Veranderingen > Differentiequotiënt
123456Differentiequotiënt

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Sneller. Hij legt de eerste `8` km in `10` minuten af, dat is `0,8` km per minuut. De volgende `4` km doet hij in `8` minuten, dat is maar `0,5` km per minuut.

b

Omdat de tijden niet steeds na dezelfde vaste afstanden zijn gemeten.

c

Je neemt daarvoor de richtingscoëfficiënt van dat lijnstuk.

d

`(Δy)/(Δx) = (18-12)/(34-18) = 6/16 = 0,375` km/min.

e

Dit is de gemiddelde snelheid van de wielrenner.

Opgave 1
a

`Δt = 6 - 0 = 6`
`Δs = 1,2*6^2 - 1,2*0^2 = 43,2`

`(Delta s)/(Delta t) = (43,2)/6 = 7,2` m/s.

b

`(Δs)/(Δt) = (1,2*10^2 - 1,2*6^2)/(10 - 6) = 19,2` m/s.

c

Op `[6 ,10 ]` .

Opgave 2
a

`(Δ y)/(Δ x) = (f(5) - f(1))/(5 - 1) ~~ (2,3 - 0,9)/4 = 0,35`

b

`(Δ y)/(Δ x) = (f(4) - f(2))/(4 - 2) ~~ (1,4 - 2,2)/2 = text(-)0,4`

c

`(Δ y)/(Δ x) = (f(6) - f(1))/(6 - 1) ~~ (4,3 - 0,9)/5 = 0,68`

d

Bijvoorbeeld op het interval `[5, 6]` .

Opgave 3
a

`(Delta y)/(Delta x) = (3-0)/(1-text(-)2) = 1` .

b

`(Delta y)/(Delta x) = (3-3)/(1-text(-)1) = 0` .

Opgave 4
a

`(f(5)-f(2))/(5-2) = (5^2 - 5*5 + 4 - (2^2 - 5*2 + 4))/3 = 6/3 = 2`

b

`(f(6)-f(text(-)3))/(6-text(-)3) = (6^2 - 5*6 + 4 - ((text(-)3)^2 - 5*text(-)3 + 4))/9 = (text(-)18)/9 = text(-)2`

c

De twee punten op de grafiek zouden dan dezelfde `y` -coördinaat moeten hebben. Je kunt twee punten vinden door op de GR een horizontale lijn te tekenen door de grafiek, en dan de snijpunten berekenen. Neem bijvoorbeeld als horizontale lijn `y = 4` . Je vindt dan `x = 0` en `x = 5` . Op het interval `[0, 5]` is de gemiddelde verandering dus `0` .

Opgave 5
a

Op het interval `[15 , 21 ]` geldt `(Δs)/(Δt) = (8,0 - 5,5)/(21 - 15) ~~ 0,42` .
De gemiddelde snelheid is dan `0,42` km/min en op dit interval ging de skater dus het snelst.

b

De gemiddelde snelheid is `(10 - 0)/(25 1/3) ~~ 0,39` km per minuut.

Opgave 6
a

`15/100 = 0,15` , dus de gemiddelde hoogteverandering per meter is `0,15` m.

b

`(250-100)/(1000-0) = 0,15` . Dus `0,15` meter per meter.

c

Nee, eigenlijk verwacht je dat de steilste helling wordt aangegeven.

d

`(220 - 210)/(500 - 400) = 0,1` m

e

De laatste `100` meter is de gemiddelde helling ongeveer `65/100` .
Aan het eind is de helling dus ongeveer `65` %.

Opgave 7
a

De gemiddelde helling van een constante functie `f(x) = c` op een interval `[a, b]` is
`(f(b)-f(a))/(b-a) = (c-c)/(b-a) = 0` .

b

Het differentiequotiënt van een lineaire functie `f(x)=ax+b` op een interval `[c, d]` is
`(f(d)-f(c))/(d-c) = (a*d+b - (a*c+b))/(d-c) = (a*(d-c))/(d-c) = a` .

c

`(h(b)-h(a))/(b-a) = (b^2+b - (a^2+a))/(b-a) = (b^2 - a^2 + b - a)/(b - a) =`
`= ((b+a)*(b-a) + b-a)/(b-a) = ((b+a)*(b-a))/(b-a) + (b-a)/(b-a) = b + a + 1`

Opgave 8

`(f(a+1)-f(a))/(a+1-a)`

`=`

``

`(text(-)2(a+1)^2-(text(-)2a^2))/1`

`=`

``

`text(-)2a^2-4a-2+2a^2`

`=`

``

`text(-)4a-2`

``

``

Het differentiequotiënt van `f` op `[a, a+1]` is `text(-)4a-2` .

