Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
1234567Het begrip afgeleide

Uitleg

Bekijk de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd.
Er geldt .
Daarbij is de afgelegde afstand in meter en de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
m/s

Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden. Benader de snelheid op . Gebruik hierbij het differentiequotiënt.

Neem het interval .
Het differentiequotiënt op dat interval is (mits ):

Als de waarde nadert, dan nadert de grenswaarde m/s.
Deze grenswaarde is de snelheid op . Met andere woorden: de grenswaarde is de limiet van de gemiddelde snelheid op als naar nadert.
Dit kun je schrijven als:
m/s

wordt ook wel genoteerd als
Dit is:

  • het differentiaalquotiënt voor

  • het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor

  • de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op

  • de afgeleide waarde op

In dit geval is ook de snelheid van de wagen op , omdat de afgelegde afstand over tijd weergeeft.

Door de dy/dx-functie van de grafische rekenmachine te gebruiken kun je de helling ook bepalen.
Hoe dit moet, zie je in het practicum Functies en de GR.

Opgave 1

Voor een versnellende zeilwagen geldt: .
Hierin is de tijd in seconde en de afgelegde afstand in meter.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken het differentiaalquotiënt voor door de limiet te nemen van het differentiequotiënt op het interval als naar gaat.

c

Waarom geeft het differentiaalquotiënt voor de snelheid van de wagen op dat tijdstip?

Opgave 2

Voor de afgelegde afstand van een versnellende zeilwagen in meter geldt: waarin de tijd in seconden is.

a

Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval op.

b

Als de waarde nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van . Geef een formule voor de snelheid als functie van .

c

De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van .
Welke betekenis heeft in dit verband?

is de gemiddelde snelheid in de eerste seconden;

is de afgelegde weg in de eerste seconden;

is de snelheid op tijdstip .

d

Hoe groot is ?

e

Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen km/h?

verder | terug