Veranderingen > Hellingsgrafiek
123456Hellingsgrafiek

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het is een rechte lijn. Gaat door de punten `(0, 0)` en `(10, 40)` ;

het hellingsgetal is: `(40-0)/(10-0) = 4` ;

het startgetal is: `0` .

De formule wordt: `v = 4t` .

b

Dat wordt een (halve) parabool:

c

`s = 2t^2` geeft `s(20) = 800` m.

Opgave 1
a

Voer in je GR in Y1=X^2 en gebruik de optie dy/dx.

`x` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
`f'(x)` `text(-)6` `text(-)4` `text(-)2` `0` `2` `4` `6`
b

Vergelijk jouw grafiek met die in de uitleg.

De grafiek voldoet aan `y = 2x` .

c

Voor de `x` -waarde die hoort bij `f'(x) = 0` heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. Hier is dat voor `x=0` .

Opgave 2
a
`x` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
`f'(x)` `7,5` `0` `text(-)4,5` `text(-)6` `text(-)4,5` `0` `7,5`
b

Voer in Y1=0.5X^3-6X en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0,001).

c

Bij een top van een grafiek hoort een raaklijn met hellingsgetal `0` .

d

`f'(1) = text(-)4,5` en `f(1) = text(-)5,5` dus de raaklijn wordt: `y = text(-)4,5x - 1` .

e

`f'` heeft een minimum van `text(-)6` voor `x = 0` . De grafiek van `f` gaat daar van toenemend dalend over naar afnemend dalend.

Opgave 3
a

Wat betekent het voor de grafiek van de functie als de hellingsgrafiek onder de `x` -as ligt?

De functiewaarden zijn negatief.

De grafiek is stijgend.

De grafiek is dalend.

De grafiek heeft een minimum.

b

Soms is een grafiek toenemend stijgend. Hoe zie je dat aan de hellingsgrafiek?

De hellingsgrafiek ligt boven de `x` -as.

De hellingsgrafiek is stijgend.

De hellingsgrafiek ligt boven de `x` -as en is stijgend.

De hellingsgrafiek heeft een maximum.

c

Hoe vind je de extremen van een functie uit de hellingsgrafiek?

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de hellingsgrafiek een maximum of een minimum heeft.

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de helling overgaat van positief in negatief of omgekeerd.

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de helling de waarde `0` heeft.

Dat kun je niet uit de hellingsgrafiek aflezen.

Opgave 4
a

C

b

Voor `x=0` is de helling van de grafiek van `f` gelijk aan `0` .
Waarom heeft de grafiek van `f` geen extreme waarde voor `x=0` ? (Geef alle goede antwoorden aan.)

De grafiek is altijd stijgend, behalve bij `x=0` .

Het tekenschema van de afgeleide wisselt bij `x=0` niet van teken.

De functie heeft geen horizontale raaklijn voor `x=0` .

De functie heeft wel een horizontale raaklijn voor `x=0` maar gaat niet van stijgend naar dalend.

Opgave 5
a

Kies uit de volgende antwoorden. De grafiek van `f` heeft:

precies één extreme waarde van `6` voor `x=0` ;

geen extremen want de hellingsgrafiek is dalend;

geen extremen want de grafiek van de functie zelf is ook dalend;

een maximum voor `x=3`

b

Grafiek B.

Opgave 6

Grafiek B.

Opgave 7
a

De tabel wordt hetzelfde als die in het Voorbeeld 3.

Uit de tabel blijkt dat het hellingsgetal steeds `2` keer de `x` -waarde is. Het lijkt erop dat `f'(x) = 2x` .

b

`(∆y)/(∆x) = ((x+h)^2 + 4 - (x^2 + 4))/h = (2xh + h^2)/h = 2x + h` .
Omdat `h rarr 0` vind je `f'(x )=2x` .

c

De formules zijn gelijk. De werkwijze bij b is beter, want

  • om te beginnen weet je niet zeker of de gevonden regelmaat voor elke waarde van `x` opgaat;

  • en bij ingewikkelder functies is de regelmaat niet zo eenvoudig vast te stellen vanuit een tabel.

Opgave 8
a

Met de GR via dy/dx:

`a'(5) = 12` m/s en dat is `12*3,6 = 43,2` km/h.

b

`(Delta a)/(Delta t) = (1,2 (t+h)^2 - 1,2 t^2)/(h) = (2,4th + h^2)/h = 2,4t + h` .

De bijbehorende formule wordt met `h rarr 0` : `v(t)=a'(t)=2,4t` .

c

`50` km/h is omgerekend: `50/(3,6) ~~ 13,89` m/s.

`v(t) = 13,89` invullen: `2,4 t ≈ 13,89` geeft `t ≈ 5,8` seconden.

Na `5,8` seconden beweegt de zeilwagen met een snelheid van `50` km/h.

Opgave 9

De blauwe grafiek (met de langere streepjes).

Opgave 10

Bijvoorbeeld zo. De ligging van de grafiek ten opzichte van de `x` -as kun je niet weten, net zo min als de mate van stijging of daling.

