Afgeleide functies > Het begrip afgeleideVoorbeeld 2
Gegeven is de functie `f(x) = x^3` . Stel het functievoorschrift van de afgeleide van deze functie op en stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = text(-)1` .
| `f'(x)` | `=` | `lim_(h→0) (f(x+h)-f(x))/h = lim_(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h` | |
| `` | `=` | `lim_(h→0) (3x^2h + 3xh^2 + h^3)/h = lim_(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2` |
De vergelijking van de raaklijn heeft de vorm `y = ax + b` .
Nu is `f'(text(-)1) = 3` en `f(text(-)1) = text(-)1` .
Dus `a = 3` en de vergelijking wordt `y = 3x + b` .
De raaklijn gaat door het punt `(3, text(-)1)` , dus: `text(-)1 = 3*text(-)1 + b` en `b = 2` .
De vergelijking van de raaklijn is: `y = 3x + 2` .
Bekijk de in
Laat zelf zien, dat `f'(x) = 3x^2` .
Je kunt de hellingsgrafiek (de afgeleide dus) met de grafische rekenmachine benaderen met `f'(x) = (f(x+0,001)-f(x))//(0,001)` .
Laat zien, dat de grafiek van deze benadering van `f'(x)` ongeveer overeen komt met die van de gevonden afgeleide `f'(x) = 3x^2` .
Stel de formule van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 2` op.
Stel de formule van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=0` op.
Gegeven is de functie `f(x) = x^2 + 4x` .
Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van `f` .
Bereken met behulp van het functievoorschrift bij a de hellingwaarden van de grafiek van `f` voor de nulpunten van `f` .
Bereken algebraïsch het nulpunt van `f'` . Geef ook aan welke betekenis deze `x` -waarde voor de grafiek van `f` heeft.
De grafiek van `f` heeft precies één punt waarop de helling `2` is. Bereken de coördinaten van dit punt.