Afgeleide functies > DifferentiërenUitleg
Het differentiaalquotiënt van een machtsfunctie berekenen kost vaak veel tijd. Maar het kan sneller.
De afgeleide van de functie `f(x) = ax^2` is:
`f'(x) = lim_(h→0) (a(x+h)^2 - ax^2)/h = lim_(h→0) (2axh + ah^2)/h = lim_(h→0) (2ax + ah) = 2ax`
De afgeleide van
`f(x) = ax^2`
is
`f'(x) = 2ax`
voor elke waarde van
`a`
.
Op dezelfde manier blijkt: de afgeleide van
`f(x) = ax^3`
is
`f'(x) = 3 ax^2`
voor elke waarde van
`a`
. Misschien zie je een regelmaat.
De afgeleide van
`f(x) = ax^n`
is
`f'(x) = nax^(n-1)`
voor elke waarde van
`a`
.
Het gebruiken van een regel om een afgeleide te bepalen heet differentiëren. Deze specifieke regel heet de machtsregel.
Uit deze regel volgt dat voor de constante functie `f(x) = c` de afgeleide `f'(x) = 0` is. Dit heet de constanteregel.
Op vergelijkbare wijze is er een regelmaat te vinden in de afgeleide bepalen van een
som van functies. Die regel zegt dat je die term voor term kunt differentiëren. Voor
bijvoorbeeld
`f(x) = 0,1x^3 - 3x^2 + 25x + 10`
geldt:
`f'(x) = 3*0,1x^(3-1) - 2*3 x^(2-1) + 1*25 x^(1-1) + 0 = 0,3x^2 - 6x + 25`
De afgeleide van de som van `x` -machten is de som is van de afzonderlijke afgeleiden. Deze regel heet de somregel.
De afgeleide van `f(x) = cx^3` bereken je door het differentiequotiënt op het interval `[x, x+h]` te bepalen en `h` naar `0` te laten naderen.
Toon aan dat voor de afgeleide van `f(x) = cx^3` geldt `f'(x) = 3cx^2` .
Bepaal met behulp van deze algemene regel voor een derdemachtsfunctie de afgeleide van `f(x) = 5x^3` , `g(x) = text(-)2 1/5 x^3` en `h(r) = 4/3 πr^3` .
Bereken met de algemene machtsregel en de somregel de afgeleide van `h(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x + 10` .
Bewijs de somregel door aan te tonen dat de afgeleide van
`f(x) = u(x) + v(x)`
is
`f'(x) = u'(x) + v'(x)`
.
Gebruik hierbij de definitie van een afgeleide:
`f'(x)=lim_(h rarr 0) (f(x+h)-f(x))/h`
Bepaal de afgeleide door differentiëren.
`f(x) = 12x^5`
`g(x) = 12x^5 + 20`
`h(x) = 12x^5 + 20x^3`
`k(x) = 12x^5 + 20x^3 + 5x^2 - 10x + 15`