Opgave 11
a

Je ziet de hellingsgrafiek van `f` . De grafiek van `f` is stijgend als de hellingsgrafiek positief is (boven de `x` -as ligt), dus op het interval: `⟨text(-)1 , 1 ⟩` .

b

Voor extreme waarden geldt vaak `f'(x)=0` . Maar dit kunnen zowel minima als maxima zijn. Een maximum is te vinden als `f'(x)` van positief naar negatief gaat. Dit is het geval bij `x=1` .

c

Nee, daarvoor moet je het functievoorschrift van `f` weten.

d

Je grafiek moet in ieder geval door `(0 , 2 )` gaan en een maximum hebben voor `x=1` en een minimum voor `x=text(-)1` .

Opgave 12

Voer in: Y1=0.5X^2+3X.
Gebruik dy/dx. Maak een tabel van de hellingsfunctie:

`x` `0` `1` `2 ` `3 ` `4`
`f'(x)` `3` `4 ` `5` `6` `7`

Lineaire functie met hellingsgetal `1` en begingetal `3` .

Functievoorschrift: `f'(x) = x + 3` .

Opgave 13
a

Vul elke functie in de GR in en bepaal `(text(d)y)/(text(d)x)` als `x = 1` :

  • `f'(1) = text(-)2`

  • `g'(1) = 0,5`

  • `h'(1) = text(-)4`

  • `k'(1) = 0`

b

Vul elke functie als Y1 in de GR in en neem Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0.001).

c

Bij de extremen van de gekozen functie zit een nulpunt bij de hellingsfunctie van die grafiek, want de helling in een top is `0` . Bepaal de nulpunten van de hellingsgrafiek:

`f(x)` : `x = 0` , max. `f(0) = text(-)(0^2) + 4 = 4` ;

`g(x)` : `x = 0` , max. `g(0) = sqrt(0^2 + 3) = sqrt(3)` ;

`h(x)` : geen nulpunten, geen extremen;

`k(x)` : `x = 1` , max. `k(1) = text(-)(1^4) + 4*1 = 3` .

Opgave 14
a

Voer in: Y1=2X^3-6X^2-8X.
Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 le x le 5` en `text(-)30 le y le 10` .
Bereken met de GR het snijpunt van de grafiek met de `x` -as.

b

Met de GR: gebruik `(text(d)y)/(text(d)x)` .

Het hellingsgetal bij dit punt is `40` .

c

Een raaklijn is een rechte lijn. Je zoekt de richtingscoëfficiënt `a` en het begingetal `b` .

De richtingscoëfficiënt is gelijk aan het hellingsgetal: `40` .

De lijn gaat in ieder geval door het punt `(4, 0)` .

De vergelijking van de raaklijn aan `f(x)` door `(4, 0)` is dan: `y=40x-160` .

d

Voer in: Y1=2X^3-6X^2-8X en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(x))/(0.001).
Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 le x le 5` en `text(-)30 le y le 10` .

e

Nulpunten van de hellingsgrafiek bepalen en de gevonden `x` -waarden invullen in `f` .
Je vindt: min. `f(2,53) ≈ text(-)26,26` en max. `f(text(-)0,53) ≈ 2,26` .

Opgave 15Elektrische auto
Elektrische auto
a

De afgelegde weg wordt in meters uitgedrukt. De hellingsgrafiek geeft de verandering per seconde. De hellingsgrafiek wordt dus uitgedrukt in m/s.

Voer in: Y1=1.6X^2 en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0.001) en je ziet (een benadering van) de hellingsgrafiek.

b

De richtingscoëfficiënt van de lijn blijkt `3,2` en het begingetal is `0` , dus `v(t) = 3,2t` .

c

`v` wordt uitgedrukt in m/s. Reken eerst de `80` km/h om: `80/(3,6) ~~ 22,22` m/s.

Invullen in de formule levert:

`22,22=3,2t` en dus `t = (22,22)/(3,2) ~~ 6,94` .

Na ongeveer `7` s is de snelheid meer dan `80` km/h.

Opgave 16

Het wordt een rechte lijn door `(0, text(-)4)` en `(2, 0)` .

Opgave 17

De grafiek van `g` moet in ieder geval door het punt `(2 , 4 )` gaan en drie extremen hebben: maxima voor `x = text(-)3` en `x = 3` en een minimum voor `x = 0` .

Opgave 18
a

Voor `x=0` .

b

Op het interval `(:0, 3 :)` .

c

De grafiek van `f` moet in ieder geval door `(0, 1)` gaan en twee extremen hebben: een maximum voor `x = 0` (zie a) en een minimum voor `x = 3` .

Opgave 19

`(Δy)/(Δx) = (4(x+h)^2 + 1 - (4x^2 + 1))/h = (4(x^2 + xh + h^2) + 1 - 4x^2 - 1)/h = 8x + 4h` .

Neem `h → 0` en je vindt de afgeleide functie `f'(x) = 8x` .

verder | terug