Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
1234567Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

m.

De snelheid bereken je met een tabel differentiequotiënten op met .
Je vindt een snelheid van m/s.

b

Bereken de snelheden voor

Bij deze tabel past de formule .

Je kunt ook een differentiequotiënt opstellen om en dan kijken wat er gebeurt als :

Als dan vind je .

Opgave 1
a

m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is m/s.

b
c

De functie geeft afgelegde afstand over tijd. Het differentiaalquotiënt is de afgelegde afstand over een (oneindig klein) tijdsinterval; ofwel de snelheid op een bepaald tijdstip.

Je kunt het ook zien aan de eenheid van het differentiaalquotiënt: m/s, de eenheid van snelheid.

Opgave 2
a

b

m/s.

c

De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van .
Welke betekenis heeft in dit verband?

is de gemiddelde snelheid in de eerste seconden;

is de afgelegde weg in de eerste seconden;

is de snelheid op tijdstip .

d

m/s.

e

 km/h = m/s, dus je moet oplossen .
Dit geeft seconden.

Opgave 3
a

.

Controle GR: .

b

De raaklijn heeft de vorm: .

De raaklijn gaat door het punt . Dit punt invullen geeft: .

Dus de vergelijking van de raaklijn is .

c

Nu is het differentiaalquotiënt (de helling van de raaklijn) gelijk aan .

De raaklijn heeft de vorm: .

De raaklijn gaat door het punt , dus: .

De vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 4
a

Voer in en bepaal het differentiaalquotiënt voor : .

b

De vergelijking van de raaklijn heeft de vorm: .

, dus de raaklijn gaat door .
Vul dit punt in de vergelijking in: .

Dus: .

Opgave 5
a

Werk in de haakjes uit: . Ga dan verder zoals in het voorbeeld.

b

Voer in de GR in: , en .
Er is vrijwel geen verschil tussen en .

c

en .

De raaklijn heeft de vorm: .

De raaklijn gaat door , dus: .

Dus de vergelijking van de raaklijn is .

d

Nu is het differentiaalquotiënt (de helling van de raaklijn) gelijk aan .

De raaklijn heeft de vorm: .

De raaklijn gaat door het punt , dus: .

De vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 6
a


Dus .

b

en

c

geeft .

Voor die waarde van heeft een minimum.

d

Er moet gelden: . Dit geeft .

Het punt waar de helling 2 is, is .

Opgave 7

is het hellingsgetal van de raaklijn voor .

Deze raaklijn heeft een vergelijking van de vorm .

Omdat gaat deze raaklijn door het punt , dus en .

De vergelijking van de gevraagde raaklijn is .

Opgave 8
a
b

Dan moet , zodat en dus .

En , dus het punt moet behalve op de grafiek van ook op de lijn liggen. En dat klopt. En dus is deze lijn de raaklijn aan de grafiek van voor .

Opgave 9

Dus .

Opgave 10
a
b

is de verandering van de opbrengst per verkochte auto's per jaar bij een productieomvang van auto's per jaar.

c

als . De grafiek van is een bergparabool en heeft daarom een maximum bij . De maximale opbrengst treedt op bij een productieomvang van auto's per jaar.

Opgave 11
a

GR: en .

b

.
Bij is de grafiek alweer aan het dalen. Het maximum ligt dus voor .

c

Het maximum van de afgeleide ligt bij , daar stijgt de functie maximaal. De functie is daarom bij nog toenemend aan het stijgen.

Opgave 12Vrije val
Vrije val
a

m/s.

b

De snelheid na s is m/s en dit is sneller dan m/s.

c
d

km/h m/s.

geeft , dus na ongeveer s.

Opgave 13Afbraak van giftige stof in water
Afbraak van giftige stof in water
a

Dit kan nu alleen nog met de GR: en .

De betekenis is de afbreeksnelheid in mg/L per dag.

b

De grafiek van heeft ook een asymptoot.

Dit betekent dat de afbraaksnelheid nooit helemaal zal worden, wat overeenkomt met de asymptoot van . De hoeveelheid giftige stof zal altijd blijven afnemen en zal nooit helemaal worden.

c

De grafiek van is een rechte lijn evenwijdig aan de -as en is daarom een constante.

d

Lees af uit de plot: .
Dus .

en .

Opgave 14
a

b

c

d

Opgave 15
a

Differentiequotiënt opstellen; kwadraten uitwerken en vereenvoudigen. Antwoord is .

b

Als dan is .

verder | terug