Bekijk de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd.
Er geldt
`s(t) = 1,2 t^2`
.
Daarbij is
`s`
de afgelegde afstand in meter en
`t`
de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
`(Delta s)/(Delta t) = (1,2*4^2 - 1,2*0^2)/(4 - 0) = (19,2)/(4) = 4,8`
m/s.
Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op `t = 4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden. Benader de snelheid op `t = 4` . Gebruik hierbij het differentiequotiënt.
Neem het interval
`[4, 4+h]`
.
Het differentiequotiënt op dat interval is (mits
`h ≠ 0`
):
`(Delta s)/(Delta t)` | `=` | `(1,2 * (4+h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4)` | |
`` | `=` | `(9,6h + 1,2h^2)/h = 9,6 + 1,2h` |
Als
`h`
de waarde
`0`
nadert, dan nadert
`9,6 + 1,2h`
de grenswaarde
`9,6`
m/s.
Deze grenswaarde is de snelheid op
`t = 4`
. Met andere woorden: de grenswaarde is de limiet van de gemiddelde snelheid op
`[4, 4 +h]`
als
`h`
naar
`0`
nadert.
Dit kun je schrijven als:
`s'(4) = lim_(h→0) (1,2 * (4+h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4) = lim_(h→0) (9,6h + 1,2h^2)/h
= lim_(h→0) (9,6 + 1,2h) = 9,6`
m/s.
`s'(4 )`
wordt ook wel genoteerd als
`[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=4)`
Dit is:
het differentiaalquotiënt voor `t = 4`
het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor `t = 4`
de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op `t = 4`
de afgeleide waarde op `t = 4`
In dit geval is `s'(4)` ook de snelheid van de wagen op `t = 4` , omdat `s` de afgelegde afstand over tijd weergeeft.
Door de dy/dx-functie van de grafische rekenmachine te gebruiken kun je de helling
ook bepalen.
Hoe dit moet, zie je in het
Voor een versnellende zeilwagen geldt:
`s(t) = 1,2 t^2`
.
Hierin is
`t`
de tijd in seconde en
`s`
de afgelegde afstand in meter.
Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.
Bereken het differentiaalquotiënt voor `t = 5` door de limiet te nemen van het differentiequotiënt op het interval `[5, 5 +h]` als `h` naar `0` gaat.
Waarom geeft het differentiaalquotiënt voor `t=5` de snelheid van de wagen op dat tijdstip?
Voor de afgelegde afstand `a` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `s = 1,2 t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.
Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van `t` . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t, t+h]` op.
Als `h` de waarde `0` nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t` . Geef een formule voor de snelheid als functie van `t` .
De functie die je hebt gevonden heet de afgeleide van
`s(t)`
.
Welke betekenis heeft
`s'(5)`
in dit verband?
`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste `5` seconden;
`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste `5` seconden;
`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t = 5` .
Hoe groot is `s'(5)` ?
Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen `50` km/h?