De afgeleide is een rechte lijn door `(0, 0)` en bijvoorbeeld `(1, 2)` .
Controle: `f'(x) = lim_(h rarr oo) ((x+h)^2 - x^2)/h = lim_(h rarr oo) (2x + h) = 2x` .
Gewoon even samen experimenteren...
`f'(x) = lim_(h→0) (c(x+h)^3 - cx^3)/h = lim_(h→0) (3cx^2 h + 3cxh^2 + ch^3)/h = 3cx^2`
`f'(x) = 3*5 x^2 = 15x^2`
`g'(x) = 3*text(-)11/5 x^2 = text(-)33/5 x^2 = text(-)6 3/5 x^2`
`h'(r) = 3 * 4/3 πr^2 = 4πr^2`
`h'(x) = 5*3x^2 - 3*2x^1 + 2*1x^0 + 0 = 15x^2 - 6x + 2` .
Gegeven is
`f(x) = u(x) + v(x)`
.
De afgeleide is:
`f'(x)` | `=` | `lim_(h→0) (u(x+h)+v(x+h)-(u(x)+v(x)))/h` | |
`` | `=` | `lim_(h→0) ((u(x+h)-u(x))/h + (v(x+h)-v(x))/h )` | |
`` | `=` | `lim_(h→0) ( (u(x+h)-u(x))/h) + lim_(h→0) ((v(x+h)-v(x))/h)` |
Hieruit volgt:
`f'(x) = u'(x) + v'(x)`
.
De somregel geldt ook voor het verschil van twee functies. Neem dan
`text(-)v(x)`
in plaats van
`v(x)`
. Het bewijs is verder vergelijkbaar.
`f'(x) = 12*5x^4 = 60x^4`
`g'(x) = 12*5x^4 + 0 = 60x^4`
`h'(x) = 12*5x^4 + 20*3x^2 = 60x^4 + 60x^2`
`k'(x) = 12*5 x^4 + 20*3x^2 + 5*2x^1 - 10*1x^0 + 0 = 60x^4 + 60x^2 + 10x - 10`
`f'(x) = 3*10x^(3-1) - 60*x^(1-1) = 30x^2 - 60`
`f'(x) = 0 + 2*x^(1-1) - 2*5x^(2-1) + 4*10^(3-2) = 2 -10x - 40x^3`
`f(x) = x^2(1/2 x^2 - 4) = 1/2 x^4 - 4x^2`
`f'(x) = 4*1/2 x^(4-1) - 2*4x^(2-1) = 2x^3 - 8x`
`f(x) = (x^3 - 4)(2 - 3x) = 2x^3 - 3x^4 - 8 + 12x`
`f'(x) = 3*2x^(3-1) - 4*3x^(4-1) - 0 + 1*12x^(1-1) = 6x^2 - 12x^3 + 12`
Geef
`f(x)`
als
`f(x) = c*x^0`
.
Dan is
`f'(x) = 0*cx^(0-1) = 0`
.
`(x^2 - 4)(x - 6) = 0` geeft `x^2 = 4 vv x = 6` en `x = text(-)2 vv x = 2 vv x = 6` .
`(text(d)y)/(text(d)x) = 3x^2 - 12x - 4`
`y'(2) = text(-)16`
en
`y(2) = 0`
.
De vergelijking van de raaklijn heeft de vorm:
`y = text(-)16x + b`
.
De raaklijn gaat door het punt
`(2, 0)`
, dus
`b = 32`
.
`y = text(-)16x + 32`
`f'(x) = 3*0,5x^2 - 2*4,5x^1 + 10*x^0 + 0 = 1,5x^2 - 9x + 10`
`f'(0) = 10`
`f'(x) = 1,5x^2 - 9x + 10 = 10`
geeft
`x(x-6) = 0`
en
`x=0 vv x=6`
.
Dus
`(0, text(-)35)`
en
`(6, text(-)29)`
.
`f'(x) = 3x^2 - 4`
`s'(t) = 60 - 9,8t`
`H(t) = 2(t^2 - 4) = 2t^2 - 8`
`H'(t) = 4t`
`y = 5 - (x - 3)^2 = text(-)x^2 + 6x - 4`
`(text(d)y)/(text(d)x) = text(-)2x + 6`
`W = (text(-)3t^4 + t)(t^5 - 2t^3) + 3t^9 = 6t^7 + t^6 - 2t^4`
`(text(d)W)/(text(d)t) = 42t^6 + 6t^5 - 8t^3`
`f'(x) = 2x^3 - 8x` en `f'(2) = 0` .