Opgave 9
a

`(Δy)/(Δx) = 2/1 = 2`

b

`(Δy)/(Δx) = text(-) 2/3`

c

Het interval tussen `D` en `F` en het interval tussen `A` en `E` .

d

Het differentiequotiënt op het interval `[1, 4]` is negatief.

Opgave 10

`4/2 = 2`

Opgave 11
a

`(Delta y)/(Delta x) = (2 - 6)/(2 - 0) =text(-)2`

b

`(Δy) / (Δx) = (2 -2) /(2-text(-)1)=0`

c

Het differentiequotiënt is gelijk aan `0` . De punten liggen even hoog, ze hebben dezelfde `y` -coördinaat.

d

Het kan zijn dat de grafiek op dat interval bijvoorbeeld eerst daalt en daarna pas stijgt. Als je de grafiek van `f` bekijkt, zie je dat dit ook het geval is. Je kunt wel zeggen dat de grafiek op het interval `[1, 3]` gemiddeld stijgend is.

Opgave 12

Het differentiequotiënt is `(f(a+1)-f(a))/(a+1-a) = (3(a+1)^2 + 2(a+1) - 1 - (3a^2 + 2a - 1))/1 = 6a+5` .

Opgave 13
a

`(2-3sqrt(2*2+5)-(2-3sqrt(2*text(-)2,5+5)))/(4,5) = text(-)2`

b

`(2-3sqrt(2*12+5)-(2-3sqrt(2*text(-)2+5)))/14 ~~ text(-)0,940`

c

Omdat `f(0) = 2 - 3 sqrt(5)` moet `f(a) = 2 - 3 sqrt(2a+5)` .

Het differentiequotiënt is `(text(-)3sqrt(2a+5) + 3sqrt(5))/(a) = text(-)0,5`

Bepaal `a` met behulp van je grafische rekenmachine door het snijpunt te bepalen van Y1=(-3*√(2X+5)+3*√(5))/X en Y2=-2. Je vindt `a~~4,58` .

Opgave 14Afkoelende koffie
Afkoelende koffie
a

`t = 0` geeft `T = 90` °C.

b

De temperatuur daalt gemiddeld `8,8` °C/min in de eerste vijf minuten.

c

De temperatuur daalt gemiddeld `3,3` °C/min in de volgende vijf minuten.

d

De differentiequotiënten worden kleiner. De koffie koelt steeds langzamer af, omdat het temperatuurverschil met de omgeving kleiner wordt.

Opgave 15Bolvormige vaas
Bolvormige vaas
a

Het differentiequotiënt is `(V(5)-V(3))/(5-3) ~~ (702-396)/(5-3) = 153` .

b

Het differentiequotiënt geeft de gemiddelde toename van het volume in cm3 per cm hoogte, tussen de hoogtes `3` en `5` cm.

c

`(ΔV)/(Δt)~~12,75` . Dit betekent dat er in `24` uur gemiddeld `12,75` cm3 regenwater per uur in de vaas gevallen is.

Opgave 16
a

`0,8` km/min.

b

Welke betekenis heeft dit getal voor de wielrenner?

c

`3/8` km/min.

d

`0,42` km/min.

e

Welke betekenis hebben de bij c en d gevonden getallen voor de grafiek? Geef alle goede antwoorden.

Ze geven de helling weer van het lijnstuk bij het begin- en het eindpunt bij het tijdsinterval.

Ze geven de totale toename van de afstand weer op het tijdsinterval.

Ze geven de gemiddelde toename van de afstand per minuut weer op het tijdsinterval.

Opgave 17

`(Δy)/(Δx) = 4`

Opgave 18

`1,5p` als `p≠0` .

verder | terug