pi + 11/3 pi)/2 = 2 2/3 pi`
.
Dit betekent dat de sinusoïde ook voldoet aan:
`y = 3 cos(1/2 (x - 8/3 pi)) - 2`
.
Je kunt ook gebruik maken van `sin(x) = cos(x - pi/2)` :
`y = 3 sin(1/2 (x - 5/3 π)) - 2 = 3 cos(1/2 (x - 5/3 π) - pi/2) - 2 = 3 cos(1/2 (x - 8/3 π)) - 2`
De periode is `24` , de evenwichtslijn is `y = (10 +26)/2 = 18` en de amplitude is `26 - 18 = 8` .
Uitgaande van de sinus komt uit a naar voren dat
`y = 18 + 8sin(pi/12 (x - c))`
.
Met de gegevens weet je dat de grafiek de evenwichtslijn doorkruist op haar weg omhoog
op
`x = 7`
. Hieruit volgt:
`c = 7`
en
`y = 18 + 8sin(pi/12 (x - 7))`
.
Uitgaande van de cosinus is `y = 18 + 8cos(pi/12 (x - c))` , met verschuiving `13` naar rechts, `y = 18 +8 cos(pi/12 (x - 13))` .
`f(12)≈25,73` , `f(12,25)≈25,85` , `f(12,5)≈25,93` , `f(12,75)≈25,98` en `f(13)=26`
Hier wordt uitgegaan van sinus.
`f(x) = 22` geeft `sin(π/12 (x - 7)) = 1/2` en dit geeft:
`π/12 (x - 7) = 1/6 π + k*2π ∨ π/12 (x - 7) = 5/6 π + k*2π` .
Hieruit volgt:
`x = 9 + k*24 ∨ x = 17 + k*24`
.
De oplossing van de ongelijkheid is
`9 + k*24 < x < 17 + k*24`
.
De periode is
`4π`
, de amplitude is
`(4-0)/2 = 2`
en de evenwichtslijn is
`y = 4-2 = 2`
.
Het beginpunt van de sinus op de evenwichtslijn is bij
`x= π`
(op een vierde van de periode).
`y = 2 sin(0,5(x - π)) + 2`
De omtrek is `2 π*2 = 4pi` .
`2 cos(0,5(x - 2π)) + 2 = 3`
geeft
`cos(0,5(x - 2π)) = 0,5`
en dus
`0,5(x - 2π) = 1/3 pi + k*2pi vv 0,5(x - 2pi) = text(-)1/3 pi + k *2pi`
zodat
`x = 2 2/3 pi vv x = 1 1/3 pi`
.
De lengte van lijnstuk `AB` is `2 2/3 pi - 1 1/3 pi = 1 1/3 pi` .
De punten
`A`
en
`B`
liggen symmetrisch ten opzichte van
`x = 2π`
en op de grafiek.
De
`x`
-coördinaat van
`A`
ligt op
`x = 2pi-2`
en die van
`B`
ligt op
`x = 2pi+2`
.
Invullen in de formule geeft
`A ≈ (2π-2; 3,08)`
en
`B ≈ (2π+2; 3,08)`
.
Voor `y_1` :
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `text(-)1` en de periode is `4` . Als sinus is de grafiek `2,1` naar rechts verschoven, dus `y_1 = text(-)1 + 4sin((2pi)/4 (x-2,1))` .
Voor `y_2` :
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `0` en de periode is `20` . Als sinus is de grafiek niet verschoven, dus `y_2 = 4sin((2pi)/20 x)` .
Voor `y_3` :
De amplitude is `2` , de evenwichtslijn is `4` en de periode is `10` . Als sinus is de grafiek niet verschoven, dus `y_3 = 4 + 2sin((2pi)/10 x)` .
Voor `y_4` :
De amplitude is `2` , de evenwichtslijn is `5` en de periode is `8` . Als sinus is de grafiek `4` naar rechts verschoven, dus `y_4 = 5 + 2sin((2pi)/8 (x-4))` .
