Afgeleide functies > Het begrip afgeleideAntwoorden van de opgaven
`1,2 * 5^2 = 30` m.
De snelheid bereken je met een tabel differentiequotiënten op
`[5, 5+h]`
met
`h rarr 0`
.
Je vindt een snelheid van
`12`
m/s.
Bereken de snelheden voor `t = 0, 1, 2, 3, ...`
| `t` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` |
| `s'(t)` | `0` | `2,4` | `4,8` | `7,2` | `9,6` |
Bij deze tabel past de formule `v(t) = 2,4t` .
Je kunt ook een differentiequotiënt opstellen om `[t, t+h]` en dan kijken wat er gebeurt als `h rarr 0` :
`v(t) = (Delta s)/(Delta t) = (1,2(t+h)^2 - 1,2t^2)/(t+h - t) = (2,4th + 1,2h^2)/h = 2,4t + 1,2h`
Als `h rarr 0` dan vind je `v(t) = 2,4t` .
`(1,2*5^2 - 1,2*0^2)/5 = 6`
m/s
De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is
`6`
m/s.
| `s'(5)` | `=` | `lim_(h→0)(Delta s)/(Delta t)` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (1,2 * (5+h)^2 - 1,2*5^2)/(5 + h - 5)` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0)(12h + 1,2h^2)/(h)` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0)(12 + 1,2h)` | |
| `` | `=` | `12` |
De functie `s` geeft afgelegde afstand over tijd. Het differentiaalquotiënt is de afgelegde afstand over een (oneindig klein) tijdsinterval; ofwel de snelheid op een bepaald tijdstip.
Je kunt het ook zien aan de eenheid van het differentiaalquotiënt: m/s, de eenheid van snelheid.
`(Δs)/(Δt) = (1,2 * (t+h)^2 - 1,2 *t^2)/(t+h-t) = (2,4th + 1,2 h^2)/(h) = 2,4t + 1,2 h`
`s'(5) = lim_(h→0) (2,4 t+1,2 h) = 2,4 t` m/s.
De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van
`s(t)`
.
Welke betekenis heeft
`s'(5)`
in dit verband?
`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste `5` seconden;
`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste `5` seconden;
`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t = 5` .
`s'(5) = 2,4 *5 = 12` m/s.
`50`
km/h
`= 13 8/9`
m/s, dus je moet oplossen
`2,4 t = 13 8/9`
.
Dit geeft
`t ≈ 5,79`
seconden.
`f'(text(-)2) = lim_(h→0)(f(text(-)2+h)-f(text(-)2))/h = lim_(h→0)(4h - h^2)/h = lim_(h→0)(4 - h) = 4` .
Controle GR: `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=text(-)2) = 4` .
De raaklijn heeft de vorm: `y = 4x + b` .
De raaklijn gaat door het punt `(text(-)2, 2)` . Dit punt invullen geeft: `b = 10` .
Dus de vergelijking van de raaklijn is `y = 4x + 10` .
Nu is het differentiaalquotiënt (de helling van de raaklijn) gelijk aan `f'(0) = 0` .
De raaklijn heeft de vorm: `y = 0x + b` .
De raaklijn gaat door het punt `(0, 6)` , dus: `b = 6` .
De vergelijking van de raaklijn is `y = 6` .
Voer in `y_1 = 5*3^x` en bepaal het differentiaalquotiënt voor `x = text(-)1` : `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x = text(-)1) ~~ 1,83` .
De vergelijking van de raaklijn heeft de vorm: `y ~~ 1,83x + b` .
`f(text(-)1) = 1 2/3`
, dus de raaklijn gaat door
`(text(-)1, 1 2/3)`
.
Vul dit punt in de vergelijking in:
`b ~~ 3,5`
.
Dus: `y ~~ 1,8x+3,5` .
Werk in `lim_(h→0) ((x+h)^3 -x^3) /h` de haakjes uit: `(x+h)^3 = (x+h)(x+h)(x+h) = (x+h)(x^2+2xh+h^2) = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3` . Ga dan verder zoals in het voorbeeld.
Voer in de GR in:
`y_1=x^3`
,
`y_2=(y_1(x+0,001)-y_1(x))//0,001`
en
`y_3=3x^2`
.
Er is vrijwel geen verschil tussen
`y_2`
en
`y_3`
.
`f'(2) = 3*2^2 = 12` en `f(2) = 2^3 = 8` .
De raaklijn heeft de vorm: `y = 12x + b` .
De raaklijn gaat door `(2, 8)` , dus: `b = text(-)16` .
Dus de vergelijking van de raaklijn is `y = 12x - 16` .
Nu is het differentiaalquotiënt (de helling van de raaklijn) gelijk aan `f'(0) = 0` .
De raaklijn heeft de vorm: `y = 0x + b` .
De raaklijn gaat door het punt `(0, 0)` , dus: `b = 0` .
De vergelijking van de raaklijn is `y = 0` .
`f'(x) = lim_(h→0) (f(x+h)-f(x))/ h = lim_(h→0) ((x+h)^2+4(x+h) - (x^2+4x))/h =`
`= lim_(h→0)(2xh+h^2+4h)/h = lim_(h→0)(2x+h+4) = 2x+4`
Dus `f'(x) = 2x+4` .
`f'(0) = 4` en `f'(text(-)4) = text(-)4`
`f'(x) = 2x + 4 = 0` geeft `x = text(-)2` .