`W'(q) = text(-)3q^2 + 6q + 3` en `W'(text(-)1) = text(-)6` .
`v(t) = t(t - 1)^2 = t^3 - 2t^2 + t`
`v'(t) = 3t^2 - 4t + 1`
Dus `v'(3) = 16` .
`g(x) = (1 - x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3`
`g'(x) = text(-)3 + 6x - 3x^2`
Dus `g'(text(-)2) = text(-)27` .
`(x^2 - 4)(x^2 - 9)` geeft `x^2 = 4 vv x^2 = 9` en `x = text(-)3 vv x = text(-)2 vv x = 2 vv x = 3` .
`f(x) = x^4 - 13x^2 + 36`
`f'(x) = 4x^3 - 26x`
`f'(text(-)2) = 20`
en
`f(text(-)2) = 0`
.
De vergelijking van de raaklijn is:
`y = 20x+40`
.
`f'(2) = text(-)20`
en
`f(text(-)2) = 0`
.
De vergelijking van de raaklijn is:
`y = text(-)20x+40`
.
Snijpunt: `(0, 40)` .
`f'(x) = 4x^3 - 26x = 0` geeft `x(x^2 - 26/4) = 0` en `x = text(-)1/2 sqrt(26) ∨ x = 0 ∨ x = 1/2 sqrt(26)` .
Dat is waar de helling van
`f`
gelijk is aan
`0`
.
Zo kun je de extremen vinden.
`f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c`
`f'(x) = 3ax^2`
`g'(p) = 6,8pq-7q`
`g'(q) = 3,4p^2 - 7p + 1`
`K(x) = 3ax^3 - 3x^2 - 2a^2 x + 2a`
`K'(x) = 9ax^2 - 6x - 2a^2`
`f'(x) = 1/9 x^2 + x - 4`
In het snijpunt met de `y` -as is de `x` -coördinaat `0` . Dit geeft `f'(0) = text(-)4` .
In de toppen geldt
`f'(x) = 1/9x^2+x-4 = 0`
.
Dit geeft
`x = text(-)12 vv x = 3`
.
Toppen: `(text(-)12, 32)` en `(3, text(-)30 1/2)` .
De coördinaten van punt `A` zijn `(text(-)6, 10)` .
De helling in punt `A` is `f'(text(-)6) = text(-)6` .
Dus: `y = text(-)6x - 26` .
`f'(x) = 1/9x^2 + x - 4 = 6` geeft `x = text(-)15 vv x = 6` .
Dus: `(text(-)15, 23 1/2)` en `(6, text(-)22)` .
`h(0) = 0,96`
Dit geeft als hoogte
`0,96`
m.
`h(x) = 2,4 - 0,01(x - 12)^2 = text(-)0,01x^2 + 0,24x + 0,96`
`h'(x) = text(-)0,02x + 0,24`
Dus: `h'(0) = 0,24` .
Het getal is de verandering van de hoogte per m horizontale afstand van de kogel op `x = 0` . Het getal zegt iets over de hoek waaronder het voorwerp wordt afgeschoten. Het zegt niets over de snelheid.
`h'(x) = text(-)0,02x + 0,24 = 0`
geeft
`x = 12`
.
Dus:
`(12; 2,4)`
.
De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert is er `0` . Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.
`GTK(q) = 1200/q + 0,2q`
`q = 0` ; als `q = 0` kun je geen gemiddelde kosten bepalen.
Een minimum van `GTK(77) ≈ 30,98` .
`GTK → 0,2`
als
`q → ∞`
.
De productiekosten per eenheid veranderen op den duur met de (vaste) kosten per artikel.
`f'(x) = 6x^5 + 8`
`f'(x) = 8x + 4 `
`f'(a) = 12 - 2ba + 3a^2`
`f'(text(-)1) = 2`
`y = 8x`
`x = text(-)1 2/3` en `x = 3` .
`x = text(-)2` en `x = 3 1/3` .
`((dy))/((dx)) = 3x^2 - 51x + 180`
Als de afgeleide `0` is heeft de grafiek een raaklijn evenwijdig aan de `x` -as.
`y'(x) = 3x^2 - 51x + 180 = 0` geeft `x = 5 ∨ x = 12` .
Bekijk de grafiek. De functie is dalend als `5 < x < 12` .