De amplitude is `4` , de evenwichtslijn is `text(-)1` en de periode is `4` . Als sinus is de grafiek `2` naar rechts of naar links verschoven, dus `y_1 = text(-)1 + 4sin((2pi)/4 (x-2))` , of `y_1 = text(-)1 + 4sin((2pi)/4 (x+2))` .
Benader de grafiek als cosinus en bemerk dat die dan ofwel `1` naar links, ofwel `3` naar rechts is verschoven. Hieruit volgt dat de volgende formules ook mogelijk zijn:
`y_1 = text(-)1 + 4cos((2pi)/4 (x+1))`
`y_1 = text(-)1 + 4cos((2pi)/4 (x-3))`
`text(-)1 + 4 sin((2π)/4 (x + 2)) = text(-)2`
geeft
`sin(π/2 (x + 2)) = text(-)1/4`
en hieruit volgt
`π/2 (x+2) ≈ text(-)0,253 + k*2 π ∨ π/2 (x+2) ≈ 3,394 + k*2 π`
.
Dit geeft:
`x ≈ text(-)2,161 + k*4 ∨ x ~~ 0,161 + k*4`
.
Neem de algemene vorm
`f(x) = a sin(b(x+c))+ d`
.
Uit de gegevens volgt dat
`a = 2`
,
`b = (2pi)/pi = 2`
,
`d = 1`
en
`f(1/6 pi) = 1`
.
De grafiek is daar stijgend, dan is
`c = text(-)1/6 pi`
.
Dit geeft:
`f(x) = 1 + 2 sin(2(x - 1/6 π))`
.
`f(0) = 1 - sqrt(3)`
`f(x) = 0`
geeft
`sin(2(x - 1/6 π)) = text(-)1/2`
.
Hieruit volgt:
`2(x - 1/6 π) = text(-)1/6 π + k*2 π ∨ 2(x - 1/6 π) = 1 1/6 π + k*2π`
.
Dit geeft:
`x = 1/12 π + k*π ∨ x = 3/4 π + k*π`
.
De oplossing van de ongelijkheid is: `text(-)1/4 π + k*pi ≤ x ≤ 1/12 π + k*π` .
Dit is een sinusoïde met amplitude `(104-text(-)22)/2 = 63` , evenwichtslijn `(104+text(-)22)/2 = 41` , en periode `(33-15)*2 = 36` .
Neem als uitgangspunt
`y = sin(x)`
. Dan heeft
`f`
periode
`36`
, amplitude
`63`
, evenwichtslijn
`y = 41`
en is de grafiek
`15+(33-15)/2 = 24`
eenheden naar rechts verschoven.
`f(x) = 41 + 63 sin((2π)/36 (x - 24))`
`f(42) = 21`
`f(45) = 9,5`
`f(48) = 41 - 63*sqrt(3)/2`
`f(x) = 72,5` geeft `sin((2π)/36 (x - 24)) = 1/2` en hieruit volgt
`1/18 pi(x - 24) = 1/6 pi + k*2pi ∨ 1/18 pi(x - 24) = 5/6 pi + k*2pi`
`x = 3 + 24 + k*36 ∨ x = 15 + 24 + k*36`
`x = 27 + k*36 ∨ x = 3 + k*36`
`h_D = 10 + 8 sin(0,6) ≈ 14,52`
m
`h_C = 10 + 4 sin(3,6) ≈ 8,23`
m
De hoogte van stoeltje `D` , `h_D(t)` , is maximaal op `t = 0` . De amplitude is `8` , de evenwichtsstand `10` en de periode `8` . Dat geeft `h_D(t) = 10 + 8 cos(1/4 pi t)` .
De hoogte van stoeltje `C` , `h_C(t)` , ziet er bijna hetzelfde uit als `h_D(t)` , behalve dat de amplitude `4` is. De periode is met `3` radialen naar voren (rechts) verschoven, dat is `3/(2pi)*8` seconden. Hiermee is:
`h_C(t) = 10 + 4cos(1/4 pi(t - 12/pi))` , en hieruit volgt
`h_C(1413,25) ~~ 11,73` m.
