Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
1234567Het begrip afgeleide

Uitleg

Bekijk de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd.
Er geldt `s(t) = 1,2 t^2` .
Daarbij is `s` de afgelegde afstand in meter en `t` de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
`(Delta s)/(Delta t) = (1,2*4^2 - 1,2*0^2)/(4 - 0) = (19,2)/(4) = 4,8` m/s.

Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op `t = 4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden. Benader de snelheid op `t = 4` . Gebruik hierbij het differentiequotiënt.

Neem het interval `[4, 4+h]` .
Het differentiequotiënt op dat interval is (mits `h ≠ 0` ):

`(Delta s)/(Delta t)` `=` `(1,2 * (4+h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4)`
`` `=` `(9,6h + 1,2h^2)/h = 9,6 + 1,2h`

Als `h` de waarde `0` nadert, dan nadert `9,6 + 1,2h` de grenswaarde `9,6` m/s.
Deze grenswaarde is de snelheid op `t = 4` . Met andere woorden: de grenswaarde is de limiet van de gemiddelde snelheid op `[4, 4 +h]` als `h` naar `0` nadert.
Dit kun je schrijven als:
`s'(4) = lim_(h→0) (1,2 * (4+h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4) = lim_(h→0) (9,6h + 1,2h^2)/h = lim_(h→0) (9,6 + 1,2h) = 9,6` m/s.

`s'(4 )` wordt ook wel genoteerd als `[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=4)`
Dit is:

  • het differentiaalquotiënt voor `t = 4`

  • het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor `t = 4`

  • de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op `t = 4`

  • de afgeleide waarde op `t = 4`

In dit geval is `s'(4)` ook de snelheid van de wagen op `t = 4` , omdat `s` de afgelegde afstand over tijd weergeeft.

Door de dy/dx-functie van de grafische rekenmachine te gebruiken kun je de helling ook bepalen.
Hoe dit moet, zie je in het Practicum .

Opgave 1

Voor een versnellende zeilwagen geldt: `s(t) = 1,2 t^2` .
Hierin is `t` de tijd in seconde en `s` de afgelegde afstand in meter.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken het differentiaalquotiënt voor `t = 5` door de limiet te nemen van het differentiequotiënt op het interval `[5, 5 +h]` als `h` naar `0` gaat.

c

Waarom geeft het differentiaalquotiënt voor `t=5` de snelheid van de wagen op dat tijdstip?

Opgave 2

Voor de afgelegde afstand `a` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `s = 1,2 t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.

a

Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van `t` . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t, t+h]` op.

b

Als `h` de waarde `0` nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t` . Geef een formule voor de snelheid als functie van `t` .

c

De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van `s(t)` .
Welke betekenis heeft `s'(5)` in dit verband?

`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste `5` seconden;

`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste `5` seconden;

`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t = 5` .

d

Hoe groot is `s'(5)` ?

e

Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen `50` km/h?

verder | terug