Voor die waarde van `x` heeft `f` een minimum.
Er moet gelden:
`f'(x) = 2 x+4 = 2`
. Dit geeft
`x = text(-)1`
.
`f(text(-)1) = text(-)3`
Het punt waar de helling
`2`
is, is
`(text(-)1, text(-)3 )`
.
| `f'(1 )` | `=` | `lim_(h→0) (Delta y)/(Delta x) = (4 - 0,25(1+h)^2 - (4 - 0,25*1^2))/(1 + h - 1 )` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (text(-)0,5h - 0,25h^2)/h = lim_(h→0) (text(-)0,5 - 0,25 h) = text(-)0,5` |
`f'(1) = text(-)0,5` is het hellingsgetal van de raaklijn voor `x = 1` .
Deze raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = text(-)0,5 x + b` .
Omdat `f(1) = 3,75` gaat deze raaklijn door het punt `(1; 3,75)` , dus `3,75 = text(-)0,5*1 + b` en `b = 4,25` .
De vergelijking van de gevraagde raaklijn is `y = text(-)0,5x + 4,25` .
| `f'(x)` | `=` | `lim_(h→0) (Delta y)/(Delta x) = lim_(h→0) (6 - 0,5(x+h)^2 - (6 - 0,5x^2))/(x+h-x)` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (text(-)xh - 0,5h^2)/h = lim_(h→0) (text(-)x - 0,5h) = text(-)x` |
Dan moet `f'(x) = text(-)2` , zodat `text(-)x = text(-)2` en dus `x = 2` .
En `f(2) = 4` , dus het punt `(2, 4)` moet behalve op de grafiek van `f` ook op de lijn `y = text(-)2x + 8` liggen. En dat klopt. En dus is deze lijn de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 2` .
| `f'(x)` | `=` | `lim_(h→0) (f(x+h)-f(x))/h = lim_(h→0) (a(x+h)^2-ax^2)/h` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (ax^2+2axh+ah^2-ax^2)/h = lim_(h rarr 0) (2ax+ah) = 2ax` |
Dus `f'(x) = 2a` .
| `TO'(q)` | `=` | `lim_(h→0) (900(q+h) - 60(q+h)^2 - (900q-60q^2))/(h) = lim_(h→0) (900h - 60(2qh+h^2))/h` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (900-120q-60h) = 900-120q` |
`TO'(5 )` is de verandering van de opbrengst per `100` verkochte auto's per jaar bij een productieomvang van `500` auto's per jaar.
`TO'(q) = 900 - 120 q = 0` als `q = 7,5` . De grafiek van `TO` is een bergparabool en heeft daarom een maximum bij `q = 7,5` . De maximale opbrengst treedt op bij een productieomvang van `750` auto's per jaar.
GR: `y_1 = text(-)0,06x^4 + x^2 - 1` en `y_2 = [(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=x)` .
`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=3) ≈ text(-)0,48`
.
Bij
`x = 3`
is de grafiek alweer aan het dalen. Het maximum ligt dus voor
`x = 3`
.
Het maximum van de afgeleide ligt bij `x ≈ 1,67` , daar stijgt de functie maximaal. De functie is daarom bij `x = 1,5` nog toenemend aan het stijgen.
`(Delta s)/(Delta t) = (s(10)-s(0))/(10-0) = (4,9 * 100)/10 = 49` m/s.
| `v(10)` | `=` | `s'(10) = lim_(h→0) (4,9 * (10+h)^2 - 4,9*10^2)/h` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (4,9*20h + 4,9h^2)/h = lim_(h→0) (98 + 4,9h) = 98` |
De snelheid na `10` s is `98` m/s en dit is sneller dan `49` m/s.
| `v(t)` | `=` | `s'(t ) = lim_(h→0) (4,9 * (t+h)^2 - 4,9 * t^2)/h` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (4,9*2th + 4,9h^2)/h = lim_ (h→0) (9,8t + 4,9h) = 9,8t` |
`120` km/h `=` `33 1/3` m/s.
`s'(t) = 9,8 t = 33 1/3` geeft `t~~3,40` , dus na ongeveer `3,40` s.
Dit kan nu alleen nog met de GR: `H'(0) ≈ text(-)4,46` en `H'(4) ≈ text(-)1,83` .
De betekenis is de afbreeksnelheid in mg/L per dag.
De grafiek van `H'` heeft ook een asymptoot.
Dit betekent dat de afbraaksnelheid nooit helemaal `0` zal worden, wat overeenkomt met de asymptoot van `H` . De hoeveelheid giftige stof zal altijd blijven afnemen en zal nooit helemaal `0` worden.
De grafiek van `(H'(x))/(H(x))` is een rechte lijn evenwijdig aan de `x` -as en `(H'(x))/(H(x))` is daarom een constante.
Lees af uit de plot:
`(H'(x))/(H(x)) ≈ text(-)0,233`
.
Dus
`H'(x) ≈ text(-)0,233*H(x) ~~ text(-)4,46*0,8^x`
.
`H'(0) ≈ text(-)4,46` en `H'(4) ≈ text(-)1,83` .
`(Δy)/(Δx) = 3`
`f'(x) = 3 x`
`f'(2) = 6`
`y = 6x - 2`
Differentiequotiënt opstellen; kwadraten uitwerken en vereenvoudigen. Antwoord is `K'(q) = 0,2q + 0,7` .
Als `q ≥ 0` dan is `K'(q) ≥ 0` .