`h_C = 12` geeft `cos(1/4 π(t - 12/pi)) = 1/2` en hieruit volgt
`1/4 pi(t - 12/pi) = 1/3 pi + k*2pi ∨ 1/4 pi(t - 12/pi) = text(-)1/3 pi + k*2pi`
`t = 1 1/3 + 12/pi + k*8 ∨ t = text(-)1 1/3 + 12/pi + k*8`
.
Je zit dus elk rondje
`1 1/3-text(-)1 1/3 = 2 2/3`
s boven de
`12`
meter.
`2cos(1/4 pi t) = cos(1/4 pi(t - 12/pi))`
Zoek de oplossingen van de ongelijkheid `2 cos(1/4 pi t) le cos(1/4 pi(t - 12/pi))` , ofwel `2 cos(1/4 pi t)- cos(1/4 pi(t-12/pi)) le 0` .
Dit kun je niet algebraïsch oplossen. Voer op de grafische rekenmachine in `y_1=2cos(1/4 π x)-cos(1/4 π(x-12/π))` en bereken de nulpunten tussen `t=0` en `t=8` , die liggen op `t~~1,94` en `t~~5,94` . Dit geeft `1,94 le t le 5,94` , ofwel (exact) `4` seconden per periode.
Omdat beide stoeltjes even snel draaien rond hetzelfde evenwichtspunt, maakt het niet uit waar `C` ten opzichte van `D` staat; de ene is de helft van de tijd hoger dan de ander, zolang de hoogte van stoeltje `C` ongelijk is aan de hoogte van stoeltje `D` .
De minutenwijzer heeft een amplitude van
`20`
, een periode van
`1`
uur en de evenwichtslijn is
`h_m = 200`
.
Omdat de wijzer bovenaan begint, geeft dat
`h_m(t) = 200 + 20cos(2pi t)`
.
De urenwijzer heeft een amplitude van
`15`
, een periode van
`12`
uur en de evenwichtslijn is
`h_u = 200`
.
Dat geeft
`h_u(t) = 200 + 15cos((2pi)/12 t)`
.
Voor de minutenwijzer komt iedere `5` minuten op de klok overeen met een rotatie van `1/6pi` radialen. Voor de urenwijzer geldt hetzelfde voor ieder uur. Zodoende valt de hoogte van beide wijzers exact te bepalen als ze op een geheel uur (of veelvoud van `5` minuten) staan.
Ga het rijtje af:
2:00 uur correspondeert met `t = 2` : `h_m(2) = 220` en `h_u(2) = 207,5` .
4:20 uur correspondeert met `t = 4 1/3` : `h_m(4 1/3) = 190` en `h_u(4 1/3)~~190,36` .
10:55 uur correspondeert met `t = 10 11/12` : `h_m(10 11/12) = 200+10sqrt(3)` en `h_u(10 11/12)~~212,65` .
11:58 uur correspondeert met `t = 11 29/30` : `h_m(11 29/30) ~~ 219,56` en `h_u(11 29/30) ~~ 215,00` .
Het gaat hier over een sinusoïde met amplitude `50` , evenwichtslijn `350` , en periode `24` .
`f(x) = 350 + 50 sin((2π)/24 (x - 26))`
`f(50) = 350` , `f(51)≈351,29` en `f(52) = 352,5` .
`x = k*24 ∨ x = 16 + k*24`
`y = 10 + 7 1/2 sin(1/5 pi (x - 5))`
`y = 10 - 7 1/2 sin(1/5 pi x)`
`12` keer per minuut.
De amplitude is `0,25` , en de evenwichtslijn is `4,95` . De frequentie is `12` ademhalingen per minuut, dat correspondeert met een periode van `5` seconden.
`V(t) = 4,95 + 0,25 cos((2π)/5 t)`